奥数：第1讲 工程问题（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学 人教版

【人教版】小学六年级上册数学奥数第1讲：工程问题 工程问题是小学数学应用题的核心题型，解题围绕工作总量、工作时间、工作效率三个基本量展开，三者核心关系如下： · 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 · 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率 · 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 为方便表述，下文简称：工量、工时、工效。解题时，通常将工作总量看作单位“1”，工效用对应工时的倒数表示。 一、基础知识点 1. 合作工效 = 各人工效之和 2. 单独工时 = 1 ÷ 单独工效 3. 合作工时 = 1 ÷ 合作工效 4. 工作总量一定时，工效与工时成反比 二、基础例题讲解 例1 三队合作问题 一项工程，甲乙合作10天完成，乙丙合作12天完成，甲丙合作15天完成。三队合作需几天完成？ 解答： 甲乙工效和：；乙丙工效和：；甲丙工效和： 三队工效和： 合作工时：（天） 答：8天。 例2 师徒合作转化问题 师徒合作8天完成一批零件。师傅先做4天，徒弟再做2天，共完成。两人单独做各需几天？ 分析：转化为合作2天 + 师傅独做2天。 解答： 师傅工效：，单独需天 徒弟工效：，单独需14天 答：师傅11.2天，徒弟14天。 例3 甲乙交替完成问题 一项工程，甲独做10天完成，乙独做15天完成，两人共用11天完成。甲做了几天？ 解答：设甲做天 ，解得 答：8天。 例4 工时代换问题 一件工作：甲5小时 + 乙10小时完成；甲7小时 + 乙4小时完成。甲做2小时后乙还需几小时？ 分析：甲2小时工作量 = 乙6小时工作量→甲1小时 = 乙3小时。 解答： 乙独做需：（小时） 甲2小时等价乙6小时，剩余：（小时） 答：19小时。 例5 多人工程量问题 筑路队预计25天修完公路，15人修10天完成。想提前5天完工，需增加几人？ 解答： 1人1天工效： 剩余工期：（天） 剩余需人数：（人） 增加：（人） 答：30人。 例6 进水排水轮流问题 蓄水池：进水管6小时满，排水管4小时空，现有半池水。按进水、排水轮流各1小时，多久排完？ 解答：每2小时净排水，5个周期（10小时）后剩；再排水小时（20分钟）。 总时间：10小时20分钟。 例7 工时比转工效比问题 甲比乙用时多，合作时乙比甲多植40棵。一共多少棵？ 解答：工时比5:4→工效比4:5 总数：（棵） 答：360棵。 例8 量率对应零件问题 甲乙合作20天完成零件。甲14天 + 乙10天剩，甲每天比乙多2个。零件共多少个？ 解答： 甲工效，乙工效 总数：（个） 答：80个。 例9 中途休息基础型 甲独做15天，乙独做20天。两人合作12天完成，甲中途休息3天，乙休息几天？ 解答： 甲工作：天，完成 乙完成：，需工作天 乙休息：（天） 答：4天。 三、最新经典例题（小升初高频） 例10 中途请假型（最常考） 甲独做20天，乙独做30天。合作16天完成，甲中途休息2天，乙休息几天？ 解答： 甲工作：天，完成 乙完成：，需工作天 乙休息：（天） 答：7天。 例11 两人交替做工 甲12天，乙6天，按甲1天、乙1天轮流，几天完成？ 解答：2天为一周期，每周期完成，4周期（8天）完成。 答：8天。 例12 分阶段合作 甲乙合作6天完成，余下甲独做8天完成。甲乙单独各需几天？ 解答： 甲工效：，单独24天 合作工效： 乙工效：，单独天 答：甲24天，乙14.4天。 例13 三人轮流做工 甲10天、乙15天、丙20天，按甲、乙、丙各1天轮流，需几天？ 解答： 一循环效率： 4循环（12天）完成，剩 第13天甲做，乙再做0.5天 总时间：13.5天 答：13.5天。 例14 总量已知型 甲20天、乙30天完成零件，合作时甲比乙多做96个。共多少个？ 解答：工效比3:2，差1份=96个，总数个。 答：480个。 例15 效率提升问题 原计划15天完成，工效提高25%，提前几天？ 解答：效率比4:5→时间比5:4，现时间12天，提前3天。 答：3天。 例16 第三人加入合作 甲18天、乙24天、丙30天。甲乙先合作6天，丙加入，还需几天？ 解答： 甲乙6天完成，剩 三人工效和，还需天（约2.83天） 答：天。 例17 按工作量分工资 甲乙5天完成，乙丙2天完成余下，剩下三队合作4天完成。总工资1800元，甲得多少？ 解答：甲工作量占比，应得元。 答：600元。 例18 先进水再齐开 进水管8小时满，排水管12小时空。先开进水管2小时，再两管齐开，还需几小时满？ 解答： 2小时进水，剩 净效率，还需小时 答：18小时。 例19 分段独做 + 合作 甲10天、乙15天。甲先做3天，合作2天，甲离开，乙还需几天？ 解答：共完成，剩，乙还需5.5天。 答：5.5天。 例20 时间比转效率比 甲用时是乙的，合作时甲比乙多做40个。共多少个？ 解答：时间比4:5→效率比5:4，总数个。 答：360个。 四、巩固习题一 1. 甲12天完成，甲做3天后乙6天做完。甲做6天后乙需几天？ 2. 甲乙合挖水渠30天完工，合挖12天后乙24天完成。乙单独需几天？ 3. 客车货车2小时24分相遇，客车比货车多行9.6千米，客车全程4.5小时。求两车速度。 4. 甲管20分钟注满，两管同开25分钟注满。乙管单独需几分钟？ 5. 甲18天、乙27天，共用20天完成。工作量之比？ 6. 甲乙合作6天完成，甲与乙时间相等。单独各需几天？ 7. 甲10天、乙12天完成玩具，丙每天64件。甲乙合作4天剩256件。三组合做需几天？ 五、习题一答案 1. 乙工效，余下需4天。 2. 乙工效，单独需40天。 3. 客车32千米/小时，货车28千米/小时。 4. 乙管单独需30分钟。 5. 工作量比7:2。 6. 甲15天，乙10天。 7. 三组合做需4天。 六、最新配套练习题 1. 甲8天、乙12天，合作几天完成？ 2. 甲25天、乙20天，甲先做5天，合作还需几天？ 3. 甲乙合作10天完成，甲每天比乙多做，单独各需几天？ 4. 水池：甲10h注满，乙15h注满，丙20h放空。三管齐开几小时满？ 5. 12人15天完成工程，工作5天后加3人，还需几天？ 答案 1. 天（4.8天） 2. 天 3. 甲天，乙25天 4. 小时 5. 8天 学科网（北京）股份有限公司 $