四川省南江中学2025-2026学年高二下学期期中测试数学试题

南江中学2025-2026学年高二下学期期中测试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 命题人：张桂华 审题人：虎忱 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的通项公式为，则使得前项和最小的的值为（ ） A． B． C． D． 3．函数的导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数的极大值点为（ ） A． B． C． D． 4．已知等比数列中，，，则公比为（ ） A． B．2 C． D．4 5．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知，设函数的零点个数为，则＝（ ） A．75 B．120 C．210 D．240 8．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的有（ ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 10．记为数列的前项和，已知则（ ） A．2026是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 11．对于函数，则（ ） A．函数的单调递减区间为 B．不存在，使得直线与曲线相切 C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则曲线在处的切线方程为__________． 13．已知数列的前项和为，则__________． 14．已知函数的图象在点（其中）处的切线与圆心为的圆相切，则圆的最大面积是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 16．如图，在三棱柱中，平面，，，分别为，的中点． （1）证明：侧面为矩形； （2）若，求直线与平面夹角的正弦值． 17．已知椭圆的左右焦点分别为，，点满足直线，的斜率之积为，点是上任意一点，． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 18．已知等差数列前项和为．数列前项和为，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，且，求的最小值． 19．已知函数， （1）当时，讨论函数单调性； （2）当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值； （3）若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 高二下半期考试数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A C D B B A BD AD BCD 二、填空题 12．； 13．； 14．． 三、解答题 15．解：（1）因为， 则， 令，可得或，列表如下： 3 ＋ 0 － 0 ＋ 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为，，减区间为， 的极大值为，极小值为． （2）由（1）可知，在区间上单增，在上单减，在上单增， 且，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是． 16．解：（1）证明：连接，由题知，是的中点， 平面，而平面平面，平面， 又平面，． 又，，平面，平面， 又平面，． 分别是的中点，，． 侧面为矩形． 另：也可先证明平面． （2）连接，以为坐标原点，直线，，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系 易知，，， ，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取． ． 直线与平面夹角的正弦值为． 另：若以分别为轴建系时，平面的一个法向量为 ，． 17．解：（1）设椭圆的半焦距为，则，， 所以，， 因为直线的斜率之积为，所以，解得． 因为，利用椭圆定义可得椭圆长轴，解得， 则． 所以的方程为． （2）由已知得过点且满足题意的直线的斜率存在，不妨设， 联立消去得， 令，解得． 设，，则，， 因为以为直径的圆经过点，所以，即， 所以，即， 所以， 整理可得即，满足，解得， 所以直线的方程为． 18．解：（1）设等差数列的公差为， 所以，解得， 所以， 所以， 由，当时，，解得， 当时，由有， 所以，即， 所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以， 所以； （2）令，设数列的前项和为 所以①， ②， 由①-②有： ， 所以； （3）令， 所以，， 所以， 所以 ， 又， 因为， 所以的最小值为32． 19．解：（1）由得 当时，；当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，不等式可化为， 变形为即 同构函数，求导得，所以在上是增函数． 所以原不等式可化为， 根据单调性可得： 再构造，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的， 所以的最小值为； （3）因为存在两个不同的极值点，，， 所以由可得： ，，， 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故，又由且可得， 而 令，， 则， 因为，所以，即， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即，则 所以实数取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $