专题9：天体运动中的能量问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

第八章 专题9：天体运动中的能量问题 一、变轨问题 1．如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，P、Q为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，下列选项正确的是（　　） A．速率增大，机械能增大 B．速率减小，机械能减小 C．速率增大，机械能不变 D．速率减小，机械能不变 1．D 【详解】根据题意可知，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，只有万有引力做负功，则机械能不变，动能减小，即速率减小。故选D。 2．2024年4月21日7时45分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号02星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。若遥感四十二号02星发射过程示意图如图所示，先进入近地圆形轨道I（可认为轨道半径等于地球半径），并在该轨道上做匀速圆周运动，到点时实施瞬间点火变轨进入椭圆轨道II，沿轨道II运动到点时再次实施变轨，进入轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动。已知地球的半径为，轨道Ⅲ的半径为，卫星在轨道Ⅲ上时运行周期为，引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道II上运行，从点到点，需在点点火减速 B．卫星在轨道II上的周期为 C．卫星从轨道II变到轨道III，机械能不变 D．地球的平均密度为 2．B 【详解】A．卫星在轨道II上，从点到点，只有万有引力做功，机械能保持不变，不需在点点火减速，故A错误； B．卫星在轨道Ⅲ上时运行周期为，根据开普勒第三定律可得，卫星在轨道II上的周期为，故B正确； C．卫星从轨道II变到轨道III，做离心运动，需在处点火加速，机械能增加，故C错误； D．根据万有引力提供向心力，又，联立可得，故D错误。故选B。 3．如图所示，中国自行研制、具有完全知识产权的“神舟”飞船某次发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭将其送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点通过变轨进入预定圆轨道。下列说法正确的是（　　） A．从A点运行到B点的过程中，地球引力对飞船做正功 B．飞船在A点的加速度比在B点的加速度小 C．飞船在B点通过加速从椭圆轨道进入预定圆轨道 D．从A点运行到B点的过程中，飞船的动能先减小后增大 3．C 【详解】B．根据牛顿第二定律，可得 A点为近地点，B点为远地点，A点到地心的距离小于B点到地心的距离，则飞船在A点的加速度比B点的大，故B错误； C．椭圆轨道相对于预定圆轨道是低轨道，由低轨道变轨到高轨道，需要在切点位置向后喷气加速，即飞船在B点通过加速从椭圆轨道进入预定圆轨道，故C正确； AD．在椭圆轨道上运行时，当飞船由A点运动到B点的过程中，速度减小，动能减小，势能增大，则引力做负功，故AD错误。故选C。 4．2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地近圆轨道上的天宫空间站。为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施。已知质量为m的物体从距地心r处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为，式中M为地球质量，G为引力常量；现将空间站的质量记为，变轨前后稳定运行的轨道半径分别记为、，如图所示。空间站紧急避碰过程发动机做的功至少为（　　） A． B． C． D． 4．A 【详解】空间站紧急避碰的过程可简化为加速、变轨、再加速的三个阶段；空间站从轨道变轨到过程，根据动能定理有，依题意可得引力做功 万有引力提供在圆形轨道上做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有 求得空间站在轨道上运动的动能为 动能的变化，解得。故选A。 5．（多选）2024年3月，我国发射的DRO-A/B双星因入轨异常，初始轨道远地点高度仅13.4万千米，经两次轨道机动后，远地点高度被抬升至38万千米，轨道变迁如图所示。忽略近地点高度，下列关于DRO-A/B卫星的说法正确的是（　　） A．在轨道Ⅰ稳定运行时，卫星的机械能不守恒 B．在轨道Ⅱ稳定运行时，卫星在远地点的速率小于在近地点的速率 C．在轨道Ⅲ运行时的周期小于其在轨道Ⅰ运行时的周期 D．从轨道Ⅱ转移到轨道Ⅲ时，要在P点对卫星点火加速 5．BD 【详解】A．在轨道Ⅰ稳定运行时，卫星只有引力做功，机械能守恒，故A错误； B．在轨道Ⅱ稳定运行时，根据开普勒第二定律可知，卫星在远地点的速率小于在近地点的速率，故B正确； C．根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅲ运行时的周期大于其在轨道Ⅰ运行时的周期，故C错误。 D．从轨道Ⅱ转移到轨道Ⅲ，即从低轨道变轨到高轨道，要在P点对卫星点火加速使其做离心运动，故D正确；故选BD。 6．（多选）目前，我国已有近千颗卫星在轨运行。质量为m的某卫星发射初期先进入近地圆轨道稳定运行，后在近地点进行加速进入椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再次加速后，进入预定圆轨道稳定运行。已知卫星近地圆轨道半径为R，预定圆轨道半径为2R，地球表面的重力加速度为g。若仅考虑地球引力，则该卫星距离地心r处的引力势能表达式为（r≥R）。不考虑地球自转，且除近地点和远地点外，其余位置发动机不提供动力，则（　　） A．卫星在椭圆轨道近地点的速率为 B．第一次点火时卫星获得的机械能为 C．卫星在预定圆轨道上稳定的运行速率为 D．第一次点火和第二次点火卫星增加的机械能之比为1：1 6．BC 【详解】A．卫星在近地点的速度为v近，到达远地点未加速时的速度为v远，根据机械能守恒和开普勒第二定律可得， 代入题目给的势能公式，，解得，v远=，故A错误； B．近地圆速度v0满足，根据万有引力与重力的关系有 则可知总机械能为 第一次点火后椭圆轨道总机械能 卫星增加的机械能为，故B正确； C．预定圆轨道半径2R，万有引力提供向心力，解得，故C正确； D．预定圆轨道总机械能 第二次点火卫星增加的机械能为，则，故D错误；故选BC。 二、环绕天体问题 1．如图所示，某地球卫星沿椭圆轨道运行，A、B分别为该轨道的远地点和近地点，A点到地球中心距离为r1，B点到地球中心距离为r2，不考虑其他天体影响。下列说法正确的是（　　） A．该卫星在A点受到的万有引力比B点的大 B．该卫星在B点的机械能大于在A点的机械能 C．该卫星在A、B两点的加速度大小之比为 D．若在距地球中心r1处有一圆轨道卫星，其运行周期大于该椭圆轨道卫星 1．D 【详解】A．根据万有引力公式，A为远地点，，因此卫星在A点受到的万有引力更小，故A错误； B．卫星沿椭圆轨道运动时，只有万有引力做功，机械能守恒，因此A、B两点机械能相等，故B错误； C．万有引力提供加速度，由得 ，因此A、B两点加速度之比 ，故C错误； D．该椭圆轨道的半长轴 ，由开普勒第三定律，可得距地球中心r1处有一圆轨道卫星，其运行周期大于该椭圆轨道卫星，故D正确。故选D。 2．（多选）2025年4月30日13时08分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功。设神舟十九号的质量为m，地球半径为R，神舟十九号绕地球做匀速圆周运动的轨道距离地面的高度为h，运行周期为T，已知引力常量为G，地球质量为M。下列说法正确的是（　　） A．地球的密度等于 B． 神舟十九号绕地球做圆周运动的线速度大于7.9 km/s C．神舟十九号绕地球做匀速圆周运动的动能为 D．神舟十九号绕地球做匀速圆周运动时，机械能不守恒 2．AC 【详解】A．根据万有引力提供向心力有，又，，联立得，故A正确； B．根据万有引力提供向心力有，得 故轨道半径越大线速度越小，是地球的近地卫星的线速度，神舟十九号的轨道半径为 故神舟十九号绕地球做圆周运动的线速度小于，故B错误； C．根据万有引力提供向心力有，又 联立得，故C正确； D．神舟十九号仅受万有引力作用，机械能（动能+引力势能）守恒。故D错误。故选AC。 3．人造卫星绕地球运动时，既具有动能又具有引力势能。以卫星距地面无限远处引力势能为零，人造卫星与地球间的引力势能为，G为引力常量，M为地球质量，m为人造卫星质量，r为人造卫星距地心的距离。 （1）设地球半径为R，求地球的第一宇宙速度大小v； （2）证明：人造卫星仅受地球引力作用条件下，在任意轨道上绕地球做匀速圆周运动时所具有的机械能的绝对值等于其动能的数值。 3．（1），（2）见解析 【详解】（1）根据万有引力提供向心力有，得地球的第一宇宙速度大小 （2）人造卫星仅受地球引力作用条件下，在任意轨道上绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有，又，，所具有的机械能为 联立得，，故 三、卫星发射及双星问题 1．2050年，人类发射“浙江号”载人航天探测器登上了银河系外某星球A，在该行星表面用实心球做竖直上抛运动，已知实心球初速度大小为，离地高度为h，从抛出到落地的时间为t。假设该星球为质量分布均匀的球体，半径为R，表面无空气，不考虑其自转及其他天体作用，已知万有引力常量G。求 （1）该星球表面的重力加速度g； （2）该星球对应的第一宇宙速度； （3）该星球对应的第二宇宙速度。已知以无穷远处为零势能点时质量为m的物体的引力势能大小为，其中r为距离质量为M的中心天体的距离。 1．（1） （2） （3） 【详解】（1）根据匀变速直线运动规律可得，解得 （2）在星球表面，根据牛顿第二定律可得，第一宇宙速度 （3）根据机械能守恒定律可得，又因为 联立解得 2．引力波探测为研究天体系统的演化提供了重要手段。为深入理解引力波辐射的物理机制，可研究一个理想化的双星系统：两颗质量均为m的星体，仅在万有引力作用下绕其连线中点做匀速圆周运动。已知两星体间的引力势能为，其中两星体间距为r，引力常量为G，取无穷远处引力势能为零。某同学建立如下两种模型： 模型I：假设双星系统的能量取分立值，能级结构类似于氢原子，即第n个能级的能量可表示为，其中对应双星系统能量最低的定态。 模型Ⅱ：假设双星系统因持续辐射引力波而损失能量，导致r连续减小，辐射的引力波功率P可表示为，其中c为光速，此过程可以认为天体的质量保持不变。 （1）求双星系统总能量E与两星间距r的关系式； （2）在模型I中，若已知双星系统从能级跃迁到能级时辐射的引力波能量为。求基态时两星体间距r1的表达式（用、G、m表示）； （3）在模型Ⅱ中，经过一段时间，两星体间距减小了（），辐射引力波的能量为。某同学认为两星体间距r会减小得越来越快。你是否同意他的想法，请说明理由。 2．（1） （2） （3）同意，理由见解析 【详解】（1）对单个星体，由万有引力提供向心力得 对双星系统，系统的总动能，其中，得 故双星系统的能量 （2）双星系统从能级跃迁到能级能量减少量为 根据能量守恒得得，由（1）知，得 （3）同意。双星系统间距由r变为时，系统能量减少量为 当r＞＞Δr时有，由能量守恒得，即 化简得，即 因此，随着两星体间距离r的减小，增加，该同学的说法正确。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 专题9：天体运动中的能量问题 一、变轨问题 1．如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，P、Q为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，下列选项正确的是（　　） A．速率增大，机械能增大 B．速率减小，机械能减小 C．速率增大，机械能不变 D．速率减小，机械能不变 2．2024年4月21日7时45分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号02星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。若遥感四十二号02星发射过程示意图如图所示，先进入近地圆形轨道I（可认为轨道半径等于地球半径），并在该轨道上做匀速圆周运动，到点时实施瞬间点火变轨进入椭圆轨道II，沿轨道II运动到点时再次实施变轨，进入轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动。已知地球的半径为，轨道Ⅲ的半径为，卫星在轨道Ⅲ上时运行周期为，引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道II上运行，从点到点，需在点点火减速 B．卫星在轨道II上的周期为 C．卫星从轨道II变到轨道III，机械能不变 D．地球的平均密度为 3．如图所示，中国自行研制、具有完全知识产权的“神舟”飞船某次发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭将其送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点通过变轨进入预定圆轨道。下列说法正确的是（　　） A．从A点运行到B点的过程中，地球引力对飞船做正功 B．飞船在A点的加速度比在B点的加速度小 C．飞船在B点通过加速从椭圆轨道进入预定圆轨道 D．从A点运行到B点的过程中，飞船的动能先减小后增大 4．2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地近圆轨道上的天宫空间站。为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施。已知质量为m的物体从距地心r处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为，式中M为地球质量，G为引力常量；现将空间站的质量记为，变轨前后稳定运行的轨道半径分别记为、，如图所示。空间站紧急避碰过程发动机做的功至少为（　　） A． B． C． D． 5．（多选）2024年3月，我国发射的DRO-A/B双星因入轨异常，初始轨道远地点高度仅13.4万千米，经两次轨道机动后，远地点高度被抬升至38万千米，轨道变迁如图所示。忽略近地点高度，下列关于DRO-A/B卫星的说法正确的是（　　） A．在轨道Ⅰ稳定运行时，卫星的机械能不守恒 B．在轨道Ⅱ稳定运行时，卫星在远地点的速率小于在近地点的速率 C．在轨道Ⅲ运行时的周期小于其在轨道Ⅰ运行时的周期 D．从轨道Ⅱ转移到轨道Ⅲ时，要在P点对卫星点火加速 6．（多选）目前，我国已有近千颗卫星在轨运行。质量为m的某卫星发射初期先进入近地圆轨道稳定运行，后在近地点进行加速进入椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再次加速后，进入预定圆轨道稳定运行。已知卫星近地圆轨道半径为R，预定圆轨道半径为2R，地球表面的重力加速度为g。若仅考虑地球引力，则该卫星距离地心r处的引力势能表达式为（r≥R）。不考虑地球自转，且除近地点和远地点外，其余位置发动机不提供动力，则（　　） A．卫星在椭圆轨道近地点的速率为 B．第一次点火时卫星获得的机械能为 C．卫星在预定圆轨道上稳定的运行速率为 D．第一次点火和第二次点火卫星增加的机械能之比为1：1 二、环绕天体问题 1．如图所示，某地球卫星沿椭圆轨道运行，A、B分别为该轨道的远地点和近地点，A点到地球中心距离为r1，B点到地球中心距离为r2，不考虑其他天体影响。下列说法正确的是（　　） A．该卫星在A点受到的万有引力比B点的大 B．该卫星在B点的机械能大于在A点的机械能 C．该卫星在A、B两点的加速度大小之比为 D．若在距地球中心r1处有一圆轨道卫星，其运行周期大于该椭圆轨道卫星 2．（多选）2025年4月30日13时08分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功。设神舟十九号的质量为m，地球半径为R，神舟十九号绕地球做匀速圆周运动的轨道距离地面的高度为h，运行周期为T，已知引力常量为G，地球质量为M。下列说法正确的是（　　） A．地球的密度等于 B． 神舟十九号绕地球做圆周运动的线速度大于7.9 km/s C．神舟十九号绕地球做匀速圆周运动的动能为 D．神舟十九号绕地球做匀速圆周运动时，机械能不守恒 3．人造卫星绕地球运动时，既具有动能又具有引力势能。以卫星距地面无限远处引力势能为零，人造卫星与地球间的引力势能为，G为引力常量，M为地球质量，m为人造卫星质量，r为人造卫星距地心的距离。 （1）设地球半径为R，求地球的第一宇宙速度大小v； （2）证明：人造卫星仅受地球引力作用条件下，在任意轨道上绕地球做匀速圆周运动时所具有的机械能的绝对值等于其动能的数值。 三、卫星发射及双星问题 1．2050年，人类发射“浙江号”载人航天探测器登上了银河系外某星球A，在该行星表面用实心球做竖直上抛运动，已知实心球初速度大小为，离地高度为h，从抛出到落地的时间为t。假设该星球为质量分布均匀的球体，半径为R，表面无空气，不考虑其自转及其他天体作用，已知万有引力常量G。求 （1）该星球表面的重力加速度g； （2）该星球对应的第一宇宙速度； （3）该星球对应的第二宇宙速度。已知以无穷远处为零势能点时质量为m的物体的引力势能大小为，其中r为距离质量为M的中心天体的距离。 2．引力波探测为研究天体系统的演化提供了重要手段。为深入理解引力波辐射的物理机制，可研究一个理想化的双星系统：两颗质量均为m的星体，仅在万有引力作用下绕其连线中点做匀速圆周运动。已知两星体间的引力势能为，其中两星体间距为r，引力常量为G，取无穷远处引力势能为零。某同学建立如下两种模型： 模型I：假设双星系统的能量取分立值，能级结构类似于氢原子，即第n个能级的能量可表示为，其中对应双星系统能量最低的定态。 模型Ⅱ：假设双星系统因持续辐射引力波而损失能量，导致r连续减小，辐射的引力波功率P可表示为，其中c为光速，此过程可以认为天体的质量保持不变。 （1）求双星系统总能量E与两星间距r的关系式； （2）在模型I中，若已知双星系统从能级跃迁到能级时辐射的引力波能量为。求基态时两星体间距r1的表达式（用、G、m表示）； （3）在模型Ⅱ中，经过一段时间，两星体间距减小了（），辐射引力波的能量为。某同学认为两星体间距r会减小得越来越快。你是否同意他的想法，请说明理由。 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $