5.3 分式方程 教学设计 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

第五章 分式与分式方程 北师大版(2024) 5.3 分式方程 一、教学目标 1.经历从实际问题情境中抽象出分式方程的过程，通过对比整式方程，理解分式方程的定义，能准确判断一个方程是否为分式方程. 2.能分析行程、捐款等实际问题中的等量关系，根据问题情境设未知数，建立分式方程模型，体会分式方程在解决实际问题中的应用价值. 3.感受分式方程与整式方程的联系与区别，体会数学建模思想，提升分析问题、抽象概括的能力，为后续学习分式方程的解法奠定基础. 二、教学重点及难点 重点：理解分式方程的定义，能根据实际问题中的等量关系建立分式方程. 难点：从实际情境中抽象出等量关系，建立分式方程模型；区分分式方程与整式方程. 三、教学过程 【知识回顾】 教师提问：同学们，我们先来回顾一下“方程”的定义．下面给出的式子中，哪些是方程？请先独立判断，再说说你的理由. (1)2x＋5＝7；(2) 9x－5；(3) 6y＋1＞2y； (4) 7－2＝5；(5) 4x＋3y＝3；(6) ；(7) . 【学生活动】学生独立思考后回答，指出：是方程的有 (1)(5)(6)(7)，因为它们都含有未知数且是等式；而 (2) 是代数式，(3) 是不等式，(4) 不含未知数，因此不是方程. 教师引导学生进一步观察、对比这些方程： 像 (1)(5)(6) 这类等号两边都是整式的方程，我们称之为整式方程. 而方程 (7) 的等号两边含有分式，且分母中含有未知数，这就是我们今天要重点学习的新方程类型. 教师追问：像 (7) 这样分母中含有未知数的方程，在生活中很常见. 它和我们熟悉的整式方程有什么本质区别呢？让我们这节课一起来学习. 设计意图：通过辨析式的知识回顾，唤醒学生对“方程”和“整式方程”定义的记忆，同时自然引出分母含未知数的方程，为分式方程概念的学习搭建认知桥梁，让学生在对比中感知新旧知识的联系与区别，激发学习新知的兴趣. 【探究新知】 探究：分式方程的定义. 教师提问：京张高速铁路正线全长 174 km，在这条线路上，甲列车的平均行驶速度是乙列车的 2 倍，甲列车从北京市到张家口市的行驶时间比乙列车少h. (1) 你能找出这一情境中的所有等量关系吗？ (2) 如果设乙列车的平均行驶速度是 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？ (3) 如果设甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是 y h，那么 y 满足怎样的方程？ 【师生活动】学生先独立审题，分析题目中的路程、速度、时间等关键信息，梳理情境中的数量关系，再以小组为单位交流讨论，尝试用不同的设未知数方式列出方程；教师引导学生对比所列出的方程与之前学过的整式方程，观察它们的形式差异. 答案预设： (1)等量关系： ①甲列车的平均行驶速度＝乙列车的行驶速度×2； ②甲列车行驶时间－＝乙列车行驶时间. (2). (3). 【课堂互动】 教师提问：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款. 已知七年级同学捐款总额为4 800 元，八年级同学捐款总额为 5000 元，八年级捐款人数比七年级多 20 人，而且两个年级人均捐款额恰好相等. 如果设七年级捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？ 学生回答：学生根据“人均捐款额相等”列出方程：. 教师提问：由上面的问题，你得到了哪些方程？观察这些方程，它们有什么共同特点？与同伴进行交流. 学生：，，. 【学生活动】学生以小组为单位，交流讨论这些方程的形式特征，对比整式方程的定义，发现它们的分母中都含有未知数，并尝试用自己的语言描述这类新方程的特点. 教师讲解分式方程的概念： 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 教师拓展：分式方程必须满足的条件(三者缺一不可)： （1）是方程 (含有未知数的等式)； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 设计意图：通过真实情境引导学生多角度分析等量关系、建立方程模型，让学生在观察对比中发现分母含未知数的方程特征，自然引出分式方程的定义，激发探究兴趣，为后续学习做好铺垫. 【课堂互动】 教师提问：下列式子，哪些是关于 x 的分式方程？ ①，②，③. 【学生活动】学生独立思考，结合分式方程定义逐一判断，小组内交流判断依据，明确哪些是分式方程，哪些是整式方程. 学生：①是分式方程，②③是整式方程. 教师讲解：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数 (不是未知数)． 注意：分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如方程(a 为非零常数)，分母中虽然含有字母 a，但 a 不是未知数，所以该方程是整式方程. 教师提问：2021 年，我国全年货物进出口总额为 391009 亿元，比 2020 年增长 21.4%. 设 2020 年我国全年货物进出口总额为 x 亿元，请你写出 x 满足的方程，你能写出几个？其中哪一个是分式方程？ 【学生活动】学生结合增长率的数量关系（增长额、总额、增长率等），独立列出不同形式的方程，小组交流所列方程的类型，区分整式方程与分式方程 【师生活动】教师引导学生梳理所列的 5 个方程： (1) (1+21.4%)x=391009；(2) ；(3) 391009−x=21.4%x； (4) ；(5) 重点分析后两个方程分母含未知数x，确认为分式方程，强化概念的实际应用 教师提问：结合上述问题，我们发现列分式方程和列一元一次方程有什么共同特点？ 学生：步骤一样. 教师讲解：列分式方程解决实际问题的一般思路： 从实际问题出发；梳理、分析，找到数量关系；根据数量关系，抽象出数学模型；最终建立分式方程. 设计意图：通过真实的经济增长率问题，引导学生多角度建模、列方程，在对比辨析中巩固分式方程定义，深化其与整式方程的区别；再通过与列一元一次方程的对比，自然梳理出列分式方程解决实际问题的一般思路，帮助学生形成系统的建模方法，为后续应用奠定基础. 【尝试 思考】 教师提问：你能求出方程的解吗？你是怎样思考的？ 学生1：可以用前面学过的知识，对式子进行通分. 学生2：可以代入数值验证. 答案预设： 通过上节知识，通分后合并左边分式： ， 原方程化简为：， 交叉相乘得：5x=87×6=522， 解得：， 代入原方程等式成立，故解有效. 教师提出小问题：这里我们运用了交叉相乘积相等，还有其余的解法吗？ 大家课后尝试练习解答. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.分式方程的概念： 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 2.列分式方程解决实际问题的一般思路. 学科网（北京）股份有限公司 $