第11章不等式与不等式组 数学活动（教学设计）数学新教材人教版七年级下册

第11章 不等式与不等式组 数学活动（教学设计） 1. 教学内容 本节课为人教2024版七年级数学下册第十一章《不等式与不等式组》的数学活动课，本节课主要包括两个探究活动： 活动1：用一元一次不等式解决实际问题（绿地率问题）. 通过分析某地区城市建成区面积与绿地面积的变化，构建一元一次不等式模型，解决“增加的绿地面积超过多少平方千米”的问题. 活动2：猜数游戏（整数分析问题）. 给定四个正整数的两两之和的特定范围，通过逻辑推理、分类讨论和方程（组）知识，推断出具体的四个数. 2.内容解析 本节课属于“综合与实践”领域，是对本章知识的综合运用与升华.活动1体现了数学建模思想，将现实生活中的“绿地率超过40%”转化为不等关系；活动2体现了逻辑推理与方程思想，利用整数条件和和的关系倒推原始数据.本节课区别于常规的解题课，让学生在“做数学”中体会不等式作为刻画现实世界的重要模型的价值，感受代数方法的优越性，同时通过开放性问题的探究，提升思维深度. 基于以上分析，本节课的教学重点是从图表和文字资料中抽象出不等关系，列出一元一次不等式；通过逻辑推理确定四个数的大小关系及具体数值. 1.教学目标 （1）能准确从资料中提取数据信息，列出一元一次不等式解决实际问题；能运用整数性质和不等式性质解决逻辑推理类的猜数问题. （2）经历“实际问题→建立模型→求解验证”的过程，掌握分析数据、寻找不等关系的方法；在猜数游戏中体会分类讨论和逆向思维的策略. （3）感受数学在决策（如环保、城市规划）中的作用，在小组合作破解猜数谜题中获得成功体验，增强数学兴趣. 2.目标解析 目标1让学生能独立完成活动1的解题步骤，设未知数、列不等式、解不等式，并根据实际意义（如面积、天数）取整. 目标2使学生能设定未知数表示四个数，通过分析两两之和的种类数判断数的相等关系，进而列出方程组求解. 目标3使学生在讨论中积极参与，能清晰地表达推理过程，并对生活中的“超标”、“达标”问题有数学敏感度. 学生已掌握一元一次不等式的解法，能解决简单的行程、工程问题，具备初步的代数推理能力.在活动1中，容易忽略“建成区面积增加约208 km²”中的“约”字对问题处理方式的影响；在活动2中，面对抽象的字母（a, b, c, d）和多个条件时，容易思维混乱，不知如何切入，尤其是对“为什么四个数中必有两个相等”的理解存在障碍.采用“问题串”引导，将大问题分解为小步骤；利用小组合作学习，让学生在交流中碰撞思维，通过实际写数尝试来辅助推理. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是活动2中，如何根据“和”的种数反推四个数中相等数的个数，以及如何利用整数解建立方程组；理解“超过”、“至少”等关键词的数学符号表示. 创设情景，引入新课 复习回顾：一元一次不等式及不等式组的解法 (设计意图：复习一元一次不等式及不等式组的解法夯实运算基础，为本节课的活动主题作铺垫) 探究点1：活动1——绿地率问题. 问题情境：展示课本中关于某地区2017年和2022年建成区面积、绿地率的统计资料. 资料：2017年建成区面积986.35 km²，绿地面积341.32 km²（绿地率34.6%）.2022年建成区面积增加了约208 km²，绿地率超过了40%. 问题：2017—2022年，增加的城市建成区绿地面积超过了多少平方千米？ 解读信息：引导学生找出已知量和未知量。设增加的绿地面积为 x km². 梳理关系：填写数量关系表. 2022年绿地面积 = 341.32 + x. 2022年建成区面积 = 986.35 + 208. 建立模型：根据“绿地率超过40%”（即 绿地面积 / 建成区面积 > 40%），列出不等式： . 求解检验：解不等式，得 x > 136.42.根据实际问题（面积），回答：超过了136.42 km². （设计意图：培养数学建模能力.让学生经历从现实情境中抽象出数学符号的全过程，特别是对“超过”转化为“>”的强化，并通过计算让学生体会不等式在预测和评估环境数据中的工具作用.） 探究点2：活动2——猜猜哪个数最大 问题呈现：有A、B、C、D、E五张卡片，上面分别写了1-50中的自然数（不重复）。已知相邻两张卡片之和（A+B, B+C, C+D, D+E, E+A）分别为54, 66, 59, 71, 48。请判断哪张卡片上的数最大，并尝试按从小到大排序. 师生活动：1. 设未知数：设A, B, C, D, E分别为 a, b, c, d, e. 2. 列方程组： 3. 寻关系，避硬解：提问：“直接解这个方程组方便吗？我们能否不求具体值，只比较大小？” 比较 b 和 d：(2) - (3) 得 b - d = 7→b > d. 比较 b 和 e：(2) - (4) + (5) 消元（或整体代入）得 b > e. 逻辑推导：引导学生利用不等式的传递性，最终得出 b 最大. 4. 求具体值（选讲/课后思考）：五式相加得 2(a+b+c+d+e) = 298，和为149.利用(2)(4)和整体和求a，进而求出各数. （设计意图：渗透整体思想和不等式传递性.本环节的核心不是解方程，而是利用“作差法”比较大小.通过关联方程组，训练学生从“求值”转向“定性地比较大小”，体会数学的灵活性与简洁美.） 典型例题 例1. 阅读下列信息： 信息一：为了喜迎党的二十大召开，某校在今年5月举行了党的知识竞赛，竞赛试卷共25道题目，每道题都给出四个答案，其中只有一个答案正确，参赛者选对得4分，不选或者选错扣2分，得分不低于80分者获奖． 信息二：为奖励获奖同学，学校准备购买A、B两种型号的书包作为奖品，已知购买3个A型书包和2个B型书包需520元，购买4个A型书包和买6个B型书包所花的钱一样多． 信息三：学校准备用不超过10000元的钱来完成这次活动（用于活动材料费及购买奖品），其中活动材料费刚好用了1800元，剩余的钱用于购买两种型号的书包共90个作为奖品，其中A型书包的数量不低于B型书包数量的． 解答下列问题： (1)李楠同学是获奖者，他至少应选对几道题？ (2)求A型书包和B型书包的单价； (3)请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【分析】（1）设应选对x道题，然后根据“得分不低于80分者获奖”列不等式求得x的取值范围，然后再根据x为整数即可解答； （2）设1个A型书包的价格为a元，1个B型书包的价格为b元，然后根据 “已知购买3个A型书包和2个B型书包需520元，购买4个A型书包和买6个B型书包所花的钱一样多”列二元一次方程组解答即可； （3）设购买A型书包m个，则购买B型书包个．然后根据题意列不等式组求得m的取值范围，进而确定m的值，然后根据m的取值确定方案并求得花费，最后比较即可解答． 【详解】（1）解：设应选对x道题， 根据题意可得：．解得：． ∵x为正整数， ∴x最小为22． 答：至少应选对22道题． （2）解：设1个A型书包的价格为a元，1个B型书包的价格为b元， 依题意得：，解得：． 答：1个A型书包的价格为120元，1个B型书包的价格为80元． （3）解：设购买A型书包m个，则购买B型书包个． 依题意得：，解得：． 又∵m为整数， ∴m可以为23，24，25． ∴共有3种购买方案． 方案1：购买A型书包23个，B型书包67个，所需费用为（元）； 方案2：购买A型书包24个，B型书包66个，所需费用为（元）； 方案3：购买A型书包55个，B型书包65个，所需费用为（元）． ∵， ∴方案1购买A型书包23个，B型书包67个费用最少，最少费用为8120元． （设计意图：通过活动充分拓展一元一次不等式的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识点，根据题意列出不等式组和二元一次方程组是解答本题的关键．） 课本课堂P145复习题11第9题. 参考答案：设这个公司购买x辆A型汽车，则(27.8-27)x+(25.8-24.4)(20一x)>20.5，解得x<12.5.所以这个公司最多能购买12辆A型汽车. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利5600元．下表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 160 240 礼盒 100 150 (1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒个（为整数），A礼盒的售价比第一次的售价提高元，礼盒的售价也比第一次的售价提高元．在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多1600元，且第二次购进礼盒总成本不超过13000元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【详解】（1）设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个 由题意可得：， 解得：， 答：该超市购进A礼盒20个，则购买礼盘80个． （2）由题意可得： ， 为整数， 所以该超市有6种进货方案. (设计意图:强化解一元一次不等式与不等式组的实际应用．) 1.（2025.文昌校测）．某公司计划租用大巴车接送春节后外地员工返岗复工．现有37座和22座两种型号的大巴车可供选择，且租金分别是2000元/辆和1500元/辆．若只租用37座型号的大巴车，则空余3个座位；若只租用22座型号的大巴车，则有14名员工没有座位．且只租用37座大巴车的费用比只租用22座大巴车的费用便宜2500元． (1)求该公司返岗员工共有多少人？ (2)由于安排合理，又新增75名返岗员工．若该公司计划共租用10辆大巴车一次性接送所有返岗员工，并且租车费用不超过19300元．请设计合理的租车方案． 【详解】（1）解：设37座型号的大巴车x辆，22座两种型号的大巴车y辆，根据题意得： ， 解得：， ， 答：该公司返岗员工共有256人； （2）解：设租用22座大巴车m辆，则租用37座大巴车辆，根据题意得： ， 解得：， ∵m是整数， ∴，此时， 因此租用37座大巴车8辆，租用22座大巴车2辆． 2．（2025•河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【解答】解：（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元； （2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12﹣x）箱， 根据题意得：12﹣x≤x， 解得：x≥6， 该公司需花费为100x+80（12﹣x）＝20x+960， ∵20＞0，∴20x+960随x的增大而增大， ∴当x＝6时，20x+960有最小值＝20×6+960＝1080， 答：该公司最少需花费1080元． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结：数学模型：不等式是刻画“不等关系”（如超过、不足、至少、至多）的有效工具.解题流程：实际问题→抓关键词→设未知数→列不等式(组)→求解→检验（实际意义）. 方法总结：数形结合：利用数轴可以直观地表示不等式的解集.分析法与综合法：在猜数游戏中，我们采用了“设未知数—作差比较”的分析法，以及“整体求和”的综合法.分类讨论：在面对多个可能性（如活动2中数的相等情况）时，要养成不重不漏的分类讨论习惯. 易错提醒：（1）在活动1中，注意“增加了约208”并不是精确值，但在列不等式时我们依然当作具体数值使用；结果要符合实际（如人数、车辆数必须取整数）.（2）在列不等式时，要仔细读题。“超过”用“>”，“不足”用“<”，“不少于”用“≥”.（3）在活动2中，不能随意假设哪个数最大，必须通过严谨的加减法（不等式性质）推导. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题11.2第8、9题. 探究性作业：习题11.2第10题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 第11章 不等式与不等式组 数学活动 探究点1：活动1——绿地率问题. 探究点2：活动2——猜猜哪个数最大 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $