精品解析：安徽滁州市定远县2026年九年级适应性训练数学试题卷

2026年九年级适应性训练 数学试题卷 2026.4 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各实数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年国务院政府工作报告提出民生保障相关目标，其中全国城镇新增就业预期目标为12000000人以上，全力保障民生就业大局稳定．数据12000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如果是方程的一组解，那么代数式的值是（　　） A. 6 B. 5 C. D. 6. 若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. 随的增大而减小 D. 当时， 7. 如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB＝45°，则扇形AOB的面积为（　　） A. 5π B. 12.5π C. 20π D. 25π 8. 在中，，，，用尺规作图的方法作线段和线段，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是（ ） A. 3 B. C. D. 6 9. 对于二次函数（，a，b，c为实数），规定：为其“序列数”，如：的“序列数”为．则以下结论错误的是（ ） A. “序列数”为的二次函数的图象与x轴有交点 B. 若点，在“序列数”为的二次函数的图象上，已知，，当时，则的取值范围为 C. “序列数”为的二次函数，若抛物线的顶点与抛物线和x轴的两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则 D. “序列数”为的二次函数，如果，当时，y随x的增大而增大 10. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点F为线段上一点，连接．点E为垂直平分线上一点，连接（点E和点A分别位于两侧）．若，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 最大值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 12. 不等式组的解集为______． 13. 物理学中把光线按波长从大到小分为红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色光，人们通常把红、橙、黄三种颜色称为暖色，其余四种称为冷色．从七色光中任意选取两种颜色均为暖色的概率是________． 14. 如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作 （m为的整数）．记函数 的图象为曲线L． （1）若曲线L 过点，则它必定还过另一点 ，则 _______； （2）若曲线L 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k 为整数时，曲线 L 离原点最近的k 的值为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的． （2）将绕点A逆时针旋转，画出旋转后的，并求出在旋转的过程中扫过的面积． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 据国家体育总局报道，2025年全年，我国运动员共在31个项目上获得146个世界冠军，创17项世界纪录．为了落实“健康第一”的教育理念，某校购买了一批跳绳，其中长绳每根25元，短绳每根15元，若学校用550元购买了长绳和短绳共30根，请问长绳和短绳各买了多少根？ 18. 《天工开物》是明代宋应星所著的科技著作，总结了中国古代农业、手工业的生产技术与经验．书中介绍在较浅的水池和小水沟里没办法安置大型水车，就只能用仅几尺长的拔车．拔车又称手摇龙骨水车或者手摇翻车，发明于明代，是在手摇翻车基础上改进的小型手摇水车，如图1，其模型如图2所示，已知人身高，支撑杆高，人抬车的时候夹角一般为，求拔车的长度以及拔车支撑杆与河岸之间的距离．（结果精确到0.01，参考数据：，，．） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，点O是上一点，以点O为圆心，为半径的与相切于点D，与交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 20. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从A，B两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对A，B两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分 A：5     6     6     8     8     8     8     9     9     10 B：6     6     6     6     7     8     9     9     10     10 b．数据分析能力得分（如图） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A m 8 8 7.0 p B 7.7 7.5 6 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______（填“＞”或“＜”）． （2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由． 六、（本题满分12分） 21. 探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】 （1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中______； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则______； 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第1条斜线，设表示铺地锦表格中第k条斜线上所有数字之和；为第k条斜线相加后的进位值，若相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】 （3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，______； 【拓展创新】 （4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中______，______；的乘积等于______． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点（），连接． （1）如图，求证：； （2）如图，在左侧作，延长分别交，于点，，当，时． ①求点到的距离； ②证明：． 八、（本题满分14分） 23. 点和点在二次函数的图象上． （1）当时，时， ①求证：； ②已知点和点，若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围； （2）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级适应性训练 数学试题卷 2026.4 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各实数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据实数大小比较规则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数反而小． ∵，，，且 ∴ ∴比小的数是． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除的计算法则，逐一判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 3. 2026年国务院政府工作报告提出民生保障相关目标，其中全国城镇新增就业预期目标为12000000人以上，全力保障民生就业大局稳定．数据12000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的形式为，其中，为整数，解答即可． 【详解】解：数据12000000用科学记数法表示为． 4. 如图所示几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据俯视图是从上面看到的图形即可得到图形，可知该几何体的俯视图为 5. 如果是方程的一组解，那么代数式的值是（　　） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值． 将代入方程得到，代入计算即可． 【详解】解：将代入方程得：， ∴． 故选：C． 6. 若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. 随的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：、由图象可知，一次函数的图象经过第一、三、四象限，则有，该选项不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项符合题意； 、由图象可知，随的增大而增大，该选项不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项不符合题意． 7. 如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB＝45°，则扇形AOB的面积为（　　） A. 5π B. 12.5π C. 20π D. 25π 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据圆周角的度数求得圆心角的度数，然后代入扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵∠ACB＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∵半径为10， ∴扇形AOB的面积为：＝25π， 故选：D． 【点睛】考查了圆周角定理及扇形的面积公式，解题的关键是牢记扇形的面积公式并正确的运算． 8. 在中，，，，用尺规作图的方法作线段和线段，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形全等的判定与性质以及尺规作图，掌握以上知识点是解题的关键． 观察作图痕迹，知道是的角平分线，，根据角平分线的性质结合，证明，推出，，那么，从而推出的周长． 【详解】由作图痕迹，知道是的角平分线，且 是的角平分线，， 在和中，， ，， 的周长为6 故选D． 9. 对于二次函数（，a，b，c为实数），规定：为其“序列数”，如：的“序列数”为．则以下结论错误的是（ ） A. “序列数”为的二次函数的图象与x轴有交点 B. 若点，在“序列数”为的二次函数的图象上，已知，，当时，则的取值范围为 C. “序列数”为的二次函数，若抛物线的顶点与抛物线和x轴的两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则 D. “序列数”为的二次函数，如果，当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义“序列数”得到对应二次函数，利用二次函数的判别式、对称轴性质、图象交点性质、增减性逐一判断选项，找出错误结论． 【详解】解：A、由题意得二次函数为 ，则； ∴函数图象与轴有交点，A结论正确； B、由题意得二次函数为， 化简得，对称轴为，开口向上， 把代入得，， ∵， ∴， 解得或， ∵开口向上，即， ∴，B结论正确； C、由题意得二次函数为， 令，则 解得根为， ∴两交点距离 ，而顶点纵坐标的绝对值为， ∵等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半， ∴， 化简得， 解得或， ∴ C结论错误； D、由题意得二次函数为 ，， 对称轴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴对称轴左侧随增大而增大， ∴当时，随增大而增大，D结论正确． 10. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点F为线段上一点，连接．点E为垂直平分线上一点，连接（点E和点A分别位于两侧）．若，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数值，求出，进而得到，得到均为等边三角形，证明，得到，，三角形的外角的性质，得到，根据，得到，进而得到垂直平分，得到，进而得到当点与点重合时，最大，为，进行判断即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵点E为垂直平分线上一点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故A错误； ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴，点在的垂直平分线上运动；故B正确； ∵， ∴， ∴， ∴；故C错误； ∵点在线段上运动， ∴当点运动到点时，的值最大，如图， 此时；故D错误． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，进而求解即可． 【详解】若式子在实数范围内有意义， ∴ ∴． 故答案为：． 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中每个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集． 【详解】解：解不等式 移项得 解得 解不等式 移项得 解得． 因此原不等式组的解集为． 13. 物理学中把光线按波长从大到小分为红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色光，人们通常把红、橙、黄三种颜色称为暖色，其余四种称为冷色．从七色光中任意选取两种颜色均为暖色的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：可画树状图为： 由树状图可知一共有42种等可能性的结果数，其中任意选取两种颜色均为暖色的结果数有6种， ∴任意选取两种颜色均为暖色的概率是． 14. 如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作 （m为的整数）．记函数 的图象为曲线L． （1）若曲线L 过点，则它必定还过另一点 ，则 _______； （2）若曲线L 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k 为整数时，曲线 L 离原点最近的k 的值为_______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入解析式可求k的值，将点代入，可求解； （2）找到曲线L经过这些点时的值，然后由点分布在曲线L的两侧，每侧各4个点，可得的范围，进而找到的整数点，再由越小反比例函数图象离原点越近，即可求解． 【详解】（1）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴，，，，，，，， ∵L过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴在反比例函数图象上， ∴； （2）解：∵若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， ∵曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ∴， ∴整数共7个， ∵越小反比例函数图象离原点越近， ∴曲线 L 离原点最近的k 的值为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 16. 每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的． （2）将绕点A逆时针旋转，画出旋转后的，并求出在旋转的过程中扫过的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据要求作图，进而根据扇形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：关于原点O对称的，如图1即为所求； 【小问2详解】 解：绕点A逆时针旋转得到，如图2即为所求； 扫过的图形为扇形，且， 则在旋转的过程中扫过的面积为：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 据国家体育总局报道，2025年全年，我国运动员共在31个项目上获得146个世界冠军，创17项世界纪录．为了落实“健康第一”的教育理念，某校购买了一批跳绳，其中长绳每根25元，短绳每根15元，若学校用550元购买了长绳和短绳共30根，请问长绳和短绳各买了多少根？ 【答案】长绳买了10根，短绳买了20根. 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题关键是找到题目中的两个等量关系：长绳和短绳的总数量为30根，购买长绳和短绳的总费用为550元，据此列方程组求解即可. 【详解】解：设购买长绳根，短绳根， 根据题意，列方程组：， 解得：. 答：长绳买了10根，短绳买了20根. 18. 《天工开物》是明代宋应星所著的科技著作，总结了中国古代农业、手工业的生产技术与经验．书中介绍在较浅的水池和小水沟里没办法安置大型水车，就只能用仅几尺长的拔车．拔车又称手摇龙骨水车或者手摇翻车，发明于明代，是在手摇翻车基础上改进的小型手摇水车，如图1，其模型如图2所示，已知人身高，支撑杆高，人抬车的时候夹角一般为，求拔车的长度以及拔车支撑杆与河岸之间的距离．（结果精确到0.01，参考数据：，，．） 【答案】拔车的长度约为，拔车支撑杆与河岸之间的距离约为 【解析】 【分析】求出，解得拔车的长度约为，，再解，求得，根据可得结论． 【详解】解：，， ， ， 在中，， ， 在中，， 则． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，点O是上一点，以点O为圆心，为半径的与相切于点D，与交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）的半径为4 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质定理和在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，可推出，然后根据两直线平行内错角相等和等边对等角，通过等量代换即可证得结论； （2）设的半径为r，易证，根据相似三角形的对应边成比例即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r，则，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得，（舍去）， ∴的半径为4． 20. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从A，B两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对A，B两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分 A：5     6     6     8     8     8     8     9     9     10 B：6     6     6     6     7     8     9     9     10     10 b．数据分析能力得分（如图） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A m 8 8 7.0 p B 7.7 7.5 6 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______（填“＞”或“＜”）． （2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由． 【答案】（1）7.7，7.5， （2）我认为小罗应该选择A．理由见解析 【解析】 【分析】（1）计算出A组语言交互能力得分平均数，可得m的值；把A组数据分析能力得分按高低排列，中间两个得分7分与8分的平均数即为p的值，根据两组数据分析能力得分折线统计图可确定方差的大小； （2）分别从语言交互能力得分、从数据分析能力得分的平均数、中位数与众数进行比较即可进行选择． 【小问1详解】 解：； A组数据分析能力得分按高低排列，中间两个得分7分与8分，则： 由两组数据分析能力得分折线统计图知，A组得分的波动程度大于B组得分的波动程度，即； 【小问2详解】 解：我认为小罗应该选择A． 理由如下：从语言交互能力得分来看，A和B的平均数一样，但是A的中位数和众数均高于B；从数据分析能力得分来看，A的平均数高于B，且A的中位数也大于B；（理由合理即可）． 六、（本题满分12分） 21. 探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】 （1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中______； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则______； 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第1条斜线，设表示铺地锦表格中第k条斜线上所有数字之和；为第k条斜线相加后的进位值，若相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】 （3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，______； 【拓展创新】 （4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中______，______；的乘积等于______． 【答案】（1） （2） （3） （4）；； 【解析】 【分析】（）利用“铺地锦”的方法计算即可； （）根据铺地锦规则，列出关于的方程，求解并检验的取值合理性； （）先确定第条斜线包含的数字，求和得到； （）在五进制下，先计算得到乘积，在五进制下十位数字为，即，计算并转换为五进制得到；再按五进制满五进一规则计算斜线和，最终得到乘积． 【小问1详解】 解：如图， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∴，解得； 【小问3详解】 解：如图， ∴； 【小问4详解】 解：如图， 格子中，；它们的乘积等于． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点（），连接． （1）如图，求证：； （2）如图，在左侧作，延长分别交，于点，，当，时． ①求点到的距离； ②证明：． 【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析 【解析】 【分析】（）根据正方形的性质证明，继而得证； （）①先利用（）中全等结论和正方形性质，推导出，判定为等腰三角形；再作构造直角三角形，结合已知的，利用三角函数与勾股定理，计算得出点到的距离；②通过延长交于点，利用对顶角、等腰三角形及正方形对角线的角度性质，先证明，再结合相似三角形的比例关系、等腰三角形三线合一及三角函数的半角关系，推导得出与的等量关系． 【小问1详解】 证明：∵正方形中，点是对角线上的一个动点， ∴，， 在和中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①在正方形中， ∵， ∴ ∴， 由（）知， ∴， ∴， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 如图，过点作于点， ∴点是的中点， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴点到的距离为； ②证明：∵延长分别交，于点， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由①知是等腰三角形，， ∴平分， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 点和点在二次函数的图象上． （1）当时，时， ①求证：； ②已知点和点，若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围； （2）当时，求证：． 【答案】（1）①见解析；② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据二次函数与轴的交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，直接推导出参数与的数量关系． ②先根据二次函数与轴的交点坐标，求出函数表达式；再结合函数图像与线段只有一个交点的条件，代入线段端点坐标建立不等式，求解参数的取值范围． （2）先将点、的坐标代入二次函数表达式，通过解方程组用含的代数式表示和；再将、代入待证不等式，通过代数变形化简，证明不等式成立． 【小问1详解】 ①证明：当，时，点和点， ∴方程的解为，， 由根与系数的关系得， ∴； ②解：将点，代入得 ， 解得， ∴， 又∵必过，． 要使图象与线段只有一个交点，则， 解得； 【小问2详解】 证明：要证，即证， 当时，点和点， 由条件可得：， ∴， ∴， ∴，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $