5.3分式方程第2课时（教学设计）数学新教材北师大版八年级下册

5.3 分式方程 第2课时 教学设计 1.教学内容 本课选自北师大版八年级下册第五章《分式与分式方程》第2课时，围绕“可化为一元一次方程的分式方程的解法”与“增根的意义及检验”展开。核心知识点包括分式方程的定义、去分母后的解法流程，以及增根产生的原因和排除方法。 2.内容解析 本节主要阐述分式方程中分母含有未知数时的求解策略：通过“去分母”化整规避分式，从而将问题转化为一元一次方程。教学价值在于加强学生对方程思想的理解，尤其是严格检验解是否合法，体现了数学思维的严谨性与逻辑性。重点在于掌握去分母解分式方程的系统步骤，难点在于正确理解增根的由来并能够熟练进行检验。 1.教学目标 •掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。 •了解增根的意义，理解分式方程产生增根的原因，并会检验分式方程的根。 2.目标解析 •通过示例运算与变形训练，落实转化思想，形成完整解题流程。 •强调方程变形中分母“不可为 0”的条件，引导学生主动检验并去除不适合原方程的解。 3.重点难点 • 教学重点：利用最简公分母“去分母”，并准确解整式方程。 • 教学难点：把握增根产生的原理及正确的检测方法。 八年级学生已具备一元一次方程及多项式基础，能进行基本的代数运算，但对分式分母的约束理解不够深入。在本节中，要引导学生关注增根对方程求解的影响，通过多样化习题与现实情境题培养严谨的数学思维。 创设情景，引入新课 知识回顾： o分母中含有的方程叫做分式方程。 o跟踪练习：下列关于的方程中，不是分式方程的是(　 　) A． B． C． D． 答案：选 。 o方程的解：使方程左右两边的未知数的值叫方程的解。 o解一元一次方程的一般步骤： ① ；② 去括号；③ ；④ 合并同类项；⑤ 系数化为1 情景引入 问题：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种,分别收获小麦9 000 kg和15 000 kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg,分别求这两块试验田每公顷的产量. 如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg,那么第二块试验田的产量是________kg. 根据题意,可得方程_______. 解：， 分式方程该如何解呢？ 可以化成一元一次方程来求解. 【设计意图】本环节通过回顾“分母含有未知数”是分式方程的定义以及“去分母、移项”的一元一次方程解题步骤，让学生快速复习已有知识。再利用真实的小麦产量问题创设情境，引出分式方程及其在解决实际问题中的重要性，激发学习兴趣并明确学习方向。 探究点1：分式方程的解法 1.思考交流 例：解方程: 解：因为分式中分母不能为零， 所以x≠2，且x≠0. 方程两边都乘x(x－2)，得 x=3（x－2）. 解这个方程，得 x=3. 检验：将x=3代入原方程，得 左边=1，右边=1，左边=右边. ∴x=3是原方程的根. 2.知识归纳 解分式方程的基本思路： 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程. 具体做法是“去分母” ，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 3.练一练 解方程: =. 解：方程两边都乘 x(x-1)，得 3x=4(x-1)． 解这个方程，得 x=4． 检验：将x=4代入原方程，得 左边=1，右边=1，左边=右边. ∴x=4是原方程的根． 【设计意图】通过实验性探究和示例演算，让学生体验从实际问题或简单形式出发，归纳出“去分母化为整式方程”的解题思路。加强对整数方程与分式方程的联系理解，逐步掌握分式方程的解题步骤。 探究点2：分式方程的增根 1.探究交流 你会解=−2吗？小亮的解法如下： 解：方程的两边都乘(x－2)，得 1－x=－1－2（x－2）. 解这个方程，得 x=2． 你认为x=2是原方程的根吗？与同伴进行交流. 在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根. 2.知识归纳 分式方程的增根： 在将分式方程变形为整式方程时，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，它使原分式方程的分母为零，这个解(或根)称为原方程的增根． 产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式． 因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验．通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了． 上述分式方程的检验过程可以简单地写成：“经检验，x=3是原方程的根”. 3.练一练 下列关于分式方程增根的说法,正确的是(　　) A.使所有分母的值都为零的根是增根    B.分式方程的根为零就是增根 C.使分子的值为零的根就是增根      D.使最简公分母的值为零的根是增根 解：D 4.思考交流 你是怎样解分式方程的？解分式方程应注意什么？与同伴进行交流. 解分式方程的一般步骤： 1.去分母，化为整式方程（方程两边各项乘以最简公分母）; 2.解这个整式方程，得到方程的根. 3.检验：判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解. (1)把未知数的值代入原方程(一般方法); (2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法). 4.结论 ：确定分式方程的解. 5.典例分析 例1 解下列分式方程: 解:(1)方程两边同乘(x-2)，得 x-5+2(x-2)=-5. 解这个方程，得x=. 经检验，x=是原分式方程的根. (2)原方程可化为=−1. 方程两边同乘3(x-2)，得 3(5x-4)=4x+10-3(x-2). 解这个方程，得x=2. 经检验，x=2是原方程的增根, 所以原方程无解. 例2 若关于x的方程+=2有增根，求m的值. 解:方程两边同乘以x-2，得 2-x+m=2x-4, 合并同类项,得3x=6+m, ∴m=3x-6. ∵该分式方程有增根， ∴x=2， ∴m=0. 【设计意图】通过 “产生增根”的典型实例，让学生在动手演算和讨论中进一步理解“增根”的由来和如何检验解的有效性。通过集体讨论明确增根与分式方程中“分母为零”的关联，突破分式方程解题中的易错点和难点，并培养学生缜密思维能力。 1.分式方程+1=的根为(　　) A.无解 B.x=1 C.x=-1 D.x=-2 解：B 2.以下是方程−=1去分母后的结果，其中正确的是(　　) A. 2−1−x＝1 B. 2−1+x＝1 C. 2−1−x＝2x D. 2−1+x＝2x 解：D 3.对于分式方程=2+,有以下说法: ①最简公分母为(x-3)2; ②化为整式方程,得x=2+3,解得x=5; ③原分式方程的根为x=3; ④原分式方程无解. 其中正确说法的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解：A 4.已知关于x的分式方程=1的根是负数，则m的取值范围是(　　) A.m≤3 B.m≤3且m≠2 C.m<3 D.m<3且m≠2 解:D 5. 按照如图所示的流程,若输出的M=-6,则输入的m为(　　) A.3 B.1 C.0 D.-1 解：C 6.下面是解分式方程的过程,阅读完后请填空: 解方程:−=45. 解:方程两边都乘2x，得960-600=90x. 解这个方程，得x=4. 经检验，x=4是原方程的根. 第一步计算中的2x是_______；这个步骤用到的依据是________；解分式方程与解一元一次方程之间的联系是__________. 解：各分式的最简公分母,等式的基本性质,解分式方程就是利用等式的基本性质把分式方程转化为一元一次方程来求解． 7.方程=的解是　 　　　. 解： 8.已知x=5是分式方程=1-的根,则k的值为______. 解：-3. 9.当m=_____时，解分式方程=会出现增根. 解：2 10.若关于x的方程=+1无解，则a的值是　　　　. 解：2或1 解:(1)方程两边同乘x(x-3)，得 2x=3(x-3). 解得x=9. 经检验，x=9是原方程的根. 所以原方程的根为x=9. (2)原方程可变形为=1−, 方程两边同乘2(x+1)，得 3=2(x+1)-2. 解得x=. 经检验，x=是原方程的根. 12.已知关于x的分式方程+=. (1)若方程有增根且增根为x=1,求m的值; (2)若方程有增根,求m的值; (3)若方程无解,求m的值. 解:方程两边都乘(x+2)(x-1),得 2(x+2)+mx=x-1. 整理,得(m+1)x=-5. (1)因为x=1是分式方程的增根, 所以m+1=-5,解得m=-6. (2)因为原分式方程有增根, 所以(x+2)(x-1)=0, 解得x=-2或x=1. 当x=-2时,m=1.5; 当x=1时,m=-6. 综上,m的值为1.5或-6. (3)若m+1=0,则该方程无解,此时m=-1; 若m+1≠0,要使原方程无解, 由(2)得m=-6或m=1.5. 综上,m的值为-1或-6或1.5. 【设计意图】通过针对性的练习题，帮助学生在多样化的情境中运用“去分母—解整式方程—检验”的分式方程解题过程，进一步巩固所学知识。 主板书 5.3 分式方程 第2课时 探究点1 分式方程的解法 探究点2 分式方程的增根 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1.必做题：习题5.3第1~3题。 2.探究性作业：习题5.3第6题。 学科网（北京）股份有限公司 $