第03讲 实数（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

本初中数学讲义聚焦“实数”核心知识点，系统梳理无理数的定义、特征及常见类型，衔接实数的分类、与数轴的一一对应关系，以及实数的性质、混合运算等内容，构建从概念理解到运算应用的完整学习支架。 资料通过“典例+变式”分层设计题型，涵盖无理数识别、估算、整数部分计算及实数与数轴对应等，培养学生抽象能力与几何直观，程序设计和规律题则提升推理意识与应用意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

第03讲 实数 考点1：无理数 考点2：实数 重点： （1）无理数、实数的定义与分类，掌握常见无理数类型。 （2） 实数与数轴上的点一一对应，实数的相反数、绝对值、倒数性质。 （3）有理数的运算法则与运算律在实数范围内适用，掌握实数混合运算。 （4）无理数的估算与实数大小比较 难点★： （1）无理数概念理解，易混淆无限循环小数与无理数。 （2）实数与数轴的对应关系，数形结合应用不熟练。 （3）含根式、绝对值的实数混合运算，运算顺序与符号易出错。 （4）实数非负性应用，受有理数知识思维定式影响。 知识点1：无理数 定义：无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【题型1 无理数】 【典例1】给出下列各数：，，，0，，，0.3131131113…，其中无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】在这四个数中，属于无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【变式2】在下列选项中，无理数的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 无理数的大小估算】 【典例2】下列整数与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，则下列估算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】估算的值在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【变式3】已知，为两个连续的正整数，且，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型3 无理数整数部分的有关计算】 【典例3】的整数部分为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】已知，其中m是整数，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】在和之间的整数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】若的整数部分用表示，小数部分用表示，则的值为（  ） A． B． C． D． 知识点2：实数 定义：有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【题型4 实数的性质】 【典例4】 ． 【变式1】的相反数为 ； 【变式2】的绝对值的相反数是 ． 【变式3】的相反数是 ，绝对值是 ． 【题型5 实数与数轴】 【典例5】已知实数、在数轴上的位置如图所示，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【变式1】如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 【变式2】如图，直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点．若点对应的数是，则点对应的数是 ．（用含的式子表示） 【变式3】如图，数轴上表示1、的对应点分别为点、，点关于点对称后的点为，则点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【题型6 实数的大小比较】 【典例6】下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【变式1】在数轴上表示下列各数的点中，距离原点最远的点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式2】下列四个数中，比大的数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】比较大小： （用“>”、“=”、“<”连接）． 【题型7 实数的混合运算】 【典例7】计算：． 【变式1】计算： (1)． (2)． 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】计算： (1) (2)． 【题型8 程序设计与实数运算】 【典例8】如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ． 【变式1】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是 ． 【变式2】有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是 ． 【变式3】小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是 ．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ． 【题型9 与实数运算相关的规律题】 【典例9】观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ． 【变式1】将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 【变式2】有一列数按如下顺序排列：，，，，…，则第10个数是 ． 【变式3】将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 1．下列实数中，最小的数是（    ） A． B．2 C． D．5 2．下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在数轴上，实数对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4.公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 5．比较大小： （选填“”、“”或“”）． 6．无理数的整数部分是 ． 7．现对实数，定义一种运算：．则的值为 ． 8．计算： (1)； (2)． 9．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 实数 考点1：无理数 考点2：实数 重点： （1）无理数、实数的定义与分类，掌握常见无理数类型。 （2） 实数与数轴上的点一一对应，实数的相反数、绝对值、倒数性质。 （3）有理数的运算法则与运算律在实数范围内适用，掌握实数混合运算。 （4）无理数的估算与实数大小比较 难点★： （1）无理数概念理解，易混淆无限循环小数与无理数。 （2）实数与数轴的对应关系，数形结合应用不熟练。 （3）含根式、绝对值的实数混合运算，运算顺序与符号易出错。 （4）实数非负性应用，受有理数知识思维定式影响。 知识点1：无理数 定义：无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【题型1 无理数】 【典例1】给出下列各数：，，，0，，，0.3131131113…，其中无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求算术平方根， 首先计算算术平方根，然后根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数． 【详解】解：，0，是有理数， ∴无理数有，，，，共4个． 故选：C． 【变式1】在这四个数中，属于无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是无理数的识别，无理数是无限不循环小数，根据定义判断各数即可． 【详解】解：∵是有限小数，可化为分数，是有理数； ∵ 是整数，是有理数； ∵ 0是整数，是有理数； ∵ 是非完全平方数的算术平方根，是无理数； ∴ 属于无理数的是， 故选：D． 【变式2】在下列选项中，无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义．熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数），分别判断各选项：A为分数，是有理数；B和D为整数，是有理数；C为π，是无理数． 【详解】∵无理数是无限不循环小数，且不能表示为分数形式． A. 是分数，属于有理数； B. ，是整数，属于有理数； C. 是无限不循环小数，属于无理数； D. ，是整数，属于有理数． 故选C． 【题型2 无理数的大小估算】 【典例2】下列整数与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，通过比较与相邻整数的差，判断其最接近的整数. 【详解】解：， ， ， 又 ，，， 与更接近， 与的值最接近的是. 故选：C． 【变式1】若，则下列估算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先整理，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】估算的值在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，通过比较相邻平方数估算的范围，再减去3得到结果区间，正确估算出是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】已知，为两个连续的正整数，且，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得出，再结合，为两个连续的正整数，且，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为两个连续的正整数，且， ∴， ∴， 故选：C 【题型3 无理数整数部分的有关计算】 【典例3】的整数部分为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了估算，通过估算的范围，确定 的整数部分. 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ； ∴ ，因此整数部分为6， 故选：D. 【变式1】已知，其中m是整数，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算及整数部分的确定．通过比较平方数，确定的整数部分m． 【详解】解：∵，，且， ∴， 因此，． 故选：B． 【变式2】在和之间的整数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的大小估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 首先确定和的近似值，再找出两者之间的所有整数即可． 【详解】解：，， 比大的最小整数是，比小的最大整数是， 因此，区间内的整数为，共4个， 故选：C． 【变式3】若的整数部分用表示，小数部分用表示，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，以及实数的运算．熟练掌握无理数估算的方法：找到被开方数左右两边相邻的能开方的两个数，是解题的关键． 先根据无理数的估算，确定整数部分，再用原数减去整数部分，求出小数部分，再进行计算即可； 【详解】解：的整数部分用表示， 则， 小数部分用表示， 则， ， 故选：A 知识点2：实数 定义：有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【题型4 实数的性质】 【典例4】 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，实数的性质．根据负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】的相反数为 ； 【答案】 【分析】本题考查了实数的性质，根据负数的绝对值等于它的相反数和只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答即可． 【详解】解：∵ ∴的相反数为， 故答案为：． 【变式2】的绝对值的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的性质，绝对值和相反数的定义，直接利用绝对值的性质以及相反数的定义得出答案． 【详解】解：， 的相反数为， ∴的绝对值的相反数是． 故答案为：． 【变式3】的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了相反数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据正数的绝对值是它本身，可得一个正数的绝对值． 【详解】解：的相反数是； 的绝对值是． 故答案为：，． 【题型5 实数与数轴】 【典例5】已知实数、在数轴上的位置如图所示，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查数轴的性质．熟悉实数在数轴上的位置与数的正负、绝对值的关系，以及有理数的加法法则，异号两数相加的符号判定，是解题的关键． 从数轴判断和的正负，以及绝对值的取值范围，利用有理数加法法则判断和的符号： 异号两数相加，和的符号由绝对值较大的数的符号决定，继而得出答案． 【详解】解：∵位于与之间，故是负数，且， 位于与之间，故是正数，且， ∵， ∴的符号与（正数）一致，即． 故答案为：． 【变式1】如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是能估算无理数的大小． 分别估算三个数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，， 被墨迹覆盖的数是， 故答案为：． 【变式2】如图，直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点．若点对应的数是，则点对应的数是 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是解题的关键；因此此题可根据题意进行求解即可． 【详解】解：由题意可知点对应的数是； 故答案为． 【变式3】如图，数轴上表示1、的对应点分别为点、，点关于点对称后的点为，则点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是解题的关键；由题意易得点A、B之间的距离为，然后根据对称可知点A、C之间的距离也为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：点A、B之间的距离为， 由点关于点对称后的点为，可知：点A、C之间的距离也为， ∴点所表示的数是； 故选D． 【题型6 实数的大小比较】 【典例6】下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题关键是掌握正数大于0，0大于负数．本题通过比较即可求解． 【详解】解：∵，且 ， ∴ 是最小的数， 故选：A． 【变式1】在数轴上表示下列各数的点中，距离原点最远的点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，比较实数的大小关系，求出各点到原点的距离，再比较大小即可． 【详解】解：到原点的距离为3，0到原点的距离为0，1到原点的距离为1，到原点的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴距离原点最远的点表示的数是． 故选A． 【变式2】下列四个数中，比大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键；比较负数的大小，绝对值越小，数越大，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴比大的数是； 故选A． 【变式3】比较大小： （用“>”、“=”、“<”连接）． 【答案】< 【分析】本题考查了实数的估算，实数的大小比较，通过估算得出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ 故． 故答案为：<． 【题型7 实数的混合运算】 【典例7】计算：． 【答案】11 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算乘方，算术平方根，绝对值，再合并即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算： (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】此题考查实数的运算、含乘方的有理数混合运算、算术平方根、立方根和绝对值，熟练掌握运算定理是解此题的关键． （1）先算乘方，再计算乘除法，最后算加减法即可； （2）先算算术平方根、立方根和绝对值，再按加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查实数的运算，解题关键在于掌握运算法则． （1）利用平方根，立方根进行化简，计算即可解答； （2）利用平方根，立方根、绝对值进行化简，计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）先进行开立方、开算术平方根、计算绝对值，然后进行加减运算； （2）先进行乘方、开算术平方根，计算绝对值，再进行除法运算，最后进行加减法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型8 程序设计与实数运算】 【典例8】如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，有理数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是无理数，可以输出， ∴， 故答案为：． 【变式1】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：若开始输入的的值是27， 由题可得：27的立方根为3，是有理数， 3的算术平方根是，是无理数，输出， 则输出的的值为． 故答案为：． 【变式2】有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是6，6不是无理数， 6的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 【变式3】小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是 ．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ． 【答案】 或或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）根据最后都是无理数输出，可得的值为或或负数． 【详解】（1）当值为时，取算术平方根得，取立方根得，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为； （2）因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以取或时该程序无法输出值， 因为负数没有算术平方根，所以取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 【题型9 与实数运算相关的规律题】 【典例9】观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字类规律探究根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解．通过观察给定等式，发现每个等式均符合相同规律，即根式部分的结构和简化形式具有一致性，从而归纳出用正整数表示的一般等式． 【详解】解：根据等式的规律可得：（为正整数） 故答案为：（为正整数）． 【变式1】将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 【答案】 【分析】先确定每行使用的自然数范围，再根据行数的奇偶性决定该行是递增还是递减排列． 【详解】①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数， ， 所代表的数为， 故答案为：； ②，为偶数，， ， ，为奇数，， ， 它们的平方和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，用有序数对表示位置，求一个数的算术平方根解题关键是根据“蛇形”排列规则推导出第m排第n个数所对应的自然数序号． 【变式2】有一列数按如下顺序排列：，，，，…，则第10个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，数字的变化类，掌握算术平方根的定义以及数列的变化规律是正确解答的关键． 通过观察数列的符号、分子和分母的变化规律，推导出第10项的表达式，符号由 决定． 【详解】解： 数列可以写为： ，，，，…， 由此可得： 数列的符号为 ，第10项为偶数，故符号为正． 分子中的数字规律：，故第10项，分子为． 分母中的数字规律：，故第10项，分母为． 因此第10个数为． 故答案为：． 【变式3】将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律题，根据题意找到数据的规律是解体的关键． 根据题意可得每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得到所在的位置． 【详解】， 解：由题意可得，每五个数一行，， ，， 故所在的位置是第七行第二个数，位置记为， 故答案为：． 1．下列实数中，最小的数是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用实数大小的比较方法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：， 最小的数是：． 故选：C． 2．下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数，不能表示为两个整数之比），判断各选项． 本题考查了无理数，算术平方根，有理数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵ A. ，为整数，是有理数，不符合题意； B. 是分数，分子和分母均为整数，是有理数，不符合题意； C. 是无限不循环小数，不能表示为分数，是无理数，符合题意； D. ，有理数，不符合题意； 故选：C． 3．如图，在数轴上，实数对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及数轴上点的位置与实数的对应关系．先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解答． 【详解】解：， ， 即， 在数轴上实数对应的点可能是点， 故选：． 4.公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键；通过估算的范围，利用不等式性质加1得到的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在2和3之间， 故选：C． 5．比较大小： （选填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，根据负数比较大小的规则，绝对值大的负数反而小进行比较求解即可． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 6．无理数的整数部分是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较平方数确定 的取值范围，进而得到整数部分即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 因此 的整数部分是 4， 故答案为：4． 7．现对实数，定义一种运算：．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算的理解与应用，算术平方根、立方根的计算，掌握新定义的运算规则是解题关键． 先计算算术平方根和立方根，再根据新定义运算规则进行计算． 【详解】解：，， 则． 故答案为：． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数混合运算的法则是解题关键． （1）先计算算术平方根，乘方，立方根，再计算乘法，最后加减即可； （2）先利用立方根，算术平方根的定义及绝对值的性质化简，再加减得出答案；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，估算无理数的大小等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据立方根、算术平方根、估算无理数的大小得出，，，即可得出答案； （2）将a，b，c的值代入中计算，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 学科网（北京）股份有限公司 $