11.1.2不等式的性质（第2课时 不等式性质的应用）（教学设计）数学新教材人教版七年级下册

11.1.2 不等式的性质（第2课时 不等式性质的应用）（教学设计） 1. 教学内容 本节课为人教2024版七年级数学下册第十一章《不等式与不等式组》11.1.2不等式的性质第2课不等式的性质应用.本节课是不等式性质的巩固与应用课,核心内容包括：回顾复习不等式的三条基本性质，重点强化性质3的应用规则；利用不等式的性质，将各类形式的一元一次不等式化为x>a、x≥a、x<a、x≤a的标准形式；结合简单实际问题，运用不等式性质列不等式并求解，体会性质在不等式变形中的核心作用. 2.内容解析 本节课是不等式性质的应用延伸课，承接上一课时不等式三条性质的探究结论，聚焦性质的实操应用，是连接不等式性质与一元一次不等式解法的关键过渡.教材通过不同类型的不等式变形例题，逐步加深难度，引导学生熟练运用性质进行规范变形，同时结合简单实际问题，渗透数学建模思想.本节课既是对不等式性质的巩固深化，也是后续系统学习一元一次不等式解法、不等式组解法的直接基础，让学生明确不等式求解的理论依据，规范代数变形步骤，培养严谨的推理能力，为整个不等式章节的解题奠定方法基础. 基于以上分析，本节课的教学重点是运用不等式的性质，将不等式化为x>a（或x≥a<a、x≤a）的形式；规范完成不等式变形的解题步骤. 1. 教学目标 (1)熟练掌握不等式的三条基本性质，能准确区分性质2与性质3；熟练运用不等式性质，将各类复杂不等式化为最简形式；能根据实际问题中的不等关系列不等式，并利用性质求解. (2)经历不等式变形、求解的过程，掌握一元一次不等式化简的步骤与方法；通过实际问题建模，提升分析不等关系、解决实际问题的能力；在解题中培养逻辑推理和规范表达能力. (3)在运用性质解决问题的过程中，感受数学知识的实用性；养成严谨、规范的解题习惯，提升克服困难的信心；体会数学与生活的联系，激发数学应用意识. 2.目标解析 目标1聚焦性质的应用落地，摒弃单纯概念记忆，要求学生能熟练、准确完成不等式变形，尤其突破含负数、分数、括号的不等式化简，掌握列不等式解实际问题的基础步骤，落实解题技能. 目标2以例题讲解、练习巩固为载体，让学生掌握不等式变形的解题思路，形成规范解题步骤；通过实际问题分析，培养学生提取不等关系、建立数学模型的能力，落实代数推理核心素养. 目标3通过循序渐进的练习，让学生逐步攻克难点，提升学习自信心；强化解题规范性，培养严谨的数学学习习惯；结合生活实例，让学生感受数学的应用价值，提升学习主动性. 学生在上一课时已经学习并初步记忆了不等式的三条基本性质，具备了简单不等式变形的基础，能完成基础的加减、正数乘除变形，但对性质3的应用仍不熟练，极易出现不等号方向忘记改变的错误.七年级学生逻辑推理能力较弱，面对含分数、括号的复杂不等式，容易出现运算与变形双重失误；同时，学生从实际问题中提取“不超过”“至少”“非负数”等不等关系关键词的能力不足，列不等式时易出现符号、关系错误。本节课通过分层练习、易错辨析，帮助学生突破应用难点. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是含负数系数、分数系数、括号的不等式变形，准确运用性质3，避免不等号方向出错；从实际问题中提炼准确的不等关系，列出符合题意的不等式. 创设情景，引入新课 1. 复习回顾：不等式的三条基本性质分别是什么？用符号语言如何表述？性质2和性质3的核心区别是什么？ 2. 快速抢答：判断下列变形是否正确，说明理由 （1）由x+2>5，得x>3；（2）由-2x>4，得x>-2；（3）由3x≤6，得x≤2。 针对错误变形，引导学生回顾性质3，强化易错点认知. （设计意图：通过复习提问与快速口答，快速回顾上节课核心知识，聚焦性质3易错点，夯实知识基础，为本节课性质应用做好铺垫，帮助学生快速进入学习状态.） 探究点1：探究用不等式性质解不等式 追问1：我们是怎样利用等式的性质解方程的？ 利用等式的性质将方程转化为. 追问2：与解方程类似，解不等式怎样借助不等式的性质来解？ 将不等式利用不等式的性质逐步化为或(m为常数)的形式. 问题1：利用不等式的性质解下列不等式， （1）；（2）；（3）；（4）. 引导学生分析怎样把不等式转化为或(m为常数)的形式，每一步变形依据，规范解题步骤，重点强调第（4）题系数化为1时，除以负数需改变不等号方向；同时示范数轴表示解集的方法. (1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变。所以x-7+7>26+7，x>33. (2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以3x-2x<2x+1-2x,x<1. (3)根据不等式的性质2，不等式两边乘一，不等号的方向不变，所以,x>75. (4)根据不等式的性质3，不等式两边除以一4，不等号的方向改变，所以，. （设计意图：由讲解不等式变形，让学生明确每一步变形的理论依据，突破系数为负数、含括号的变形难点，落实新知应用方法.） 探究点2：在数轴上表示不等式的解集 追问1：怎样在数轴上表示上面第一个不等式的解集？ 如下图，强调所画线在端点的右侧，端点用空心圆点表示. 追问2：怎样在数轴上表示上面第二个不等式的解集？ 如下图，强调所画线在端点的左侧，端点用空心圆点表示. 分组练习：在数轴上表示上面第三、四个不等式的解集. （设计意图：在数轴上表示不等式的解集，一方面可以促进学生掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，从“形”的角度加深学生对不等式的解集以及解不等式的理解:另一方面也为后面学习解不等式组时，用数轴确定不等式组的解集作准备.） 探究点3：认识“≥”和“≤”号 问题：除了含有<，>，≠的不等式，像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式.例如，x≥3 表示x>3 或x=3，即x可以取3和大于3的所有值.符号“≥”读作“大于或等 于”，也可以说是“不小于”;符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”.符号“≥”与“>” 的含义有什么区别?“≤"与“<”呢? 符号“≥”和“≤”分别比和“<”，“>”，各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号的合写形式，要理解这两个符号蕴含的逻辑关系.通常我们把用符号“≥”和“≤”表示大小关系的式子，也称为不等式. 追问1：不等式性质对用符号“≥”和“≤”表示的不等关系，也适用吗？如何使用？ 它们具有类似前面所说的不等式的性质，只是要把“>”和“<”改为“≥”和“≤”，因此用“≥”和“≤”表示的不等式的解法可以不单独讨论. 追问2：如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80km/h，最高车速应为100km/h如果用v(单位:km/h)表示汽车的速度，则v应满足的不等式是什么？ v≥80且v≤100，或表示为80≤v≤100. 追问3：回到本节开头的问题，如果汽车所行驶道路的最高限速是120km/h，那么车速x应满足什么条件? 车速x应满足的条件是:105<x≤120. （设计意图：认识并理解“≥”和“≤”符号的含意，明确不等式的性质也选用于“≥”和“≤”.） 典型例题 例1.根据不等式的性质解不等式，并在数轴表示不等式的解集. 【分析】根据不等式将不等式化为系数化为1的不等式可得. 【详解】解：两边同减得： 系数化为1得：， 在数轴上表示：   . 例2. 如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5dm，高7dm。若鱼缸内已有水的高度为1dm，现准备向鱼缸内继续注水.用V(单位:)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示， 【分析】:问题中的不等关系是:已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积. 【详解】解：解:因为“已有水的体积十新注入水的体积V≤鱼缸的容积”，所以 , 解得 V≤210. 又由于新注入水的体积V不能是负数，所以V的取值范围是 0≤V≤210. 在数轴上表示V的取值范围如图所示. (设计意图：巩固本节课核心知识，突破易错点和难点，提升学生知识应用能力，强化解题规范性.) 课本课堂P128练习. 参考答案：1.（1）（2）（3） 2.（1）（2）（3） （3）（数轴表示略） 3. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.现有代数式，其中m为负整数，嘉嘉和淇淇给出了不同的条件：    (1)根据嘉嘉给出的条件，求代数式的值； (2)根据淇淇给出的条件，求m的值． 【详解】（1）当， ． （2）当时， ，利用不等式的性质解得： 因为m为负整数，所以． (设计意图:强化不等式的性质的综合应用．) 1．（2025.银川校考）在公路上，我们经常能看到不同的交通标志，它们有着不同的含义，若设汽车的载重为x，速度为y，宽度为a，高度为h，请你用不等式表示下面图中各标志的意义．    【详解】解：由题意可知，限重，限宽，限高，限速中的“限”字的意义就是不超过，也就是“”的意义， 即：，，，． 2．（2025•广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a＞b．都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（　　） A．a+c＞b+c B．a+c＝b+c C．a+c＜b+c D．a﹣c＜b﹣c 【解答】解：∵a＞b， ∴a+c＞b+c． 故选：A． 3．（2025•吉林）不等式x﹣3＞2的解集为（　　） A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【解答】解：∵x﹣3＞2，∴x＞2+3， x＞5，故选：A． 4.（2025•河北）解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集； 【解答】解：2x≤6， x≤3， 数轴表示如下： ． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结：本节课核心是不等式性质的应用，掌握了利用不等式性质解一元一次不等式的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1；明确了每一步变形对应的不等式性质；学会结合数轴表示不等式解集，能解决简单的不等式实际问题. 方法总结：解不等式时，每一步变形都要依据不等式性质，杜绝随意变形；系数化为1时，先判断系数正负，再确定不等号方向；解决实际问题时，先抓关键词提炼不等关系，再列不等式、用性质求解. 易错提醒：（1）系数化为1时，除以或乘负数，一定要改变不等号方向，这是最常见错误.（2）去括号时，注意符号变化，避免漏乘括号内的项.（3）实际问题中，准确区分“至少”“至多”“超额”“不超过”等关键词，正确选择不等号. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题11.1第8、9、11题. 探究性作业：习题11.1第12题，P130阅读与思考. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 11.1.2 不等式的性质（第2课时） 探究点1：探究用不等式性质解不等式 探究点2：在数轴上表示不等式的解集 探究点3：认识“≥”和“≤”号 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $