精品解析：河南邓州市2025- 2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷

邓州市2025～2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 代数式 ，，，中分式有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列分式变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为（ ） A. B. C. 5 D. 6 4. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（　　） A. x+2＝4 B. x﹣2＝4 C. x﹣2＝4（2x﹣1） D. x+2＝4（2x﹣1） 6. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 5 7. 已知直线y＝kx+b（k≠0）平行于直线y＝﹣2x且与直线y＝4x+2交于y轴上的同一点，则直线y＝kx+b不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与（m≠0）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，都在反比例函数（为任意实数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 若点在x轴上，则点P关于y轴对称的点Q坐标是________． 13. 已知方程组的解为，则直线与直线的交点在平面直角坐标系中位于______象限． 14. 已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 15. A，B两地相距，甲，乙两人沿同一条路从A地到B地．（甲骑摩托车，乙骑自行车）．甲，乙两人离开A地的距离（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示，下列说法： ①乙比甲提前出发； ②甲的速度为； ③的值为50； ④或时，乙比甲多行． 其中正确的是：________（填序号） 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______（填序号）． ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 18. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为，则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．请认真观察图象，回答下列问题： （1）y_____关于x的函数（填“是”或“不是”）； （2）请说明点D的实际意义． （3）由图可知，知识记忆遗忘先___后___，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐____．（填序号） ①快 ②慢 ③增多 ④减少 （4）根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 19. 【教材呈现】以下是华师大版初中数学八年级下册第页的内容： 问题：暑假里小明的爸爸带领全家去北京自驾游．汽车驶上地的高速公路后，小明发现汽车匀速行驶的速度是．已知地直达北京的高速公路全程为，小明想知道汽车从地驶出后、距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己距北京的路程． 【问题解决】 （1）汽车距北京的路程（千米）与汽车在高速公路上行驶的时间（小时）之间的函数关系式是________；自变量的取值范围是________； （2）若另有小红同时从北京乘车沿同一公路回地，其函数关系式为，这里表示汽车行驶的时间（时），表示汽车距北京的路程（千米）．请在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并说明交点的实际意义． 20. 小学我们学分数时学过真分数和假分数，初中我们又学习了分式，现在我们来了解一下什么是真分式和假分式．对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，称为真分式，如；当分子的次数大于或等于分母的次数时，称为假分式，如，．假分式也可以化为带分式的形式，即整式与真分式的和的形式，如，． （1）分式是________分式（选填“真”或“假”）； （2）请将分式化为带分式的形式，当的值为整数时，求整数的所有可能值． 21. 某运动鞋专卖店通过市场调研，准备销售A、B两种运动鞋，其中A种运动鞋的进价比B种运动鞋的进价高20元，已知鞋店用3200元购进A种运动鞋的数量与用2560元购进B种运动鞋的数量相同． （1）求两种运动鞋的进价． （2）设A运动鞋的售价为250元/双，B运动鞋的售价是180元/双，鞋店共进货两种运动鞋200双，设总利润为W元，A运动鞋进货双，且90≤≤105． ①写出总利润W元关于的函数关系式． ②要使该专卖店获得最大利润，应如何进货? 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）结合图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）直线上有一点M，其横坐标为，在y轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小；此时的周长最小，且周长最小值为________． 23. 探究以下问题： （1）【情境引入】 如图1，等腰直角三角形中，，．直线经过点，过作于点，过作于点．易证得（无需证明），这就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，此时所运用的三角形全等的判定定理是________．（填序号） ①；②；③；④ （2）【类比探究】如图2，点分别在轴，轴上，若直线的函数关系式为： ①则点坐标为________，点坐标为________； ②将线段绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为________； （3）如图3，点在反比例函数图象上，连接，将绕点顺时针旋转到，求直线的解析式； （4）【拓展延伸】 如图4，在（1）的条件下（即直线的解析式为），若点在第二象限，且是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邓州市2025～2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 代数式 ，，，中分式有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，分母中含有字母的式子就叫做分式；注意π是一个具体的数，不是字母．根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：代数式 ，，，中分式有，，共个， 故选：B． 2. 下列分式变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．利用分式的基本性质逐个选项分析即可解答． 【详解】解：A、分子和分母都加上3和原分式不相等，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意； B、分式的分子乘以，分母乘以，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意； C、分子和分母都减去3和原分式不相等，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意； D、分式的分子和分母都除以c，符合分式的基本性质，故本选项符合题意． 故选：D． 3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 4. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，最简分式的分子和分母没有公因式；需逐一验证各选项的分子和分母能否约分即可． 【详解】解：选项A：，分子为，分母为，公因式为，可约分为，故不是最简分式； 选项B：，分子为，分母为，分子分母有的公因式，可约分； 选项C：，分子为平方差，分母为，可约分为，故不是最简分式； 选项D：，分子为，在实数范围内无法分解；分母为，两者无公因式，无法约分，是最简分式； 故选：D． 5. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（　　） A. x+2＝4 B. x﹣2＝4 C. x﹣2＝4（2x﹣1） D. x+2＝4（2x﹣1） 【答案】C 【解析】 【分析】去分母后对比选项一致的即为答案． 【详解】方程整理得：， 去分母得：x﹣2＝4（2x﹣1）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了含分母的一元一次方程的解法，去分母要正确的找到方程两边同时乘的式子是做出本题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】解：点到轴的距离为． 7. 已知直线y＝kx+b（k≠0）平行于直线y＝﹣2x且与直线y＝4x+2交于y轴上的同一点，则直线y＝kx+b不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线y＝kx+b（k≠0）平行于直线y＝﹣2x可得k=-2，根据与直线y＝4x+2交于y轴上的同一点可得b=2，即可得直线y＝kx+b（k≠0）经过的象限，进而可得答案． 【详解】∵直线y＝kx+b（k≠0）平行于直线y＝﹣2x， ∴k=-2， ∵直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝4x+2交于y轴上的同一点， ∴b=2， ∴直线y＝kx+b（k≠0）经过一、二、四象限， ∴直线y＝kx+b（k≠0）不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数y＝y＝kx+b（k≠0）的性质，当k＞0时，图象经过一、三象限，当k＜0时，图象经过二、四象限；图象与y轴的交点坐标为（0，b）；两条直线平行，k值相等；熟练掌握相关性质是解题关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与（m≠0）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以A选项错误； B．由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以B选项错误； C．由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以C选项错误； D．由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以D选项正确． 故选：D． 9. 若点，，都在反比例函数（为任意实数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限和增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小关系即可． 【详解】解：∵对于任意实数均有， ∴， ∴反比例函数的图象分别位于一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，点，在第一象限， ∴，，， 又∵在第一象限内随的增大而减小，且， ∴， ∴． 10. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不为，列出关系式求解即可． 【详解】解：由分母不为零可得，解得． 12. 若点在x轴上，则点P关于y轴对称的点Q坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，根据点在x轴上求出，得，再求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得，， ∴, ∵点P与点Q关于y轴对称， ∴点Q坐标是， 故答案为：． 13. 已知方程组的解为，则直线与直线的交点在平面直角坐标系中位于______象限． 【答案】第四 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的解与两直线的交点之间的关联即可得到交点坐标所在的象限． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴直线与直线的交点坐标为， ∵坐标在第四象限， ∴直线与直线的交点在平面直角坐标系中位于第四象限， 故答案为：第四． 【点睛】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，理解一次函数与二元一次方程的关联是解题的关键． 14. 已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【解析】 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 15. A，B两地相距，甲，乙两人沿同一条路从A地到B地．（甲骑摩托车，乙骑自行车）．甲，乙两人离开A地的距离（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示，下列说法： ①乙比甲提前出发； ②甲的速度为； ③的值为50； ④或时，乙比甲多行． 其中正确的是：________（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】从图中获取相关信息，逐项验证即可． 【详解】解：由图可知，乙比甲提前出发，①正确； 由图可知，甲的速度为，②正确； 设乙离开A地的距离（单位：）与时间（单位：）的函数关系式为， 将代入关系式得， 解得， ， 当时，，③错误； 设甲离开A地的距离（单位：）与时间（单位：）的函数关系式为， 将、代入关系式得， 解得， ， 乙的速度为， 当时，则乙比甲多行时，； 当时，则时，解得； 在或时，乙比甲多行； 综上所述，正确的序号是①②④． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算绝对值、、零指数幂、负整数指数幂运算，再计算乘方运算及乘法运算，最后由有理数加法运算计算即可； （2）按照分式方程的解法步骤求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 17. 先化简，再求值：，其中． 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______（填序号）． ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③ （2） ，， 甲同学的解法： 原式 ， 当时，原式； 乙同学的解法： 原式 ， 当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键． （1）根据两名同学的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先把小括号内的式子的分子去括号，然后合并同类项化简，再约分化简，最后代值计算即可；乙同学的解法：先计算分式乘法，再去括号后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【小问1详解】 解：观察解题过程可知，甲同学的解法是先把括号内的式子通分，即利用分式的基本性质求解， 乙同学所利用乘法分配律去括号， 故答案为：②；③； 【小问2详解】 略 18. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为，则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．请认真观察图象，回答下列问题： （1）y_____关于x的函数（填“是”或“不是”）； （2）请说明点D的实际意义． （3）由图可知，知识记忆遗忘先___后___，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐____．（填序号） ①快 ②慢 ③增多 ④减少 （4）根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 【答案】（1）是 （2）点D的实际意义是学习后第24小时，记忆留存率为 （3）①，②，④ （4）建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是解题的关键． （1）根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可解答； （2）根据点的坐标的意义即可解答； （3）直接观察图象即可解答； （4）提出一条合理的建议即可． 【小问1详解】 解：根据图象知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应， ∴y是关于x的函数； 故答案为：是 【小问2详解】 解：点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为； 【小问3详解】 解：由图形知，知识记忆遗忘是先快后慢，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐减少； 故答案为：①，②，④ 【小问4详解】 解：建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新． 19. 【教材呈现】以下是华师大版初中数学八年级下册第页的内容： 问题：暑假里小明的爸爸带领全家去北京自驾游．汽车驶上地的高速公路后，小明发现汽车匀速行驶的速度是．已知地直达北京的高速公路全程为，小明想知道汽车从地驶出后、距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己距北京的路程． 【问题解决】 （1）汽车距北京的路程（千米）与汽车在高速公路上行驶的时间（小时）之间的函数关系式是________；自变量的取值范围是________； （2）若另有小红同时从北京乘车沿同一公路回地，其函数关系式为，这里表示汽车行驶的时间（时），表示汽车距北京的路程（千米）．请在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并说明交点的实际意义． 【答案】（1） （2）图象见解析，交点的实际意义：表示的是小明和小红在路上相遇时所用的时间和距北京的距离 【解析】 【分析】（1）由题中材料描述数据求解即可； （2）分别得到两个函数关系式中自变量的取值范围，取值后，在同一个平面直角坐标系中描点、连线即可得到函数图象，得到交点后解释其实际意义即可． 【小问1详解】 解：已知地直达北京的高速公路全程为，汽车驶上地的高速公路后，匀速行驶的速度是，则走完全程花费时间为， ； 【小问2详解】 解：小红同时从北京乘车沿同一公路回地，其函数关系式为，则走完全程花费时间为， ， 由（1）知小明家汽车距北京的路程（千米）与汽车在高速公路上行驶的时间（小时）之间的函数关系式是， 函数取值如下表： 函数取值如下表： 在同一个平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： 则交点的实际意义：表示的是小明和小红在路上相遇时所用的时间和距北京的距离． 20. 小学我们学分数时学过真分数和假分数，初中我们又学习了分式，现在我们来了解一下什么是真分式和假分式．对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，称为真分式，如；当分子的次数大于或等于分母的次数时，称为假分式，如，．假分式也可以化为带分式的形式，即整式与真分式的和的形式，如，． （1）分式是________分式（选填“真”或“假”）； （2）请将分式化为带分式的形式，当的值为整数时，求整数的所有可能值． 【答案】（1）真 （2），或或1或 【解析】 【分析】（1）由阅读材料中真分式定义判定即可； （2）先将假分式化为带分式的形式，再由题意列式求解即可． 【小问1详解】 解：中分子的次数小于分母的次数，分式是真分式； 【小问2详解】 解：， 当的值为整数时，或， 或或1或． 21. 某运动鞋专卖店通过市场调研，准备销售A、B两种运动鞋，其中A种运动鞋的进价比B种运动鞋的进价高20元，已知鞋店用3200元购进A种运动鞋的数量与用2560元购进B种运动鞋的数量相同． （1）求两种运动鞋的进价． （2）设A运动鞋的售价为250元/双，B运动鞋的售价是180元/双，鞋店共进货两种运动鞋200双，设总利润为W元，A运动鞋进货双，且90≤≤105． ①写出总利润W元关于的函数关系式． ②要使该专卖店获得最大利润，应如何进货? 【答案】（1）A种运动鞋的进价为100元/双，B种运动鞋的进价是80元/双；（2）①W=50+20000；②要使该专卖店获得最大利润，此时应购进A种运动鞋105双，购进B种运动鞋95双 【解析】 【分析】（1）设B种运动鞋的进价元，根据等量关系：用3200元购进A种运动鞋的数量=用2560元购进B种运动鞋的数量，列出分式方程并解分式方程即可； （2）①根据总利润=A种运动鞋的利润+B种运动鞋的利润，即可列出W关于m的函数关系式； ②根据W与m的函数关系式及m的取值范围，可确定W的最大值． 【详解】（1）设B种运动鞋的进价元，则A种运动鞋的进价元，则 解得： 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ∴ 故A种运动鞋的进价为100元/双，B种运动鞋的进价是80元/双． （2）①W=（250-100）+（180-80）（200-）=50+20000 即总利润W元关于的函数关系式为W=50+20000 ②∵W=50+20000 ∴50＞0， W随的增大而增大 又∵90≤≤105 ∴当=105时，W取得最大值，200-=95 故要使该专卖店获得最大利润，此时应购进A种运动鞋105双，购进B种运动鞋95双． 【点睛】本题考查了分式方程与一次函数的实际应用，对于分式方程的应用，关键是理解题意，找到相等关系并列出方程；对于一次函数的应用，关键是掌握它的性质．注意解分式方程要检验． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）结合图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）直线上有一点M，其横坐标为，在y轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小；此时的周长最小，且周长最小值为________． 【答案】（1）， （2）或 （3）见解析， 【解析】 【分析】（1）将代入求出，将代入求出，将，代入求解即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）作点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q即可；求出点M坐标，进而根据勾股定理求出、长度，即可求出的周长最小值． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得：， ∴反比例函数表达式为， 将代入得， ∴， 将，代入得， 解得：， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据函数图象可知当时，或； 【小问3详解】 解：如图，作点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q，点Q即为所求； 由作图可知， ∴的周长， 可知的周长最小值， ∵点M横坐标为， ∴点M纵坐标为， 即， 当时，解得，即， 根据轴对称的性质可知， ∴，， ∴的周长最小值． 23. 探究以下问题： （1）【情境引入】 如图1，等腰直角三角形中，，．直线经过点，过作于点，过作于点．易证得（无需证明），这就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，此时所运用的三角形全等的判定定理是________．（填序号） ①；②；③；④ （2）【类比探究】如图2，点分别在轴，轴上，若直线的函数关系式为： ①则点坐标为________，点坐标为________； ②将线段绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为________； （3）如图3，点在反比例函数图象上，连接，将绕点顺时针旋转到，求直线的解析式； （4）【拓展延伸】 如图4，在（1）的条件下（即直线的解析式为），若点在第二象限，且是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）② （2）①，；② （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）由两个三角形全等的判定定理求证即可； （2）①由直线的函数关系式为，令和解方程即可求解；②根据题意，作出图形，过点作轴，由（1）中“一线三垂直全等模型”得到，求出相关线段长度即可得到点的对应点的坐标； （3）先由（1）中“一线三垂直全等模型”得到，确定点的坐标，再由待定系数法求直线解析式即可； （4）根据题意，分三种情况，作出图形，结合“一线三垂直全等模型”得出全等三角形，再由全等性质得到相关线段长即可确定答案． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， 则此时所运用的三角形全等的判定定理是②； 【小问2详解】 解：①直线的函数关系式为，点分别在轴，轴上， 当时，，即；当时，，即； ②过点作轴，如图所示： ∵，； ∴， 由（1）中“一线三垂直全等模型”得到， ， 则， 点的对应点的坐标为； 【小问3详解】 解：点在反比例函数图象上， ，即， 过点作轴的垂线，如图所示： 由（1）中“一线三垂直全等模型”得到， ， 则点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得， 解得， 直线的解析式； 【小问4详解】 解：过的端点及中点作垂线，如图所示： 由（2）①知、， 当是等腰直角三角形时，过点作轴，如图所示： 则由（1）中“一线三垂直全等模型”得到， ， 则， ； 当是等腰直角三角形时，过点作轴、轴，连接，如图所示： 则，， 对于四边形，连接，将其分成了两个三角形，由三角形内角和定理可得四边形四个内角和为， ， ， 则， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， 则，解得， ， ； 当是等腰直角三角形时，过点作轴，如图所示： 则由（1）中“一线三垂直全等模型”得到， ， 则， ； 综上所述，若点在第二象限，且是等腰直角三角形时，点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $