精品解析：河南省南阳市邓州市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

邓州市2024~2025学年第二学期期中质量评估八年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 要使分式有意义，则的取值应满足( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：D． 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意． 故选：D． 3. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键．这里的． 【详解】解：． 故选：A． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，先将分式通分，然后对分式进行加减运算． 【详解】 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在第三象限的点的特征进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵第三象限的点特征是横坐标小于零，纵坐标小于零， ∴点在第三象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 6. 小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（ ） A. 金额是因变量 B. 单价是自变量 C. 7.76和31是常量 D. 金额是随着数量的增大而减少 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查变量和常量，根据一个变化过程中，变化的量为变量，固定不变的量叫做常量，因变量随着自变量的变化而变化，据此进行判断即可． 【详解】解：由题意，油的单价固定不变为常量，金额随着数量的增大而增大， 故单价是常量，数量为自变量，金额为因变量； 故符合题意的只有选项A； 故选A． 7. 绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设原计划每天种树x棵，实际每天种树的棵数是棵，根据结果提前5天完成任务，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天种树x棵，实际每天种树的棵数是棵，根据题意得： ， 故选：B． 8. 在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（ ） A. 小汽车共行驶 B. 小汽车中途停留 C. 小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D. 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从函数图像中获取信息，涉及行程问题公式：路程速度时间，数形结合逐项判断是解决问题的关键． 【详解】解：A、由图可知，小汽车共行驶，选项正确，不符合题意； B、由图可知，小车在1小时到1.5小时之间，路程没有变化，中途停留，选项正确，不符合题意； C、小车前3小时共行驶，故小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时，选项正确，不符合题意； D、由图可知，小汽车自出发后3小时至5小时是匀速行驶，速度不变，选项错误，符合题意； 故选：D． 9. 若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解分式方程、分式方程的解、解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程． 利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可，注意分式方程无解的情况． 【详解】解：， 方程两边同乘得， ， ， 由题意得，该分式方程有解，且解为正数， 即且， 且． 故选：． 10. 如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理，过作于点，由图象可知：，，通过面积求出，最后再通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过作于点，由函数图象可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（共5小题15分） 11. 分式的值为0，则的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x−2＝0，2x≠0 解得：x＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键． 12. 已知点在x轴上，此时点A的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据x轴上的点的纵坐标为0，列式可求出m的值，进而即可求解． 【详解】解：点在x轴上， ， ， 点A的坐标为，即， 故答案为：． 13. 已知，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的求值，由可化为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点A是反比例函数图象上一点，点B与点A关于x轴对称，过点B作轴于点C，连接；若的面积为8，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质及反比例函数中系数的几何意义，熟练掌握反比例函数中系数得几何意义是解题的关键．设点，其中，根据对称性得到点，又易知点，由的面积为8，由面积公式可得，结合图象即可求解． 【详解】解：设点，其中 ∵点与点关于轴对称 ∴点， 轴于点， ∴， ， ， 即， 又点是反比例函数（，）图象上一点， ， 即， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，顶点，，，，都在x轴的正半轴上，顶点，，，都在直线上．若点的坐标为，点的坐标为_________，点的坐标为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、正比例函数的性质、坐标的规律探索，先求出前几个正方形顶点的坐标，根据坐标找出规律，求解即可，正确得出规律，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∵四边形为正方形， ∴，且的纵坐标与相同为，的横坐标为， ∴， ∵在轴上，的坐标为，在直线上， ∴坐标为， ∴正方形的边长为，则的纵坐标与相同为，的横坐标为， ∴， …， 观察可得，，， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 三、解答题（共8小题） 16. （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零次幂、乘方，分式混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简负整数指数幂、零次幂、乘方，再运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，化简得，即可作答． 【详解】解：（1） （2） ． 17. 已知一次函数． （1）当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； （2）若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； （3）若，当______时，． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）根据函数的增减性得出，求解即可； （2）根据函数图象所经过的象限得出，求解即可； （3）当时，，再求出与轴交点的横坐标，即可得解． 【小问1详解】 解：∵y随x的增大而减小， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵图象经过一、二、三象限， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，，解得， ∴当时，． 18. 下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘________，约去分母， 得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． （1）这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是_______，解题过程缺少的步骤是_______． （2）该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程 【答案】（1），检验 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． （1）根据解分式方程的步骤判断即可得解； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是，解题过程缺少的步骤是检验； 【小问2详解】 解：方程两边同乘以得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 检验：把代入， 所以是原方程的根． 19. 数学是一切学科基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． （1）求密度关于体积的函数解析式； （2）当时，求的值； （3）若，求二氧化碳密度的变化范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设密度关于体积的函数解析式为，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值，进而可得出密度关于体积的函数解析式； （2）把代入解析式即可求出的值； （3）由，利用反比例函数的性质可得出当时随的增大而减小，结合的取值范围，即可求出二氧化碳密度的变化范围． 【小问1详解】 解：设密度的关于体积的函数解析式为. ∵当时，. ∴， ∴. ∴密度关于体积的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，代入，. 解得：； 【小问3详解】 解：∵ ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，， 即二氧化碳密度的变化范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，反比例函数的解析式，解题的关键是根据待定系数法求出反比例函数解析式． 20. 如图，已知直线与双曲线交于、两点，请利用以上信息解决问题： （1）方程的解是_________； （2）方程组的解是_________； （3）关于的不等式的解集为_______； 【答案】（1）或1 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及根据交点情况求不等式解集，运用数形结合的数学思想是解题的关键． （1）直线与双曲线交点的横坐标即为方程的解； （2）利用双曲线解析式求出点A和点B的坐标，即可得出方程组的解； （3）直线在双曲线下方部分对应x的取值范围即为不等式的解集． 【小问1详解】 解：直线与双曲线交于、两点， 方程的解是或1， 故答案为：或1； 【小问2详解】 解：、在双曲线上， ，， 、 方程组的解是或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：由图可知或时，直线在双曲线下方， 关于的不等式的解集为或， 故答案为：或． 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校数学兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究，兴趣小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如下表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（cm） 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察搞出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的什么函数，请结合表格数据，求出该函数的解析式； （3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点？ 【答案】（1）见解析 （2）一次函数， （3）下午 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据画出的图象特征判断即可，运用待定系数法求出函数解析式； （3）将代入函数解析式，求出的值，并根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为时的时间即可． 【小问1详解】 解：描点并连线如图所示： 【小问2详解】 解：观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数，设与之间的函数解析式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当时，得， 解得， 上午经过12小时是，即下午． 答：当箭尺读数为时是下午． 22. 某快递公司为提高效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨． （1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台．请报据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 【答案】（1）每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨； （2）A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元． 【解析】 【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，根据“每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨”列方程组解答即可； （2）题目中的不等关系是：厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，等量关系是：总费用＝A型机器费用+B型机器费用，极值问题来利用函数的递增情况解决． 【小问1详解】 解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，根据题意得： ， 解得：， 答：每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨； 【小问2详解】 设：A种机器人采购m台，B种机器人采购台，总费用为w（万元），根据题意得： ； ． ∵， ∴w随着m的减少而减少． ∴当时，w有最小值，． ∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元． 【点睛】考查二元一次方程组的应用，一次函数应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，并列出对应的方程组，极值问题来利用函数的递增情况解决 23. 综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“画一次函数的图象”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图1，画函数与的图象，可知直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一： 在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 如图2，画函数与的图象，利用所学知识可知这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二： 在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立 ①请写出一条直线解析式，使它与直线平行； ②已知直线与直线互相垂直，则_______． （2）感悟应用 如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若点Q是x轴上一动点，且三角形的面积是1，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①（答案不唯一）；② （2），图见解析 （3）3或5 【解析】 【分析】（1）①如果且，那么，由此可解；②如果，那么，由此可解； （2）过点A作直线于点P，此时线段的长度最小，由两直线垂直可设直线的解析式为，由点A的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，联立两直线解析式成方程组，再通过解方程组即可求出：当线段的长度最小时，点P的坐标． （3）设点Q的坐标为，根据列方程，即可求解． 【小问1详解】 解：①由题意知，与直线平行的直线的解析式可以为：； ②若直线与直线互相垂直，则， 解得， 故答案为：； 小问2详解】 解：过点A作直线于点P，此时线段的长度最小，如图： ∵直线与直线垂直， ∴设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为 联立两直线解析式成方程组，得：， 解得， ∴当线段的长度最小时，点P的坐标为． 【小问3详解】 解：设点Q的坐标为， ， ∴， 解得或， ∴的长为3或5． 【点睛】本题考查一次函数图象和性质，两条直线的交点问题，垂线段的性质，三角形面积公式等，理解题干中两直线平行或垂直的条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邓州市2024~2025学年第二学期期中质量评估八年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 要使分式有意义，则的取值应满足( ) A B. C. D. 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（ ） A. B. C. D. 6. 小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（ ） A. 金额是因变量 B. 单价是自变量 C. 7.76和31是常量 D. 金额是随着数量的增大而减少 7. 绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（ ） A. 小汽车共行驶 B 小汽车中途停留 C. 小汽车出发后前3小时平均速度为40千米/时 D. 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 9. 若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 3 二、填空题（共5小题15分） 11. 分式的值为0，则的值是________． 12. 已知点在x轴上，此时点A的坐标为_________． 13. 已知，则的值为_________． 14. 如图，点A是反比例函数图象上一点，点B与点A关于x轴对称，过点B作轴于点C，连接；若的面积为8，则k的值为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，，都在x轴的正半轴上，顶点，，，都在直线上．若点的坐标为，点的坐标为_________，点的坐标为_________． 三、解答题（共8小题） 16. （1）计算：． （2）化简： 17. 已知一次函数． （1）当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； （2）若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； （3）若，当______时，． 18. 下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘________，约去分母， 得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． （1）这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是_______，解题过程缺少的步骤是_______． （2）该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程 19. 数学是一切学科基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． （1）求密度关于体积的函数解析式； （2）当时，求的值； （3）若，求二氧化碳密度的变化范围． 20. 如图，已知直线与双曲线交于、两点，请利用以上信息解决问题： （1）方程的解是_________； （2）方程组的解是_________； （3）关于的不等式的解集为_______； 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校数学兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究，兴趣小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如下表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（cm） 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察搞出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的什么函数，请结合表格数据，求出该函数的解析式； （3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点？ 22. 某快递公司为提高效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨． （1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台．请报据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 23. 综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“画一次函数的图象”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图1，画函数与的图象，可知直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一： 直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 如图2，画函数与的图象，利用所学知识可知这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二： 在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立 ①请写出一条直线解析式，使它与直线平行； ②已知直线与直线互相垂直，则_______． （2）感悟应用 如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若点Q是x轴上一动点，且三角形的面积是1，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $