精品解析：广东清远市英德市2025-2026学年下学期初中学业质量监测八年级数学试卷

2025学年第二学期初中期中学业质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，已知，，则的度数为(　 ) A. B. C. D. 2. 下列式子中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个多边形的内角和，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 七边形 C. 六边形 D. 五边形 8. 如图，将沿着射线平移到．若，，则平移的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，直线交坐标轴于A、B两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，已知在等边三角形中，是边上的高，，则________． 12. 如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为__________ ． 13. “五一”假期全家去广州旅游，爸爸开着小型客车走在最左侧的“小客车道”，如图，此时你给爸爸建议车速为___________合适． 14. 不等式组的解集是_____________． 15. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 ___________． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分）. 16. 下面是小明解不等式的过程： 解：第一步：， 第二步：， 第三步：． 小明的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 17. 如图， 中，，，是腰的垂直平分线，求的度数． 18. 某商场购进了A，B两种型号的耳机．已知购进每个A型耳机元，购进每个B型耳机元．若该商场准备购进个这两种型号的耳机，总费用不超过元，那么最多可购进B型耳机多少个？ 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，某小区内有一个三角形花坛，其内部有一个转角区域，由两条小路和形成一个.小区计划在内部修建一个便民饮水点，要求该饮水点到两个固定休息点和的距离相等且到两条小路和的距离也相等，在图中标出饮水点的位置.（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 20. 函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）利用图象求方程的解； （2）利用图象求不等式的解集； （3）若，求的取值范围； （4）请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 21. 根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： （1）线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ （2）张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） （3）请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 四、解答题（三）（共2小题） 22. 综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 23. 【课本原题】已知：如图1，等腰直角三角形中，，是内角平分线，交边于点，，垂足为．求证：． 证明：是角平分线，，， ， 在和中， ， ， 又， 是等腰直角三角形． ． ． （1）【问题解决】现在【课本原题】中增加一条件“”，如题1图，其他条件不变，求三角形的周长． （2）【尝试猜想】现将【课本原题】中的“是内角平分线，交边于点”换成是外角平分线，交边的延长线于点”，如题2图，其他条件不变，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． （3）【拓展延伸】任意三角形，，是的外角平分线，交边的延长线于点，如题3图，请你写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期初中期中学业质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，已知，，则的度数为(　 ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：依题意，. 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 2. 下列式子中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义，注意：利用不等号表示数量关系的式子是不等式．根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是方程，不是不等式，故本选项不符合题意； B．是代数式，不是不等式，故本选项不符合题意； C．是方程，不是不等式，故本选项不符合题意； D．是不等式，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题根据中心对称图形的定义和图案特点，即可解答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； C、是中心对称图形，故选项正确，符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可做出判断． 【详解】解：A．若，则， 故选项错误，不符合题意； B．若，只有当时，成立，故选项错误，不符合题意； C．若，则，故选项正确，符合题意； D．若，则，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握“不等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个正数，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向要改变”是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】向左平移2个单位长度，横坐标减小2，纵坐标不变． 【详解】解：∵点，， ∴点向左平移2个单位长度，得到的点的坐标为． 6. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为： 7. 一个多边形的内角和，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 七边形 C. 六边形 D. 五边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式，掌握边形的内角和为是解题关键，根据内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 边形的内角和为，该多边形内角和为， ， 解得：， 这个多边形是六边形． 8. 如图，将沿着射线平移到．若，，则平移的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形可知，点的对应点是点，则平移的距离为线段的长，根据计算即可． 【详解】解：∵ 沿着射线平移到，  ∴点的对应点是点， ∴平移的距离为线段的长， ∵，， ∴． 9. 如图，直线交坐标轴于A、B两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值小于0的解集是轴下方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键． 看在轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 【详解】由图象可以看出，轴下方的函数图象所对应自变量的取值为， 故不等式的解集是． 故选A． 10. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图可知，平分，从而可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可以求出． 【详解】解：由作图可知，平分， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，已知在等边三角形中，是边上的高，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质及等腰三角形三线合一定理，先利用等边三角形的性质得出，再由是边上的高，利用等腰三角形三线合一定理可得出点D是中点，即可求得的值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵是边上的高， ∴， 故答案为：1． 12. 如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为__________ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图， 平分，，， ， 点是射线上的动点， 的最小值为． 故答案为：3． 13. “五一”假期全家去广州旅游，爸爸开着小型客车走在最左侧的“小客车道”，如图，此时你给爸爸建议车速为___________合适． 【答案】 【解析】 【详解】解：建议车速为． 14. 不等式组的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由得， 由得， ∴不等式组的解集为． 15. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 ___________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，旋转角等于，从而可以得到的度数，由可以得到的度数． 【详解】解：∵绕点O按逆时针方向旋转后得到， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键明确旋转角是什么，对应边旋转前后的夹角是旋转角． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分）. 16. 下面是小明解不等式的过程： 解：第一步：， 第二步：， 第三步：． 小明的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】第一步是去分母，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向，小明的解答不正确，原不等式的解集为，过程见解析． 【解析】 【分析】根据题意可知，第一步是去分母，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向，观察第三步可知，不等式两边同时除以一个负数，不等号要改变方向，故第三步错误，据此可得答案． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向，小明的解答不正确，正确过程如下： 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 17. 如图， 中，，，是腰的垂直平分线，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用等边对角及三角形内角和可得，再利用垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：， ， 又 ， ， 是腰的垂直平分线， ， ， ． 18. 某商场购进了A，B两种型号的耳机．已知购进每个A型耳机元，购进每个B型耳机元．若该商场准备购进个这两种型号的耳机，总费用不超过元，那么最多可购进B型耳机多少个？ 【答案】最多可购进B型耳机个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设购进x个B型耳机，则购进个A型耳机，利用，结合总价不超过元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设购进B型耳机x个，则A型耳机个．依题意得 ， ， ， ． 答：最多可购进B型耳机个 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，某小区内有一个三角形花坛，其内部有一个转角区域，由两条小路和形成一个.小区计划在内部修建一个便民饮水点，要求该饮水点到两个固定休息点和的距离相等且到两条小路和的距离也相等，在图中标出饮水点的位置.（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】的角平分线与线段的垂直平分线的交点，即为点的位置． 【详解】解：以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点、，射线与直线交于点． 20. 函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）利用图象求方程的解； （2）利用图象求不等式的解集； （3）若，求的取值范围； （4）请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）见解析． 【解析】 【分析】（1）方程的解为函数的图象与的交点横坐标； （2）不等式的解集为函数的图象在轴下方部分的取值范围； （3）根据题意可得，即可得的取值范围； （4）从形式、图象、本质关系进行分析说明即可． 【小问1详解】 解：根据图象可得方程的解为． 【小问2详解】 解：根据图象可得不等式的解集为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的关系： 形式关联：一次函数解析式为，令，得到一元一次方程，令，得到一元一次不等式，令，得到； 图象角度：一元一次方程的解为一次函数的图象与轴交点的横坐标，一次函数图象在轴上方部分对应一元一次不等式的解集，一次函数图像在轴下方部分对应一元一次不等式的解集； 本质关系：方程是一次函数函数值为0的特殊情况，不等式是一次函数函数值大于或小于的取值范围，三者可以相互转化，可用一次函数图像直观解方程、解不等式． 21. 根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： （1）线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ （2）张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） （3）请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【答案】（1）玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元 （2）， （3）在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 【解析】 【分析】（1）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据题意列方程组计算即可； （2）由题意可知购买玩偶m个，则购买徽章个，再根据购买方式列代数式即可； （3）根据题意列不等式计算即可． 【小问1详解】 解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元； 【小问2详解】 解：根据题意得：购买玩偶m个，则购买徽章个， 方式一购买，共需（元）， 方式二购买，共需（元）； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 四、解答题（三）（共2小题） 22. 综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 【答案】（1）15；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质结合角的和差即可解答； （2）过点作，根据平行线的性质得到，求出，即可证明，即可说明； （3）过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义结合角的和差求出，进而求出，推出，推出，利用角的和差即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 【课本原题】已知：如图1，等腰直角三角形中，，是内角平分线，交边于点，，垂足为．求证：． 证明：是角平分线，，， ， 在和中， ， ， 又， 是等腰直角三角形． ． ． （1）【问题解决】现在【课本原题】中增加一条件“”，如题1图，其他条件不变，求三角形的周长． （2）【尝试猜想】现将【课本原题】中的“是内角平分线，交边于点”换成是外角平分线，交边的延长线于点”，如题2图，其他条件不变，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． （3）【拓展延伸】任意三角形，，是的外角平分线，交边的延长线于点，如题3图，请你写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）三角形的周长为； （2），证明过程见解析； （3），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质，可得，由等腰直角三角形的性质，可得，，可得，根据勾股定理，可得，可得，可得、、，即可得三角形的周长； （2）作于点，则，可得，可得，可得，由角平分线的性质，可得，证明，可得，即可得线段，，之间的数量关系； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，可得， ，由等角的补角相等，可得，结合已知可得，，可得，即可得线段，，之间的数量关系． 【小问1详解】 解：∵等腰直角三角形中，，是内角平分线，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的周长为． 【小问2详解】 解：， 证明：如图，作于点，则， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： 在的延长线上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $