两点分布、二项分布、超几何分布及数学期望练习题-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦三种离散型分布（两点、二项、超几何）的概念辨析与期望计算，以基础应用→专项强化→综合对比的递进逻辑构建训练体系，培养数据意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两点分布|4题（基础2道+期望专项2道）|含分布列构建、期望及性质计算|从单次伯努利试验切入，建立“成功-失败”二元模型，推导E(X)=p| |二项分布|4题（基础2道+期望专项2道）|涉及分布识别、概率计算及E(X)=np应用|基于n次独立重复试验，延伸两点分布至n重情境，强化参数n,p的意义| |超几何分布|4题（基础2道+期望专项2道）|包含不放回抽样的分布列与期望，对比有放回情形|通过有限总体抽样模型，揭示与二项分布的联系（N→∞时近似），推导E(X)=nM/N| |综合应用|2题|融合三种分布，对比不同抽样方式的期望差异|横向对比三种分布的适用场景，深化对随机现象的数学表达与解释|

高中两点分布、二项分布、超几何分布及数学期望练习题 一、两点分布练习题 基础应用题 已知某射手每次射击击中目标的概率为0.8，设射击一次，击中目标记为1，未击中记为0，记随机变量X为射击结果，求：（1）X的分布列；（2）X的数学期望E(X)。 某随机试验中，成功的概率为p，失败的概率为1-p（0<p<1），随机变量Y满足：Y=1（试验成功），Y=0（试验失败），若E(Y)=0.3，求p的值及Y的方差D(Y)。 数学期望专项题 若随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=a，P(X=0)=b（a+b=1），已知E(X)=0.6，求a、b的值，并计算E(2X+1)。 某同学每次解答一道选择题的正确率为0.7，设随机变量X表示该同学解答一道选择题的得分（答对得1分，答错得0分），求X的数学期望，并说明该期望的实际意义。 二、二项分布练习题 基础应用题 某运动员投篮命中率为0.6，连续投篮5次，设随机变量X表示投中的次数，求：（1）X服从的分布类型及参数；（2）P(X=3)；（3）X的数学期望E(X)。 某批产品的次品率为0.1，从中有放回地抽取10件，设随机变量Y表示抽到的次品数，求P(Y≤2)及E(Y)。 数学期望专项题 设随机变量X~B(n, p)，已知E(X)=6，D(X)=4.8，求n和p的值，并计算P(X=E(X))。 某车间有5台机床，每台机床正常工作的概率为0.8，各机床工作相互独立，设随机变量X表示正常工作的机床台数，求E(X)和E(3X-2)。 三、超几何分布练习题 基础应用题 一个口袋中有5个红球和3个白球，从中不放回地抽取4个球，设随机变量X表示抽到的红球个数，求：（1）X的分布列；（2）X的数学期望E(X)。 某批产品共10件，其中正品7件，次品3件，从中随机抽取5件，设随机变量Y表示抽到的次品数，求P(Y=1)及E(Y)。 数学期望专项题 设随机变量X服从超几何分布，参数N=12，M=4，n=3（N为总体个数，M为总体中符合条件的个数，n为抽取个数），求E(X)；若将抽取方式改为有放回，求此时随机变量的数学期望。 一个盒子中有8个黑球和4个白球，从中不放回地抽取6个球，设随机变量X表示抽到的白球个数，求E(X)，并比较该期望与“有放回抽取6个球”时的期望大小。 四、综合应用题（三种分布及期望综合） 某商场举办抽奖活动，每次抽奖的中奖概率为0.2，每次抽奖相互独立，若连续抽奖3次，设随机变量X表示中奖次数，求：（1）X的分布列；（2）E(X)；（3）若中奖1次得2分，未中奖得0分，设随机变量Y=2X，求E(Y)。 一批产品共20件，其中一等品15件，二等品5件，从中不放回地抽取4件，设随机变量X表示抽到的一等品个数，求E(X)；若从中有放回地抽取4件，求此时随机变量的数学期望，并说明两种抽取方式期望不同的原因。 参考答案 一、两点分布练习题 1. （1）分布列：X=0时P=0.2，X=1时P=0.8；（2）E(X)=0.8 2. p=0.3，D(Y)=0.21 3. a=0.6，b=0.4，E(2X+1)=2.2 4. E(X)=0.7，实际意义：该同学长期解答此类选择题，平均每道题得0.7分 二、二项分布练习题 1. （1）X~B(5, 0.6)；（2）P(X=3)=C₅³×0.6³×0.4²=0.3456；（3）E(X)=5×0.6=3 2. P(Y≤2)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=C₁₀⁰×0.9¹⁰+C₁₀¹×0.1×0.9⁹+C₁₀²×0.1²×0.9⁸≈0.9298，E(Y)=10×0.1=1 3. n=30，p=0.2，P(X=6)=C₃₀⁶×0.2⁶×0.8²⁴≈0.179 4. E(X)=5×0.8=4，E(3X-2)=10 三、超几何分布练习题 1. （1）分布列：X=1时P=C₅¹C₃³/C₈⁴=5/70，X=2时P=C₅²C₃²/C₈⁴=30/70，X=3时P=C₅³C₃¹/C₈⁴=30/70，X=4时P=C₅⁴C₃⁰/C₈⁴=5/70；（2）E(X)=4×5/8=2.5 2. P(Y=1)=C₃¹C₇⁴/C₁₀⁵=105/252=5/12，E(X)=5×3/10=1.5 3. 超几何分布E(X)=nM/N=3×4/12=1；有放回时服从二项分布，E(X)=3×4/12=1（此处巧合，两者期望相等） 4. 超几何分布E(X)=6×4/12=2；有放回时E(X)=6×4/12=2，两者期望相等 四、综合应用题 1. （1）X~B(3, 0.2)，分布列：X=0时P=0.512，X=1时P=0.384，X=2时P=0.096，X=3时P=0.008；（2）E(X)=3×0.2=0.6；（3）E(Y)=2×0.6=1.2 2. 不放回（超几何）：E(X)=4×15/20=3；有放回（二项）：E(X)=4×15/20=3，此处两者期望相等；原因：当总体个数N远大于抽取个数n时，超几何分布可近似为二项分布，期望公式均为n×(M/N)，本题N=20，n=4，差距不大，故期望相等 |（注：文档部分内容可能由 AI 生成） 学科网（北京）股份有限公司 $