3.2.3 离散型随机变量的数学期望 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

3.2.3　离散型随机变量的数学期望 [课时跟踪检测] 1.已知某一随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=6.3,则a的值为 (　　) X a 7 9 P b 0.1 0.4 A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选A　根据随机变量X分布列的性质可知b+0.1+0.4=1,所以b=0.5.又E(X)=ab+7×0.1+9×0.4=6.3,所以a=4. 2.已知随机变量X服从两点分布,E(X)=0.6,则其成功概率为 (　　) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 解析:选D　∵随机变量X服从两点分布,设成功的概率为p,∴E(X)=0×(1-p)+1×p=p=0.6. 3.已知随机变量ξ和η,其中η=4ξ-2,且E(η)=7,若ξ的分布列如下表,则n的值为 (　　) ξ 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. 解析:选A　∵η=4ξ-2,∴E(η)=4E(ξ)-2=7,∴E(ξ)=,∴=1×+2×m+3×n+4×=2m+3n+,又+m+n+=1,联立求解可得n=,故选A. 4.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经过一段时间考查后,X,Y的分布列分别是 X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 据此判定 (　　) A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 解析:选A　由分布列可得E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7,∵E(Y)>E(X),∴甲比乙质量好. 5.某班举行了一次“心有灵犀”的活动.教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜错得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X的数学期望为 (　　) A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1 解析:选A　依题意得,X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.5)=0.3, P(X=1)=0.4×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5=0.5, P(X=2)=0.4×0.5=0.2. ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 ∴E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9. 6.从一批含有8件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)= (　　) A.2 B.1 C.3 D.4 解析:选D　由题意,知随机变量ξ的取值为0,1,2,则P(ξ=0)==;P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以E(ξ)=0×+1×+2×=,所以E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×+1=4. 7.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球;否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值可能是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　根据题意,知发球次数为1的概率P(X=1)=p,发球次数为2的概率P(X=2)=(1-p)p,发球次数为3的概率P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,解得p>或p<.由p∈(0,1)可得p∈. 8.(5分)学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选中,若X表示选中高二(1)班的候选人的人数,则E(X)的值为　　　　.  解析:X的可能取值为0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,则E(X)=0×+1×+2×=. 答案: 9.(5分)设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P a 若η=2ξ+a,则E(η)=　　　　.  解析:由分布列的性质可知+++a=1,解得a=,所以E(ξ)=1×+2×+3×+4×=,所以E(η)=E=2E(ξ)+=2×+=6. 答案:6 10.(5分)(2025·全国Ⅰ卷)一个箱子里有5个球,分别以1~5标号,若有放回取三次,记至少取出一次的球的个数为X,则E(X)=　　　　.  解析:X可取1,2,3,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==, X 1 2 3 P ∴E(X)=1×+2×+3×=. 答案: 11.(10分)一个盒子里装有5张卡片,其中有红色卡片3张,白色卡片2张,从盒子中任取2张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的2张卡片中,至少有1张红色卡片的概率;(4分) (2)在取出的2张卡片中,白色卡片数设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.(6分) 解:(1)设“取出的2张卡片中,至少有1张红色卡片”为事件A,则P(A)=1-=. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. 则P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==.所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=. 12.(15分)某全国连锁咖啡店,男会员占60%,女会员占40%.现对会员进行服务质量满意度调查,根据调查结果得知,男会员对服务质量不满意的概率为,女会员对服务质量不满意的概率为. (1)随机选取一名会员,求其对服务质量不满意的概率;(6分) (2)从会员中随机抽取3人,记抽取的3人中,对服务质量不满意的人数为X,求X的分布列和数学期望.(9分) 解:(1)设事件A1:会员是男会员,A2:会员是女会员,事件B:对服务质量不满意. 由题意,得P(A1)=,P(A2)=, P(B|A1)=,P(B|A2)=, 于是,由全概率公式可得,P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. (2)由题意知,X~B, 则P(X=0)==, P(X=1)=××=, P(X=2)=×=, P(X=3)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为X~B,所以E(X)=3×=. 13.(15分)已知甲同学计划从某天开始的连续四天内,每天从座位充足的A,B两间教室中选择一间用于自习.若其每天的选择均相互独立,且任意一天选择A教室的概率为p1(0<p1<1),任意连续两天选择相同教室的概率为p2. (1)求p2的取值范围;(5分) (2)若p1=p2,记甲在该四天内连续选择相同教室自习的天数最大值为随机变量X(若甲任意连续两天都不在相同教室自习,则X=1),求X的分布列和数学期望.(10分) 解:(1)设事件A为“甲在某天选择A教室自习”,事件B为“甲在某天选择B教室自习”, 则P(A)=p1(0<p1<1),P(B)=1-p1. 依题意知,p2=+=2-2p1+1=2+.∵0<p1<1, ∴当p1=时,p2取最小值,为, ∴易知p2的取值范围为. (2)∵p1=p2,∴p2=p1=2-2p1+1,解得p1=或p1=(舍去). 依题意知,X的所有可能取值为1,2,3,4, ①当这四天的选择依次为ABAB或BABA时, P(X=1)=×××+×××=. ②当这四天的选择依次为AABA,ABAA,BBAB,BABB,ABBA,BAAB,AABB或BBAA时,P(X=2)=×××2+×××2+××4==. ③当这四天的选择依次为AAAB,BAAA,BBBA或ABBB时,P(X=3)=××2+××2=. ④当这四天的选择依次为AAAA或BBBB时,P(X=4)=+=. ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P E(X)=1×+2×+3×+4×=. 学科网（北京）股份有限公司 $