第02讲 一元一次不等式（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）
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摘要：
本讲义聚焦一元一次不等式核心知识点，系统梳理概念（含定义三要素）、解法步骤（去分母、去括号等五步）、解集数轴表示及实际应用，形成从基础概念到解法技巧再到问题解决的递进式学习支架。
资料通过分层题型设计（典例+变式）强化重点，针对去分母变号等易错点突出难点，结合购买徽章等生活情境题培养模型意识。课中助力教师突破教学关键，课后学生可借变式题巩固推理能力，提升用数学语言解决实际问题的应用意识。
内容正文：
第02讲 一元一次不等式
考点1：一元一次不等式的概念
考点2：解一元一次不等式
考点3：一元一次不等式的应用
重点：
（1）一元一次不等式的定义与标准形式识别。
（2）一元一次不等式的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
（3）在数轴上正确表示不等式的解集。
（4）列一元一次不等式解决简单实际问题
难点：
（1）去分母或系数化为 1 时，两边乘除负数要改变不等号方向（最易丢分点）。
（2）去分母时，每一项都要乘公分母，不要漏乘不含分母的项。
（3）准确理解 “至少、至多、不超过、不小于” 等关键词并转化为不等号。
（4）结合数轴求整数解、非负整数解等特殊解。
（5）在实际问题中对解集进行合理性检验
知识点1：一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫作一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式。
注意：一元一次不等式满足的条件：
①左右两边都是整式（单项式或多项式）；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1
【题型1：一元一次不等式的定义】
【典例1】下列式子中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的定义判断选项即可．
【详解】解：A选项中是等式，不是不等式，不符合要求；
B选项中 里，未知数的次数为2，不是1，不符合要求；
C选项中含有和两个未知数，不符合要求；
D选项中是不等式，只含一个未知数，的次数为1，不等号两边均为整式，符合一元一次不等式的定义．
【变式1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1，不等号两边都是整式．根据定义逐一判断选项即可．
【详解】解：A、只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意；
B、是分式，不是整式，不符合定义，故该选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意；
D、未知数的次数为2，不符合定义，故该选项不符合题意．
【变式2】若是关于的一元一次不等式，则值为________．
【答案】0
【分析】根据一元一次不等式的定义可得，的次数等于，且的系数不为，据此列等式和不等式求解即可．
【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，解得：，
验证：当时，，即符合条件．
【变式3】不等式，当________时，是一元一次不等式．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次不等式的概念．根据一元一次不等式的定义列式求解即可．
【详解】解：∵不等式一元一次不等式，
∴，
解得，
故答案为：2．
知识点2：解一元一次不等式
解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。
（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。
（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。
（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。
（4）合并同类项。
（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。
（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左
【题型2：求一元一次不等式的解集】
【典例2】解不等式，并将解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴见解析.
(2)，数轴见解析.
【详解】（1）解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
数轴如下：
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
数轴如下：
【变式1】解下列不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据“去括号、移项、合并同类项、把系数化为”的步骤求解即可；
（2）根据“去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为”的步骤求解即可
【详解】（1）解：去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
把系数化为，得：；
（2）解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
把系数化为，得：．
【变式2】解不等式，并把解在数轴上表示出来：．
【答案】，数轴见解析
【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1解不等式，然后在数轴上表示解集．重点注意系数化为1的过程中，系数若为负号，则不等号方向需要改变．
【详解】解：
，
解得，
∴原不等式的解集为，
数轴表示为：
【变式3】解下列不等式，并把解集表示在数轴上．
(1)．
(2)．
【答案】(1)，表示见解析
(2)，表示见解析
【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键；
（1）先去分母再进行移项、合并同类项最后系数化为1即可解出不等式的解集，最后在数轴上表示；
（2）先去分母、去括号再进行移项、合并同类项最后系数化为1即可解出不等式的解集，最后在数轴上表示．
【详解】（1）解：去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
解集表示在数轴上如图所示．
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
解集表示在数轴上如图所示．
【题型3：求一元一次不等式的整数解】
【典例3】已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值.
【详解】解：解不等式，
移项得 ，
∵不等式的最小整数解为10，
∴，
不等式三边同时加3，得，
三边同时除以3，得，
∵m为整数，
∴.
【变式1】不等式的非负整数解的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】先解一元一次不等式得到的取值范围，再找出范围内的非负整数，统计个数即可得到答案．
【详解】解：
，
∴满足的非负整数为，共个．
【变式2】对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如： ，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解新运算法则是解题的关键．
根据新运算法则可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
该不等式的正整数解为1，2共2个，
故选：B．
【变式3】已知关于x的不等式的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，先解不等式得到，再根据不等式的正整数解为1，2，3即可得到答案．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
∵关于x的不等式的正整数解为1，2，3，
∴，
故选：A．
【题型4：求一元一次不等式解的最值】
【典例4】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解．
【详解】解：
①+②得，
∴
∵
∴
解得：
∴的最小整数值为，
故选：A．
【变式1】若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可．
【详解】解：解不等式得，
∵不等式的解都是不等式的解，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键．
【变式2】已知实数，，满足，，若，则的最大值为______
【答案】7
【分析】由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故求的最大值即求的最大值，
由，得，
代入，得，
即 ，
解得
∴的最大值为，
此时，
故最大值为．
【变式3】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型5：列一元一次不等式】
【典例5】“的3倍与2的和是负数”用不等式表示为_____．
【答案】
【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合负数的定义列出不等式即可．
【详解】解：的倍是，的倍与的和为，
负数是小于的数，
因此用不等式表示为．
【变式1】的与的差不小于3，用不等式表示为______．
【答案】
【分析】先根据题意写出对应代数式，再根据“不小于”的含义确定不等关系，即可列出不等式．
【详解】解：的表示为，的与的差为：，“不小于”即大于或等于，
因此列不等式得：．
【变式2】一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式______．
【答案】
【分析】设每次搬运x箱货物，根据总重量不超过电梯额定载重量列出不等式即可．
【详解】解：设每次搬运x箱货物，由题意得，
．
【变式3】公共汽车上有个座位，车上已有人坐在座位上，在某站又上来人，有一部分人无座位，则可列不等式为______．
【答案】
【分析】本题考查了列不等式．根据题意，空座位数为，上来人后，若有人无座位，则大于空座位数，进而列出不等式．
【详解】解：公共汽车上座位总数为，已有人占用座位，又上来人，则空座位数为，若有一部分人无座位，则表明上来的人数大于空座位数，即．
故答案为：．
知识点03 用一元一次不等式解实际应用
解有关应用题步骤如下：
（1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”“不小于”等；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出不等关系；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列不等式的解集；
（6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。
【题型6：用一元一次不等式解决实际应用】
【典例6】2026马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，推出了四款吉祥物骏马徽章，分别是“骐骐” “骥骥” “驰驰” “骋骋”． 某校组织师生观看春晚后，计划购买 “骐骐” “骥骥” 这两款徽章共 40 枚作为活动纪念品． 已知 “骐骐” 徽章每枚 22 元，“骥骥” 徽章每枚 16 元．
(1)若该校购买这两款徽章共花费 760 元，求购买 “骐骐” 徽章的数量；
(2)如果学校购买 “骐骐” 徽章的数量不少于 “骥骥” 徽章数量的 ，求至少购买 “骐骐” 徽章多少枚？
【答案】(1)20枚
(2)14枚
【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据已知条件列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚，根据题意列出不等式，据此求解即可．
【详解】（1）解：设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚，
由题意得：，
解得：，
即购买 “骐骐” 徽章的数量为20枚；
（2）解：设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚，
由题意得：，
解得：，
则至少购买 “骐骐” 徽章14枚．
【变式1】露营日益成为人们亲近自然、享受惬意生活的新选择，很多人用帐篷搭建起自己的“诗和远方”，某单位打算组织员工去露营，根据需要，负责人准备租用、两种型号的帐篷共30顶，若租用型号帐篷的数量不少于型号帐篷数量的2倍，则至少租用多少顶型号帐篷？
【答案】至少租用20顶型帐篷．
【分析】先设租用型帐篷顶，则型帐篷顶，根据租用型帐篷的顶数 型帐篷的顶数列出不等式，求出解集即可．
【详解】解：设租用型帐篷顶，则型帐篷顶，
∵租用型号帐篷的数量不少于型号帐篷数量的2倍，
∴，
，
为正整数，
的最小值为20．
答：至少租用20顶型帐篷．
【变式2】近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费280元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费160元．
(1)求A，B两款机器人玩具的单价；
(2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折．若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？
【答案】(1)A款单价为120元，B款单价为80元．
(2)最多购买8个A款机器人玩具
【分析】（1）设A款机器人玩具的单价为元，B款机器人玩具的单价为元，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可；
（2）设购买A款机器人玩具个，根据题意列出不等式，据此求解即可．
【详解】（1）解：设A款机器人玩具的单价为元，B款机器人玩具的单价为元，
根据题意，得方程组：，
解得，
答：所以A款单价为120元，B款单价为80元；
（2）解：设购买A款机器人玩具个，
打折后单价：A款元；B款元；
根据题意得，
解得，
答：最多购买8个A款机器人玩具．
【变式3】2026马年央视春晚中，机器人展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价．
(2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1100万元．最多能买A型机器人多少台？
【答案】(1)型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为万元
(2)最多能买型机器人台
【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据题意列出方程组即可得到答案；
（2）设能买型机器人台，则能买型机器人台，根据题意列出不等式，即可得到答案．
【详解】（1）解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，
由题意得，，
解得，
答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为万元；
（2）解：设能买型机器人台，则能买型机器人台，
由题意得，，
解得，，
答：最多能买型机器人台．
1．“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列不等式，先根据题意找出数量关系，再用不等式表示出来，关键在于理解“非负数”的含义，即大于等于0，然后根据“x与3的差的2倍”这一描述列出不等式．
【详解】解：x与3的差可表示为：，
x与3的差的2倍可表示为：，
∵式子是非负数，
∴，
故选：C．
2．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，先解出不等式，再在数轴上表示解集即可．
【详解】解：解不等式，
得：，
把不等式的解集在数轴上表示为：
故选：B．
3．关于的两个不等式合成一个不等式组，其中两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了在数轴上的表示不等式的解集，解题关键是掌握大于或大于等于向右边，小于或小于等于向左边，有等号的用实心点表示，不含等号的用空心点表示，公共部分为解集，无公共部分表示无解．根据实心圆圈向右表示大于等于，空心圆圈向左表示小于，结合数轴可得出答案．
【详解】解：由题意可知，该不等式组的解集为，
故选：C．
4．某同学在解不等式的过程中，步骤如下：
①去分母，得；
②去括号，得；
③移项，得；
④系数化为1，得．
其中错误的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】本题考查解一元一次不等式，涉及一元一次不等式的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤是解决问题的关键．
【详解】解：，
去分母得，①正确；
去括号得，②正确；
移项得，③正确；
合并同类项得，
系数化为1得，④错误；
故选：D．
5．某校举办“校园安全教育”知识竞赛，共20道题，评分规则为：答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．若参赛学生小明想要在这次竞赛中得分不低于95分，则他至少要答对的题数是（ ）
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
【答案】B
【分析】设小明答对了道题，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错或不答题目数，结合得分不低于95分，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【详解】解：设小明答对了道题，则答错或不答道题，
根据题意得：，
解得：，
他至少要答对的题数是13．
6．某树在栽种时的树围为，在生长期内平均每年增加约，以为标准线，经过年后，如果这棵树的树围______，可列出不等式，则横线处应填（ ）．
A．超过标准线 B．低于标准线 C．不超过标准线 D．不低于标准线
【答案】D
【分析】本题考查列不等式，需根据“≥”的含义结合标准线判断横线处的描述．
【详解】解：∵“≥”在实际情境中表示“不低于”（即大于或等于），
又∵不等式为，其中是标准线，
∴横线处应填“不低于标准线”，
∴故选：．
7．写出不等式的一个负整数解：________．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】先求解不等式得到解集，再从中找出符合要求的负整数解即可．
【详解】解：，
，
不等式的负整数解为，，．
8．用不等式表示“与5的差不小于的3倍”为_____．
【答案】
【分析】根据题意将文字关系转化为不等式即可.
【详解】解：由题意可得，与的差为，“不小于”表示大于或等于，的倍为，因此可得不等式．
9．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如：，，，，若，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：，
．
10．十一假期小滨一家自驾车从西安到离家约的重庆游玩，出发前将新能源汽车充满电．下表记录了新能源汽车行驶的路程与剩余电量之间的部分数据：
轿车行驶的路程
0
50
100
150
200
剩余电量
50
46
42
38
34
若该新能源汽车充满电为，假设该汽车正常行驶时每千米耗电量相同，电池至少要有及以上电量才能保证汽车正常行驶，则小滨家的汽车至多开______公里就必须去充电．
【答案】525
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．先求出该汽车正常行驶时每千米耗电量，再根据电池至少要有及以上电量才能保证汽车正常行驶建立一元一次不等式，解不等式即可得．
【详解】解：由表格可知，该汽车正常行驶时每千米耗电量为，
由题意得：，
解得，
所以小滨家的汽车至多开，即525公里就必须去充电．
故答案为：525．
11．解不等式：，并在数轴上表示出其解集．
【答案】，数轴见解析
【详解】解：
解得
∴原不等式的解集为，
数轴表示为：
12．某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（型）和基础平板（型）．已知型平板的单价比型平板贵元．若采购台型平板比采购台型平板多花费元．
(1)求型平板和型平板的单价；
(2)若集训队共需配备台平板电脑，且总采购预算不超过元，则最多能采购型平板多少台？
【答案】(1)型平板单价为元，型平板单价为元
(2)最多能采购型平板台
【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到两种平板的单价；
（2）根据总采购预算的限制列出一元一次不等式，结合平板电脑台数为正整数，即可求得最多采购型平板的数量．
【详解】（1）解：设型平板单价为元，型平板单价为元．
根据题意得
解得
答：A型平板单价为1600元，B型平板单价为1000元．
（2）解：设能采购型平板台，则采购型平板 台．
根据题意得
整理得
解得
因为为非负整数，所以的最大值为36．
答：最多能采购型平板台．
1
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第02讲 一元一次不等式
考点1：一元一次不等式的概念
考点2：解一元一次不等式
考点3：一元一次不等式的应用
重点：
（1）一元一次不等式的定义与标准形式识别。
（2）一元一次不等式的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
（3）在数轴上正确表示不等式的解集。
（4）列一元一次不等式解决简单实际问题
难点：
（1）去分母或系数化为 1 时，两边乘除负数要改变不等号方向（最易丢分点）。
（2）去分母时，每一项都要乘公分母，不要漏乘不含分母的项。
（3）准确理解 “至少、至多、不超过、不小于” 等关键词并转化为不等号。
（4）结合数轴求整数解、非负整数解等特殊解。
（5）在实际问题中对解集进行合理性检验
知识点1：一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫作一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式。
注意：一元一次不等式满足的条件：
①左右两边都是整式（单项式或多项式）；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1
【题型1：一元一次不等式的定义】
【典例1】下列式子中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若是关于的一元一次不等式，则值为________．
【变式3】不等式，当________时，是一元一次不等式．
知识点2：解一元一次不等式
解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。
（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。
（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。
（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。
（4）合并同类项。
（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。
（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左
【题型2：求一元一次不等式的解集】
【典例2】解不等式，并将解集在数轴上表示出来．
(1)； (2)．
【变式1】解下列不等式：
(1)； (2)．
【变式2】解不等式，并把解在数轴上表示出来：．
【变式3】解下列不等式，并把解集表示在数轴上．
(1)． (2)．
【题型3：求一元一次不等式的整数解】
【典例3】已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1】不等式的非负整数解的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式2】对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如： ，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】已知关于x的不等式的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型4：求一元一次不等式解的最值】
【典例4】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式1】若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】已知实数，，满足，，若，则的最大值为______
【变式3】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________．
【题型5：列一元一次不等式】
【典例5】“的3倍与2的和是负数”用不等式表示为_____．
【变式1】的与的差不小于3，用不等式表示为______．
【变式2】一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式______．
【变式3】公共汽车上有个座位，车上已有人坐在座位上，在某站又上来人，有一部分人无座位，则可列不等式为______．
知识点03 用一元一次不等式解实际应用
解有关应用题步骤如下：
（1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”“不小于”等；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出不等关系；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列不等式的解集；
（6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。
【题型6：用一元一次不等式解决实际应用】
【典例6】2026马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，推出了四款吉祥物骏马徽章，分别是“骐骐” “骥骥” “驰驰” “骋骋”． 某校组织师生观看春晚后，计划购买 “骐骐” “骥骥” 这两款徽章共 40 枚作为活动纪念品． 已知 “骐骐” 徽章每枚 22 元，“骥骥” 徽章每枚 16 元．
(1)若该校购买这两款徽章共花费 760 元，求购买 “骐骐” 徽章的数量；
(2)如果学校购买 “骐骐” 徽章的数量不少于 “骥骥” 徽章数量的 ，求至少购买 “骐骐” 徽章多少枚？
【变式1】露营日益成为人们亲近自然、享受惬意生活的新选择，很多人用帐篷搭建起自己的“诗和远方”，某单位打算组织员工去露营，根据需要，负责人准备租用、两种型号的帐篷共30顶，若租用型号帐篷的数量不少于型号帐篷数量的2倍，则至少租用多少顶型号帐篷？
【变式2】近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费280元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费160元．
(1)求A，B两款机器人玩具的单价；
(2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折．若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？
【变式3】2026马年央视春晚中，机器人展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价．
(2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1100万元．最多能买A型机器人多少台？
1．“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．关于的两个不等式合成一个不等式组，其中两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．某同学在解不等式的过程中，步骤如下：
①去分母，得；
②去括号，得；
③移项，得；
④系数化为1，得．
其中错误的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．某校举办“校园安全教育”知识竞赛，共20道题，评分规则为：答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．若参赛学生小明想要在这次竞赛中得分不低于95分，则他至少要答对的题数是（ ）
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
6．某树在栽种时的树围为，在生长期内平均每年增加约，以为标准线，经过年后，如果这棵树的树围______，可列出不等式，则横线处应填（ ）．
A．超过标准线 B．低于标准线 C．不超过标准线 D．不低于标准线
7．写出不等式的一个负整数解：________．
8．用不等式表示“与5的差不小于的3倍”为_____．
9．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如：，，，，若，则的取值范围是______．
10．十一假期小滨一家自驾车从西安到离家约的重庆游玩，出发前将新能源汽车充满电．下表记录了新能源汽车行驶的路程与剩余电量之间的部分数据：
轿车行驶的路程
0
50
100
150
200
剩余电量
50
46
42
38
34
若该新能源汽车充满电为，假设该汽车正常行驶时每千米耗电量相同，电池至少要有及以上电量才能保证汽车正常行驶，则小滨家的汽车至多开______公里就必须去充电．
11．解不等式：，并在数轴上表示出其解集．
12．某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（型）和基础平板（型）．已知型平板的单价比型平板贵元．若采购台型平板比采购台型平板多花费元．
(1)求型平板和型平板的单价；
(2)若集训队共需配备台平板电脑，且总采购预算不超过元，则最多能采购型平板多少台？
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