精品解析：四川嘉祥教育集团2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题

嘉祥教育集团2025－2026学年高二下学期质量监测试题 数 学 注意事项： 1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导运算错误的是（    ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则（     ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（     ） A. B. C. D. 4. 已知函数满足 ，则在处的切线斜率为（     ） A. B. C. D. 5. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为C1，C2，C3，C4，则C4 =（     ） A. B. C. D. 6. 在等比数列中，“数列递减”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，恒成立，则的最大整数值为（     ） A. B. C. D. 8. 若函数的零点为，则 （     ） A. 2 B. C. 1 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．有2个正确答案的，每选对1个，得3分；有3个正确答案的，每选对1个，得2分；凡选错1个答案的，得0分） 9. 已知数列是等差数列，为其前项和，是等比数列，为其前项和，则必有（     ） A. B. C. ，，成等差数列 D. ，，成等比数列 10. 下列不等关系中，正确的是（     ） A. B. C. D. 11. 已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（     ） A. B. 是极小值点 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的单调递减区间是___________． 13. 若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________． 14. 已知为各项均为正整数的递增数列，且满足，则_______，_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的n的最小值. 16. 已知函数在处取得极值，且． （1）求解析式（用表示）； （2）若，求在闭区间上的最值． 17. 已知数列满足，． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知函数，其中． （1）令，讨论的单调性； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若函数存在两个极值点，，且，求的值． 19. （1）证明：当时，； （2）在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，…，，其中 为函数的阶导数．对于给定的正整数，，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为． 例如，（为常数）． （i）求的值并证明当时，； （ii）若数列满足，，记，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥教育集团2025－2026学年高二下学期质量监测试题 数 学 注意事项： 1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导运算错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助导数运算法则计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 2. 在等差数列中，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出等差数列的公差，再结合求解即可. 【详解】由题意可知，等差数列的公差为， 故. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性与导数符号之间的关系判断即可. 【详解】由导函数的图象可知，当时，且在单调递增， 所以函数在上单调递增，且在上的图象增长速度越来越快，排除AD选项， 当时，，则函数在上单调递增，排除C选项. 4. 已知函数满足 ，则在处的切线斜率为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助导数运算法则计算即可得. 【详解】，则， 即，解得， 即在处的切线斜率为. 5. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为C1，C2，C3，C4，则C4 =（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形可知是首项为，公比为的等比数列，即可求得结果. 【详解】原正三角形边长为，共条边，因此. 每次操作时，原来的每条边被三等分后，会从1条边变为4条长度为原边长​的新边， 因此操作后总周长变为原来的倍，即. 根据规律：. 6. 在等比数列中，“数列递减”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和充分条件、必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，设公比为，则， 若，则，即，此时，显然数列是递减数列， 若，则，即，此时，数列也是递减数列， 反之，当数列是递减数列时，显然． 故“数列递减”是“”的充要条件． 7. 若，恒成立，则的最大整数值为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定时的情况，当时，参变分离可得，构造函数，求出函数的最小值即可. 【详解】当时，，不等式成立，； 当时，恒成立，即， 令，则， 令，，则， 则在上单调递增，所以，即. 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故，所以； 综上，故的最大整数值为. 8. 若函数的零点为，则 （     ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知有，根据零点得到，利用指对数的关系及运算性质得到关于t的表达式，进而计算确定t值即可. 【详解】由题知，由得，整理得， 若，可得， 若，可得， 综上，，即， 记，则，因为，所以， 令，因为在上单调递增，且函数值为正， 所以在上单调递增， 因为，即，所以. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．有2个正确答案的，每选对1个，得3分；有3个正确答案的，每选对1个，得2分；凡选错1个答案的，得0分） 9. 已知数列是等差数列，为其前项和，是等比数列，为其前项和，则必有（     ） A. B. C. ，，成等差数列 D. ，，成等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】借助等差中项与等比中项性质可得A、B；借助等差数列求和公式及等差数列定义计算可得C；举出反例可得D. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：设等差数列的公差为，则， ， ， 则，， 即有， 故，，成等差数列，故C正确； 对D：当时，有， 故此时，，不成等比数列，故D错误. 10. 下列不等关系中，正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】通过构造函数，借助导数研究单调性，代特殊值，即可比较大小. 【详解】对于A选项，构造函数，其中，则， 故函数在上单调递减，所以， 即，即，即， 故，A对； 对于B选项，构造函数，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以当且时，， 令，可得，即，B错； 对于D选项，因为当且时，，故， 所以当且时，， 令，得，即，D对； 对于C选项，构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递减， 所以，即，故，C错. 11. 已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（     ） A. B. 是极小值点 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】结合导数的性质与零点存在性定理得到，，利用不等式的基本性质可判断A，不断构造函数并结合导数的性质判断B，利用正弦函数性质并结合题意代换判断C，对原函数合理变形得到，结合并利用导数判断D即可. 【详解】由题意得的定义域为，则， 而极值点满足，即，因，则， 即时，而，，， 结合零点存在性定理得，， 对于A，由已知得，，所以，故A错误； 对于B，令，且， 令，则， 令，， 当时，，则在上单调递增， 而，，则， 由零点存在性定理得存在作为零点， 即存在作为零点， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 则是的极小值点，故B正确； 对于C，由已知得，， 则，而， ，而，则，得到， 由正弦函数性质得在上单调递减， 则，得到，故C错误； 对于D，由题意得，， 满足，由已知得，则， 可得， 令，且， 而，当时，， 则在上单调递增，则， 即，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的单调递减区间是___________． 【答案】、 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得答案. 【详解】函数的定义域为，， 由可得或，故函数的单调递减区间为、. 13. 若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】对两个曲线函数求导，设出切点坐标，根据导数的几何意义列出方程，进而计算即可. 【详解】对曲线函数求导得，对曲线函数求导得， 设切点，， 因为直线与曲线相切于点P，所以. 因为直线与曲线相切于点Q，所以. 所以，得到， 化简得，解得，所以. 14. 已知为各项均为正整数的递增数列，且满足，则_______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过不断代入得到，再结合其单调性即可求出的值；通过代入归纳总结得到时，，再代入合理值即可求解. 【详解】由已知，若，将有，矛盾； 若，则，与单调性矛盾；故. 由，有，，所以，， 又，则，所以，， 令，令，则， 则时，， 此外可求得，， 且，， 则时，，，时，， 当时，时，，所以， 在原式中令，可得. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的n的最小值. 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得； （2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，化简得， 解得，，所以. 【小问2详解】 由（1）可知. 由，得，即， 即，解得或. 因为，所以n的最小值是6. 即使成立的n的最小值为6. 16. 已知函数在处取得极值，且． （1）求解析式（用表示）； （2）若，求在闭区间上的最值． 【答案】（1）， （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用极值点定义计算即可得； （2）利用导数求出该函数单调性后，计算即可得. 【小问1详解】 ，则有，解得， 即， 检验：， 则，即时，恒成立， 在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，若时，， 若，， 则在、上单调递增，在上单调递减， 此时是该函数极值点，符合题意； 当时，若时，， 若，， 则在、上单调递增，在上单调递减， 此时是该函数极值点，符合题意； 故的解析式为，； 【小问2详解】 若，则，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为， 又，， 故的最大值为. 17. 已知数列满足，． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，结合等比数列定义即可得证； （2）借助分组求和法、错位相减法与等差数列求和公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 由，故，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可得，即， 则， 令，数列的前项和为， 则， 则， 则 ， 则， 故. 18. 已知函数，其中． （1）令，讨论的单调性； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若函数存在两个极值点，，且，求的值． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导后，分及进行讨论即可得； （2）由题意可得在上恒成立，构造函数并借助导数求出在上的最小值即可得； （3）设、，由极值点定义可得，设，可得，则，由可得，构造函数，利用导数计算可得其单调，即可得，即可得解. 【小问1详解】 ，则， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，设，， 则恒成立， 故在上单调递增，则， 故，即的取值范围为； 【小问3详解】 ，则， 令、，则，，即， 由，则， 设，则，由，则，即， 故，即，则， 故， 令， 则， 令，则， 故在上单调递增，则， 即，故在上单调递增， 又，故，即. 19. （1）证明：当时，； （2）在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，…，，其中 为函数的阶导数．对于给定的正整数，，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为． 例如，（为常数）． （i）求的值并证明当时，； （ii）若数列满足，，记，求证：． 【答案】 （1）令，，则恒成立， 故在上单调递增，则， 即有在上恒成立； 令，，则恒成立， 故在上单调递增，则， 即有在上恒成立； 综上可得：当时，； （2）（i），证明： 令，， 则， 令，， 则 ， 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 则当时，，即； （ii）当时，可令，，则， 当时，，且， 则，由在上单调递增，故， 即有，则，， ，，， 又， 故 ； 由（i）知，，则， 故，则， 故，即，则，，， 即， 即，又，故， 故， 故 ； 综上可得. 【解析】 【分析】（1）分别构造函数、，利用导数求出其在区间上单调性即可得； （2）（i）由帕德近似的定义，可得，计算可得的值，构造函数，利用导数研究函数单调性即可得证；（ii）结合（1）中所得，可得时，，从而可得，再利用，可得；结合（i）中所得，可得，即可得. 【详解】（1）略 （2）（i）根据帕德近似的定义，令，， 有，，， 令，可得，即有； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $