第03讲 一元一次不等式组（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

本讲义聚焦一元一次不等式组这一核心知识点，系统构建从解单个不等式到解不等式组的学习支架，涵盖求分解、画公解、写组解的解题步骤，结合四大解集口诀与数轴表示公共解集，逐步延伸至含参数问题及实际应用，形成完整知识脉络。 该资料以分题型设计为特色，通过典例与变式题覆盖解不等式组、参数范围求解、方程组结合及盈不足、方案等应用问题，在参数整数解分析中培养推理能力，在实际问题建模中发展模型意识。课中助力教师分层教学，课后通过练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第03讲 一元一次不等式组 考点1：解一元一次不等式组 考点2：一元一次不等式组的应用 重点： （1）会解单个一元一次不等式 （2）四大解集口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解 （3）会用数轴看公共解集 难点： （1）乘除负数忘变不等号方向 （2）数轴：空心 / 实心、左右方向易混 （3）含参数有解、无解、整数解个数求范围（端点等号最难） （4）实际应用题找不等关系、取整数解 知识点1：解一元一次不等式组 （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 【题型1：解一元一次不等式组】 【典例1】解不等式组：并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为，数轴见解析 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 【变式1】解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 【变式2】解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先解不等式组中各不等式，再根据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 该不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为． 【变式3】解不等式组： (1)，并把解集表示在数轴上． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别解不等式①和②，再求公共解，然后把解集在数轴上表示即可； （2）分别解不等式①和②，再求公共解即可． 【详解】（1）解：， 解①得， 解②得， 所以不等式组的解集是． （2）解：， 由①得， 解得， 由②得， ， 解得， 所以不等式组的解集是． 【题型2：由一元一次不等式组的解集求参数】 【典例2】如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求得第一个不等式的解集，再根据该不等式组的解集，利用 “同大取大”可得到m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴． 【变式1】若不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 根据口诀：同大取大，且结合不等式组的解集，得出，再解得，可得答案． 【详解】解：不等式组的解集为：， ， 解这个不等式得， 故答案为： 【变式2】关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，先求得的解集，然后根据“同小取小”和已知解集得到m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 【变式3】若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先表示出不等式组的解集，根据不等式组只有3个整数解，确定出a的范围即可. 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式， ， ， 因此不等式组的解集为， ∵不等式组只有3个整数解， ∴整数解为1， 2，3， 可得， 解得． 【题型3：由不等式组的整数解的情况求参数】 【典例3】若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组无解， ， 解得. 【变式1】关于的不等式组，恰好有两个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：关于的不等式组的解集为， 不等式组恰好有两个整数解， 这两个整数解为、， 【变式2】关于x的不等式组恰有三个整数解，则符合条件的所有整数a的和为________． 【答案】1 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式得到解集，再根据恰有三个整数解确定参数的取值范围，找出范围内的整数，最后计算它们的和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有三个整数解，小于的连续三个整数为， ∴不等式组的三个整数解为， ∴， ∴ ∴符合条件的整数为， ∴所有整数的和为 【变式3】关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是先求出不等式组的解集，再结合整数解的个数确定参数的范围． 先分别解出两个不等式的解集，再合并得到不等式组的解集，结合整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 因此，不等式组的解集为， 设，则解集为， 由于有5个整数解，且，整数解为， 为确保这些整数解都在解集中，需满足，即， 为确保不在解集中，需满足， 因此，， 代入，得， 解该不等式： 左边，乘以2得，即， 右边，乘以2得，即． 故的取值范围为． 故答案为． 【题型4：不等式组和方程组结合的问题】 【典例4】方程组的解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≥4 C．k＞0 D．k＞﹣4 【答案】D 【分析】把k当作已知表示出x、y的值，再根据x、y为正数求出k的取值范围即可． 【详解】解： ，①﹣②×2得，（k+4）y＝4，解得y＝ ， 代入②得，x＝， ∵此方程组的解为正数，即 ， ∴k+4＞0，解得k＞﹣4． 故选D． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组的方法，在解此方程组时要把k当作已知表示出另外两个未知数，再根据题目中所给的条件列出不等式组，求出k的取值范围即可． 【变式1】已知满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】用第②个方程减第①个得，即得，再解不等式组即可求解． 【详解】解：， ②①，得， ∵ ∴， 即， 解得， ∴的取值范围为． 【变式2】若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握不等式组的解法成为解题的关键． 先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3】若方程组的解，满足，则的取值范围为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 知识点2： 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【题型5：一元一次不等式组的应用－盈不足问题】 【典例5】七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 【变式1】把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，求学生人数． 【答案】11或12人 【分析】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出，且，分别求出即可．此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键． 【详解】解：假设学生有x人， 根据题意得出：， 解得：． ∵x是正整数， ∴符合条件的x的值是11或12， 即学生人数为11或12人． 【变式2】把一些书作为参加运动会获奖学生的奖品，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就不足3本，但不少于1本．求共有多少名学生获奖？ 【答案】共有6名学生获奖 【分析】设共有名学生获奖，则作为奖品的书共本，根据“如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就不足3本，但不少于1本”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再取其中的整数值，即可得出结论． 【详解】解：设共有名学生获奖，则作为奖品的书共本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， ． 答：共有6名学生获奖． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出不等式组是解题的关键． 【变式3】某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住：若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有___________人． 【答案】或 【分析】设安排住宿的房间有间，则学生有人，根据“每间住4人，则还余10人无宿舍住和；每间住6人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答即可． 【详解】解：设安排住宿的房间有间，则学生有人， 根据题意，得， 解得. 又因为只能取正整数，所以或 当时，. 当时， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系式正确列出一元一次不等式组是解决本题的关键． 【题型6：一元一次不等式组的应用－方案问题】 【典例6】为了建设生态宜居的美丽贵港，提升城市文明形象，打造绿色社区，贵港市港北区某街道办事处决定采购、两种型号的分类垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买3个型号的新型垃圾桶和购买2个型号的新型垃圾桶共380元；购买5个型号的新型垃圾桶和购买4个型号的新型垃圾桶共700元． 材料二：据统计该社区需购买、两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： (1)任务一：求、两种型号的新型垃圾桶的单价各为多少元？ (2)任务二：请设计出所有符合要求的购买方案． 【答案】(1)A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元； (2)有三种购买方案：①购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个；②购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个；③购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个． 【分析】（1）设A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买A种型号的新型垃圾桶个，则购买B种型号的新型垃圾桶个，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元； （2）解：设购买A种型号的新型垃圾桶个，则购买B种型号的新型垃圾桶个， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种购买方案：①购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个；②购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个；③购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个． 【变式1】小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)共有种采购方案 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1800元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数，即可得到采购方案的数量． 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元，根据题意可得 解得 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章个，则购进吉祥摆件个，为正整数， 根据题意可得 解得， 因为为正整数，所以的取值为 的可取值个数为 答：小王共有种采购方案． 【变式2】2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． (1)求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ (2)该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 【答案】(1)A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹 (2)该物流中心有3种投入方案 【分析】（1）设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台，根据题意“总费用不超过26万元，每小时总分拣量不少于12000件”，建立一元一次不等式组，解不等式组得到a的取值范围，最后考虑到a为非负整数，确定一共有3种方案． 【详解】（1）解：设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹． 由题意得：， ∴解得： 答：A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹． （2）解：设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台． 由题意得：， ∴解得：． ∵a为非负整数， ∴a可为4、5、6， ∴该物流中心有3种投入方案． 【变式3】为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．若购买A型充电桩10个，B型充电桩5个，共需付款9万元． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过13万元，且A型充电桩购买数量不超过12个，共有几种购买方案？ 【答案】(1)A型充电桩单价为0.5万元，B型充电桩单价为0.8万元 (2)共有3种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出方程组并求解即可； （2）根据题意列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设型充电桩单价为万元，型充电桩单价为万元， 由题意知， ， 解得   ， 答：A型充电桩单价为0.5万元，B型充电桩单价为0.8万元； （2）解：设型充电桩购入个， 则有， 解得， 又∵为整数， ∴或或． 答：共有3种购买方案． 【题型7：一元一次不等式组的其他应用】 【典例7】为鼓励居民节约用电，某省试行阶梯电价收费制，具体执行方案如下： 档次 每月每户用电量/（） 执行电价元/（） 第一档 小于等于200 第二档 大于200且小于400 第三档 大于等于400 小李家5月、6月共用电，共缴纳电费元．已知小李家6月用电量大于5月，且5月、6月用电量均小于． (1)问小李家5月、6月各用电多少？ (2)小王家6月份共用电，问共需缴纳电费多少元？ 【答案】(1)小李家5月用电，6月用电 (2)共需缴纳电费元 【分析】（1）设5月用电，则6月用电．先利用6月用电量大于5月，且5月、6月用电量均小于，列不等式组求出，分两种情况：第一种情况：当时，第二种情况：当时，分别讨论即可； （2）直接利用计算即可． 【详解】（1）解：设5月用电，则6月用电． ∵6月用电量大于5月，且5月、6月用电量均小于， ∴， 解得， 分两种情况： 第一种情况：当时，， 则， 解得， ； 第二种情况：当时，， 则， 整理得：，无解， ∴小李家5月用电，6月用电． （2）解：∵， ∴共需缴纳电费（元）． 【变式1】水是人类宝贵的自然资源之一，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平，每个人都要节约用水．为帮助小明家和小亮家制定更合理的家庭用水计划，张老师对小明家和小亮家2022年的月平均用水量进行调查，发现2022年小明家月平均用水量比小亮家月平均用水量多5吨． (1)如果2022年小明家和小亮家共用水420吨，那么2022年小明家和小亮家的月平均用水量分别为多少吨？ (2)如果小明家计划2023年实际用水总量不低于144吨，同时又不超过180吨．那么小明家2023年的月平均用水量应该控制在什么范围？ 【答案】(1)小明家月平均用水量为20吨，小亮家月平均用水量为15吨 (2)小明家2023年月平均用水量应该控制在12吨到15吨之间 【分析】本题考查列一元一次方程解决实际问题，列一元一次不等式组解决实际问题，根据题意找准等量关系是解题的关键． （1）设小亮家2022年月平均用水量为x吨，则小明家月平均用水量为吨，然后根据两家总用水量列方程求解即可； （2）通过设小明家月平均用水量为y吨，则年用水量为12y吨，然后根据用水总量范围列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设小亮家2022年月平均用水量为x吨，则小明家月平均用水量为吨， 根据题意，两家年总用水量为420吨，则 解得 ∴小明家月平均用水量为吨， 答：2022年小明家月平均用水量为20吨，小亮家月平均用水量为15吨． （2）解：设小明家2023年月平均用水量为y吨，则年用水量为12y吨， 根据题意， 解得 ∴月平均用水量应满足， 答：小明家2023年月平均用水量应该控制在12吨到15吨之间． 【变式2】根据以下素材，探索完成任务．如何确定木板分配方案？ 素材1：我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算制作自己的手工制品，他们买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2：现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 问题解决： (1)求出长方体收纳盒的高度． (2)若按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 【答案】(1)长方体的高度为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． （1）根据“底面长与宽之比为”列方程求解； （2）根据“按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解． 【详解】（1）解：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； （2）设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：，，，， ∴共有4种方案： ①图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ②图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ③图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ④图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 【变式3】一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示： 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行． (1)若，该程序需要运行__________次才停止； (2)若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，求的取值范围． 【答案】(1)三； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）分别求出运行一次、二次、三次的结果，由，可得出该程序需要运行三次才停止； （2）根据“该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：运行一次：； 运行二次：； 运行三次：。 ∵， ∴若，该程序需要运行三次才停止。 故答案为：三； （2）解：根据题意得： 解得：． 答：的取值范围为． 1．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解不等式组中每个不等式的解集，再根据一元一次不等式组的解集确定原则，找出两个解集的公共部分即可得到答案． 【详解】解：记不等式组为 解不等式②，移项得． ∵不等式①的解集为，不等式②的解集为， 根据“同大取大”的原则，两个解集的公共部分为， ∴不等式组的解集为． 2．2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式组，解题的关键是抓住关键词，正确理解最高和最低的含义． 万源市的最高气温为，最低气温为，即气温大于或等于，小于或等于，据此写出答案即可． 【详解】解：万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是：． 故选：D． 3．为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电厂商共同举办“政企双补”活动．活动期间，购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的补贴外，还可获得一定比例的厂家补贴．设厂家给予的补贴为商品原价的，要想此冰箱的实际支付金额不低于3000元，则可列得的不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意，实际支付金额为原价减去政府补贴和厂家补贴，且不低于3000元．需正确表达各补贴的关系并建立不等式． 【详解】解：冰箱原价为4200元，政府补贴600元，厂家补贴为原价的，即， 根据题意得：， 化简为： 故选：C 4．若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组解集的确定规则，判断两个不等式解集存在公共部分的条件即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， 两个不等式的解集必须存在公共部分，即存在实数满足 ， ． 5．测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：将的水倒进一个容量为的杯子中；将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设一个玻璃球的体积为，根据4个球放入水中水未满，5个球放入水中水满溢出，列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：设一个玻璃球的体积为 ∵杯子容量为，水的体积为 ， ∴杯子剩余空间为 根据题意可得， 解得， ∵选项中只有在此范围内， ∴一个玻璃球的体积可能是． 6．布克在编程课上设计了一个运算程序，如图所示， 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行．若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，则输入的x可能是（    ） A．6 B．8 C．13 D．22 【答案】B 【分析】根据“该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了”，可列出关于的一元一次不等式组，得到的取值范围，即可作答． 【详解】解：根据题意得： 解得：， ∴输入的x可能是8． 7．不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组解集的确定规则“同大取大”，即可确定该不等式组的解集. 【详解】解：， 根据“同大取大”的规则，可得该不等式组的解集为． 8．如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围)_________． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据机器零件的设计图纸给定的数值，可求出的取值范围． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为： 9．写出满足不等式组的一个整数解________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一）. 10．若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是关键． 根据不等式的性质解不等式组，再根据不等式组的取值方法得到解集，由只有3个整数解的含义即可求解． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴， ∵不等式组只有3个整数解，即整数解为， ∴， 解得，， 故答案为： ． 11．解不等式组：，并在数轴上表示解集． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得 解不等式②得 ∴不等式组的解集为： 解集在数轴上表示为： ． 12．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本．这些书有多少本？共有多少名同学？ 【答案】这些书有本，共有6个人 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，解题关键是准确列出不等式组． 设共有x人，则这些书有()本．根据题意列出不等式组求解． 【详解】解：设共有x人，则这些书有()本．由题意， 得， 解得， ∵x为整数， ∴， ∴ (本)． 答：这些书有本，共有6个人． 13．某超市销售A，B两种品牌的洗衣液，A品牌洗衣液每瓶进价30元，售价45元；B品牌洗衣液每瓶进价20元，售价30元． (1)若该超市一次性购进A，B两种品牌洗衣液共100瓶，总进价为2600元，求购进A，B两种品牌洗衣液各多少瓶？ (2)若该超市准备用不超过3200元的资金购进A，B两种品牌洗衣液共120瓶，且A品牌洗衣液的数量不少于B品牌洗衣液数量的，问该超市有几种进货方案？哪种进货方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) 购进A品牌洗衣液60瓶，B品牌洗衣液40瓶. (2) 共有41种进货方案，购进A品牌洗衣液80瓶，B品牌洗衣液40瓶时获利最大，最大利润是1600元. 【分析】（1）设购进A品牌洗衣液瓶，购进B品牌洗衣液瓶，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进A品牌洗衣液瓶，则购进B品牌洗衣液瓶，根据题意列出一元一次不等式组并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设购进A品牌洗衣液瓶，购进B品牌洗衣液瓶， 根据题意，可得， 解得 ， 答：购进A品牌洗衣液60瓶，B品牌洗衣液40瓶； （2）解：设购进A品牌洗衣液瓶，则购进B品牌洗衣液瓶， 根据题意，可得， 解得， ∴共有种进货方案， ∵A品牌洗衣液每瓶的利润为元；B品牌洗衣液每瓶的利润为，， ∴A品牌洗衣液越多时，利润越高， ∴购进A品牌洗衣液80瓶，B品牌洗衣液瓶时获利最大，最大利润是元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一元一次不等式组 考点1：解一元一次不等式组 考点2：一元一次不等式组的应用 重点： （1）会解单个一元一次不等式 （2）四大解集口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解 （3）会用数轴看公共解集 难点： （1）乘除负数忘变不等号方向 （2）数轴：空心 / 实心、左右方向易混 （3）含参数有解、无解、整数解个数求范围（端点等号最难） （4）实际应用题找不等关系、取整数解 知识点1：解一元一次不等式组 （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 【题型1：解一元一次不等式组】 【典例1】解不等式组：并将其解集在数轴上表示出来． 【变式1】解不等式组： 【变式2】解不等式组： (1)； (2)． 【变式3】解不等式组： (1)，并把解集表示在数轴上． (2)． 【题型2：由一元一次不等式组的解集求参数】 【典例2】如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是______． 【变式1】若不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 【变式2】关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是________． 【变式3】若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是______． 【题型3：由不等式组的整数解的情况求参数】 【典例3】若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 【变式1】关于的不等式组，恰好有两个整数解，则的取值范围是___________． 【变式2】关于x的不等式组恰有三个整数解，则符合条件的所有整数a的和为________． 【变式3】关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是______． 【题型4：不等式组和方程组结合的问题】 【典例4】方程组的解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≥4 C．k＞0 D．k＞﹣4 【变式1】已知满足，则的取值范围为______． 【变式2】若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为______． 【变式3】若方程组的解，满足，则的取值范围为___________． 知识点2： 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【题型5：一元一次不等式组的应用－盈不足问题】 【典例5】七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【变式1】把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，求学生人数． 【变式2】把一些书作为参加运动会获奖学生的奖品，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就不足3本，但不少于1本．求共有多少名学生获奖？ 【变式3】某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住：若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有___________人． 【题型6：一元一次不等式组的应用－方案问题】 【典例6】为了建设生态宜居的美丽贵港，提升城市文明形象，打造绿色社区，贵港市港北区某街道办事处决定采购、两种型号的分类垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买3个型号的新型垃圾桶和购买2个型号的新型垃圾桶共380元；购买5个型号的新型垃圾桶和购买4个型号的新型垃圾桶共700元． 材料二：据统计该社区需购买、两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： (1)任务一：求、两种型号的新型垃圾桶的单价各为多少元？ (2)任务二：请设计出所有符合要求的购买方案． 【变式1】小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 【变式2】2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． (1)求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ (2)该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 【变式3】为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．若购买A型充电桩10个，B型充电桩5个，共需付款9万元． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过13万元，且A型充电桩购买数量不超过12个，共有几种购买方案？ 【题型7：一元一次不等式组的其他应用】 【典例7】为鼓励居民节约用电，某省试行阶梯电价收费制，具体执行方案如下： 档次 每月每户用电量/（） 执行电价元/（） 第一档 小于等于200 第二档 大于200且小于400 第三档 大于等于400 小李家5月、6月共用电，共缴纳电费元．已知小李家6月用电量大于5月，且5月、6月用电量均小于． (1)问小李家5月、6月各用电多少？ (2)小王家6月份共用电，问共需缴纳电费多少元？ 【变式1】水是人类宝贵的自然资源之一，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平，每个人都要节约用水．为帮助小明家和小亮家制定更合理的家庭用水计划，张老师对小明家和小亮家2022年的月平均用水量进行调查，发现2022年小明家月平均用水量比小亮家月平均用水量多5吨． (1)如果2022年小明家和小亮家共用水420吨，那么2022年小明家和小亮家的月平均用水量分别为多少吨？ (2)如果小明家计划2023年实际用水总量不低于144吨，同时又不超过180吨．那么小明家2023年的月平均用水量应该控制在什么范围？ 【变式2】根据以下素材，探索完成任务．如何确定木板分配方案？ 素材1：我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算制作自己的手工制品，他们买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2：现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 问题解决： (1)求出长方体收纳盒的高度． (2)若按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 【变式3】一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示： 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行． (1)若，该程序需要运行__________次才停止； (2)若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，求的取值范围． 1．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 2．2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（   ） A． B． C． D． 3．为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电厂商共同举办“政企双补”活动．活动期间，购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的补贴外，还可获得一定比例的厂家补贴．设厂家给予的补贴为商品原价的，要想此冰箱的实际支付金额不低于3000元，则可列得的不等式为（　　） A． B． C． D． 4．若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：将的水倒进一个容量为的杯子中；将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（   ） A． B． C． D． 6．布克在编程课上设计了一个运算程序，如图所示， 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行．若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，则输入的x可能是（    ） A．6 B．8 C．13 D．22 7．不等式组的解集是________． 8．如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围)_________． 9．写出满足不等式组的一个整数解________． 10．若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是___________． 11．解不等式组：，并在数轴上表示解集． 12．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本．这些书有多少本？共有多少名同学？ 13．某超市销售A，B两种品牌的洗衣液，A品牌洗衣液每瓶进价30元，售价45元；B品牌洗衣液每瓶进价20元，售价30元． (1)若该超市一次性购进A，B两种品牌洗衣液共100瓶，总进价为2600元，求购进A，B两种品牌洗衣液各多少瓶？ (2)若该超市准备用不超过3200元的资金购进A，B两种品牌洗衣液共120瓶，且A品牌洗衣液的数量不少于B品牌洗衣液数量的，问该超市有几种进货方案？哪种进货方案获利最大？最大利润是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $