四川成都市2025-2026学年高二下学期中测试数学模拟卷1

2025-2026学年下期半期考试模拟试卷 高二数学 第Ⅰ卷 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项合题目要求的．） 1.在等差数列中，，则（ ） 2.已知数列满足，若，则（ ） 3.已知函数在上可导，若，则（ ） 4.已知是双曲线的一个焦点，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（ ） 5.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，每环依次增加相同块数扇面形石板，已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（ ） 块 块 块 块 6.设函数是上可导的偶函数，且，当时，满足，则的解集为（ ） 7.若函数在上恰有2个极值点，则实数的取值范围是（ ） 8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三项起，每个数等于他前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（ ） 二､多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9.设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） 数列是递减数列 中最大的值是 10.若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（ ） A. B. C. D. 11.点是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的有（ ） 当在平面上运动时，四棱锥的体积发生变化 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 第Ⅱ卷 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.设等差数列的前项和分别为，若对任意都有，则的值为 . 13.英国数学家布鲁克·泰勒以发现泰勒公式、泰勒级数和泰勒展开式而闻名于世.计算器在计算等函数的函数值时，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有：。其中是的导数，是的导数，是的导数，阶乘，.取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ，精确到0.01的近似值为 . 14.设函数，若恒成立，则的最小值为 . 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（13分）在数列中，，点在直线上. （1） 求数列的通项公式； （2） 若，求数列的前项和. 16.（15分）如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点. （1） 求证：平面⊥平面； （2） 求直线与平面所成角的正弦值. 17.（15分）已知的离心率为，椭圆上的点到两焦点距离之和为4， （1）求椭圆方程； （2）设O为原点，为椭圆上一点，直线与直线，交于A，B．与的面积为，比较与的大小． 18（17分）有甲乙在内的4个人传球，每人接球后传给别人为一次传球.现由甲先发球，经过次传球后，球回到甲手中的不同传球方法记为. （1） 求； （2） 经过次传球后，球没有回到甲手中的不同传球方法数记为，请用表示； （3） 写出和满足的关系式，并求数列的通项公式. 19.（17分）设函数. （1） 讨论函数的极值点； （2） 证明：对任意的，恒成立； （3） 令，若的前项和为，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年下期半期考试模拟试卷 高二数学 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项合题目要求的.) 1.在等差数列{an}中，a3=10,a6=5,则a,=() A.15 B.5 C.10 D.0 【解析： a6=a3+3d=10+3d=5,∴.3d=-5，.a,=a6+3d=5+(-5)=0,故选D. 2.已知数列{a}满足a1=1-a。 1，卷41三)，则42025=C 1 A 2 B.2 C.-1D.1 【解析： 1 1 由题意a,= 2,4=,2-,041--124s、7 1 =2…,数列{an}是以 1-41- 2 2 3为周期的周期数列，a025=a675x3=a,=-1，故选C 3.己知函数fx)在R上可导，若f'(2)=3,则im f2+3A-f2-Ay-() △→0 △x A.9 B.12 C.6 D.3 【解析： lim Ar>0 f2+3a-f2-Ay-4xm2+3Af2-6-4f2)=2.故达B △x 4△X A已克F是双自收号茶-川o>06>0前个给，且点F有C的两张新数约短之标容于 2 ,则C的离心率为() B.2 D.3 2 【解析】： bc+0 根据对称性，不妨取F(c,O),则F到渐近线的距离为d,= bc-0 =b,d,= =b Va2+b2 Va2+b2 d,d2=b2= a b21 a-2 。。 故选C 2 5.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面 形石板构成第1环，依次向外共砌27环，每环依次增加相同块数扇面形石板，已知最内3环共有54块 扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）() A.3339块 B.3402块 C.3474块 D.3699块 【解析】： 由题意可知，每层扇面形石板的块数成等差数列，设为{a}，则有 01+2+a3=54,a25+026+a27=702, 41+a,+43+a25+a26+a27=3(a1+a27）=756 整理得：a1+a2,=252 S21= (41+a27)×27252×27 =3402,故选B. 2 6.设函数f(x)是R上可导的偶函数，且f(3)=2,当x>0时，满足2f(x+xf'(x)>1,则 x2f(x)<18的解集为() A.(-00,-3) B.(3,+o∞) C.(-0,-3U(3,+o∞ D.(-3,3 【解析】： 构造函数g(x)=xf（(x),因为f（x)是R上的可导偶函数，故g(x)也是偶函数 :当x>0时，2f(x)+xf'(x)>1 ∴.2xf(x)+x2f'(x)>x>0,∴.g(x)>0,故g(x)在(0，+o)为增函数 x2fx)<18即x2f(x)<32f3),即g(x<g3) 又g(x)为偶函数，.不等式等价于gx<g(3) x3,-3<x<3 故选D 7诺函酸=nx+分-r公 上恰有2个极值点，则实数a的取值范围是() 4别 2引 9》 【解析】： f八刘=nx+2-m, f(x)-I+x-a 树车行3】 上恰有2个极值点 f(x)=1+x-a在 有两个变号零点 即+x=a两个不等根，即y=-+x与y=a在 33 有两个不同交点 段刘=+子g=1 Γx2 x∈ }时，80.8的华调避减 x∈(1,3)时，g(x)>0,g(x)单调递增 --2-9 :.当2<4<时，y=1+x与y=a在 23 有两个不同交点，故选A 8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，…其中 从第三项起，每个数等于他前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列{4}称为“斐波那契 数列”.记Sn为“斐波那契数列”{a}的前n项和，若S2s=a，a2+a+a+…+ai24=b，则 02024=( ) 只6 b-1 B b b+1 C. D. a+1 a+1 2a+1 a+1 【解析】： 由题意，当n≥3时，an=0n-1+an-2’则am-1=an-am-2 .a2=a3-01,a3=a4-a2,…,0m-1=0m-0n-2,0n=0n+l-0n-l .Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+(a3-a)+(a4-a2)+(a5-a3)+…+(an-am-2)+(a+1-am-) an+0n+1-a2=an+2-a2=an+2-1 .S2023=a2025-1=a,a2025=a+1 当n≥3时，an=a-1+0n-2, .a1=a,-a2,d=a(a-an-2)=andn-ad-2>a=a,dm-aa ∴.b=a+a+a+…+a3m4=a2+(a,a3-aa2）+(a,44-a24)++(a2024a22s-a023a2om4) =a2024a2025+a2-a142=a202402025+1-1=0202442025 ∴.b=(a+1)a2024 所以42024= 6 ,故选A a+1 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.设等差数列{a}的公差为d,前n项和为Sn,若a3=12,S2>0,S,<0,则下列结论正确的是() A数列{a}是递减数列 B.S,=60 c.-24<d-2 7 D.S1,S2,…,S12中最大的值是S6 【解析】： 因为S2 12(a1+a2 2 12(a6+a>0,a,+a>0 2 S13 13a,+a_13×2a<0,a,<0 2 2 ∴a6+a,=2a3+7d=24+7d>0;a,=a3+4d=12+4d<0 解得 24<d<-3,故C错误： 24<d<-3<0,∴数列{a单调递减，选项A正确： Ss= (a,+a5) 5×2a=10×12 =60,选项B正确； 2 2 a6+a>0,a,<0且数列{an}单调递减，.n≤6时，am>0,n≥7时，an<0,所以S。最大，选 项D正确。 故选ABD. 10.若函数fx)的定义域为D,且存在x∈D,使得f(x)+2f'(xo)=0,则称x是f(x的一个“二 倍阶值点”，下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是() A.f(z)=1 B.f(x)=e*- x C.f(x)Inx D.f(x)=e*+x 【解析】： 对于A,f=0,f纠=-x0, r +2=0商号是-0：0,0%=2 所以函数了(x)=1存在“二倍阶值点，A正确： 对于B,f(x=e-(xeR),f'(x)=e(2x-1)(xeR), 由f()+2f'(xo)=0得e6-w+2e-(2x,-1)=0(x∈R), 因为e之0,4，-1=0，解得4 所以函数f(x)=e-存在“二倍阶值点”，B正确： 对于C,f(x)=lnr(x>0),f'(x)=(x>0), 由f+2f)=0得n+2=0(x>0. g=n+子x>0,g1=是-号20. 当x∈(0,2)时，g'(x)<0,gx)单调递减， 当x∈(2，+0)时，g'（x)>0,g(x)单调递增， 所以当x=2时，g(x)有极小值也是最小值g2)=ln2+1>0, 所以nx+2=0无解， 七 所以函数fx)=lnx不存在“二倍阶值点”，C错误； 对于D,fx)=e+x(x∈R),f'x)=e+1(x∈R, 由f(xo)+2f'(x)=0得e+x+2e+2=3e+x。+2=0, 令h(x)=3e+x+2(x∈R),h'(x)=3e+1>0, 所以h(x)在R上单调递增， 又h(-3)=3e3-3+2= 3-1<0.h-2)=3e2-2+2=。>0, 根据零点存在性定理可知h(x)在x∈（-3，-2)上存在零点， 所以方程3e+x。+2=0有解， 所以函数fx=e+x存在“二倍阶值点”，D正确： 故选：ABD 11.点P是棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,的表面上一个动点，则下列结论中正确的有() A当P在平面CC,D,D上运动时，四棱锥P-ABB,A的体积发生变化 B.当P在线段AC上运动时，D,P与AC所成角的取值范围是 ππ 3’2 C.若F是AB的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B,CD,时，PF长度的最小值是 V6 2 D.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为2√2+π 【解析】： 对于选项A,底面正方形ABB,A,的面积不变，当带你P在平面CC,D,D上运动时，P到平面的距离不变， 故四棱锥P-ABB,A,的体积不发生改变，选项A错误； 对于选项B,: AC,∥AC,∴DP与AC,所成的角即为D,P与AC所成角 :AC=CD,=AD,△ACD,为等边三角形 D 显然当P在端点A,C时，所成角最小，最小角为乃 当P在中点时，由三线合一可知，D,P⊥AC,此时所成角最大，为 2 故D,P与AC,所成角的取值范围是 ππ 3’2 选项B正确； 对于选项C,以D为坐标原点，建立如图坐标系，则B,(1,l,,D,(0,0,1),C(0,1,0),F 因为点P在平面ABCD内，所以不妨设P(m,n,0)(0≤m≤1,0≤n≤1)，则 CB=(1,0,1),CD=(0,-1,1,FP= 设平面CB,D,的一个法向量为u=(x,y,2) CB·u=x+z=0 则 ,取z=1,则u=-1,1,1) CDu=-y+z=0 1 :PF∥平面BCD,FP.=0,.n=m+ F= (m6 2 当m=二时等号成立， 故选项C正确. 2 2 2 对于选项D,,直线AP与平面ABCD所成角为45° ①当点P在平面BCC,B,内时，当P与B重合时，直线AP与平面ABCD所成角最大，为∠B,AB=45 其他位置不符合要求； ②当点P在平面DCC,D内时，当点P与D,重合时，直线AP与平面ABCD所成角最大，为 ∠DAD=45,其余位置不符合要求； ③点P在平面ADDA内，点P的轨迹为AD=√2； ④点P在平面ABB,4内，点P的轨迹是AB=V2; ⑤点P在平面A,B,C,D,内时，作PML平面ABCD,如图所示： :∠PAM=45°，.PM=AM 又因为PM=AB,.AM=AB,.AP=AB 故点P的轨迹是以A为圆心，1为半径的四分之一圆，其轨迹长度为：兀1=刀 π 22 0 B D 故点P的轨迹长度为2√2+兀，选项D错误 2 故选BC. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.设等差数列{a,,b}的前n项和分别为S,工，若对任意n∈N都有S=2n-3 T 4n-3' 则 a,+a:一的值为 b,+b2b。+ba 【解析】： 等差数列{a}有51-2n-g+a山_2n-2a.=2n-a,，同里 2 2 2n-4+6_2m--2b=2n-1a,六L-2m-g=2 2 T2n-1 (2n-1)bb -0,+a3=2a6=06=S1= 22-319 b+b,b。+b4 b5+b72b。bI144-341 故填： 19 41 13.英国数学家布鲁克·泰勒以发现泰勒公式、泰勒级数和泰勒展开式而闻名于世.计算器在计算 e,lnx,sinx,cosx等函数的函数值时，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式” 是：如果函数f（x)在含有x的某个开区间(a,b)内可以多次进行求导数运算，则当x∈(a,b),且 ,--- 01 3！ 。其中'(x)是fx)的导数，f”"(x)是f'(x)的导数，f"(x)是f”(x)的导数，阶乘0！=1， n!=n×n-1)(n-2)×…×2×1.取x。=0,则sinx的“泰勒展开式”中第三个非零项为 sin1精确到0.01的近似值为」 【解析】： ,=0时，f=f0r+0x+0r+0 x3+… 0！ 1! 2！ 3 1 13 .f(x)=sinx=0×x°+1×x+0×x2+(-1×x2+0×x4+1××x5.…=x-x3+ 3 5 6120 所以sinx的“泰勒展开式”中第三个非零项为 1 X; 120 1,1 101 f(x)=sin1=1- 十·= +…≈0.84 6120 120 故填： x3;0.84 120 14.设函数f(x)=e-a)lnx+b),若f(x)≥0恒成立，则a+b的最小值为 【解析： 法一：令lnx+b)≥0，则x≥1-b,令lnx+b)≤0，则-b≤x≤1-b 当a≤0时，e-a>0恒成立，此时不符合f(x)=e-a)ln(x+b)≥0恒成立： 当a>0时，令e-a≥0，则x2lna,因为fx)=e-a)ln(x+b)≥0恒成立， 所以lna=1-b, 故a+b=a+1-lna 令ga)=a+1-lna,则g(a)=l-1-a-a>0 当a∈(0,1)时，g(a)<0,g(a单调递减； 当a∈(1，+oo)时，g'(a>0,ga单调递增； 故当a=1时，g(a有最小值，为g1)=1+1-0=2 故填：2. 法二：易知y=e-a和y=n(x+b)均在定义内单调递增，而要使f(x=e-aln(x+b)≥0恒成 立，需y=e-a和y=ln(x+b)同号，所以y=e-a和y=ln(x+b)有相同零点 令e-a=0解得x=lna,令ln(x+b)=0,解得x=1-b .'In a=1-b, 故a+b=a+1-lna (余下步骤同法一) 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.(13分)在数列{a}中，a6=16,点(a,ai)(neN)在直线x-y+3=0上. (1)求数列{a}的通项公式： (2)若bn=2”an,求数列{bn}的前n项和Tn 【解析】上 (1)点(an,aH)(neN)在直线x-y+3=0上 ∴an-a1+3=0，,即a41-an=3 .数列{an}是以d=3为公差的等差数列 .a6=a1+5d=a1+15=16,.a1=1 .an=a+(n-1)d=1+3(n-1=3n-2,neW