第01讲 不等式及其解集（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

本讲义聚焦初中数学“不等式及其解集”核心内容，系统梳理不等式的定义（含5种不等号）、解集（及数轴表示方法）、基本性质（3条性质及易错点），构建从概念理解到表示方法再到性质应用的学习支架。 资料通过“典例+变式”题型设计，结合车速范围、实心球成绩等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，对比等式性质强化性质3推理，发展数学思维，数轴表示解集规范数学语言。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习查漏补缺。

第01讲 不等式及其解集 考点1：不等式的定义 考点2：不等式的解集 考点3：不等式的基本性质 重点： （1）掌握不等式的概念，会用不等式表示数量关系。 （2）理解并熟练运用不等式的三条基本性质。 （3）会用不等式性质对不等式进行简单变形。 难点： （1）不等式性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变，极易出错。 （2）正确区分不等式性质与等式性质的异同，不混淆。 （3）含字母系数时，判断乘除的数是正还是负，从而确定是否变号。 （4）运用不等式性质进行逻辑推理和简单证明 知识点1：不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫作不等式，例如： 等都是不等式。 （2）常见的不等号有5种：“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”。 【题型1：不等式的定义】 【典例1】式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】“大于的倍”用不等式表示为：__________． 知识点2：不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫作解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤4在数轴上表示为 【题型2：不等式的解集】 【典例2】假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为千米/时，则的取值范围为______． 【变式1】下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【变式3】如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（    ） A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【题型3：在数轴上表示不等式的解集】 【典例3】某不等式的解集是，其在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知天平右盘中每个砝码的质量均为，则物体的质量（单位：）的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点3：不等式的基本性质 基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变。 如果，那么 如果，那么 基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点： ①不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 ②在计算的时候符号方向容易忘记改变。 【题型4：不等式的性质】 【典例4】下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】用不等号填空：若，且，则__________． 【变式3】若的解集为，则的取值范围是________． 1．下列各式中，属于不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．若是不等式，则符号“□”不能是（   ） A． B． C． D． 4．从甲图到乙图体现的不等关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则和大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．某双向六车道高速公路，分车道、分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速的范围是（    ） A． B． C． D． 8．如果不等式的解集为，则必须满足（    ） A． B． C． D． 9．如果，那么______．（填“”、“”或“”） 10．关于x的一元一次不等式的解集是．写出一个满足条件的m的值______________ ． 11．图的框图表示解不等式的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据是______． 12．“x的3倍与5的差不小于﹣4”，用不等式表示为__． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 不等式及其解集 考点1：不等式的定义 考点2：不等式的解集 考点3：不等式的基本性质 重点： （1）掌握不等式的概念，会用不等式表示数量关系。 （2）理解并熟练运用不等式的三条基本性质。 （3）会用不等式性质对不等式进行简单变形。 难点： （1）不等式性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变，极易出错。 （2）正确区分不等式性质与等式性质的异同，不混淆。 （3）含字母系数时，判断乘除的数是正还是负，从而确定是否变号。 （4）运用不等式性质进行逻辑推理和简单证明 知识点1：不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫作不等式，例如： 等都是不等式。 （2）常见的不等号有5种：“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”。 【题型1：不等式的定义】 【典例1】式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据不等式的定义：用不等号（、、、、）连接的式子叫做不等式，逐一判断各个式子，进而统计符合条件的式子个数． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用不等号连接，是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤用不等号连接，是不等式； 符合不等式定义的式子共有个． 【变式1】下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是代数式，该选项不合题意； 、是等式，该选项不合题意； 、是不等式，该选项符合题意； 、是代数式，该选项不合题意； 故选：． 【变式2】下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式定义，熟记不等式定义是解决问题的关键．根据不等式的定义，含有不等号（如、、、、）的式子是不等式，否则不是． 【详解】解：∵不等式需用不等号连接，而D选项“”使用等号，是等式，∴D不是不等式． 故选：D． 【变式3】“大于的倍”用不等式表示为：__________． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式．根据“a大于b的2倍”进行列出不等式，即可作答． 【详解】解：依题意，“大于的倍”用不等式表示为：， 故答案为：． 知识点2：不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫作解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤4在数轴上表示为 【题型2：不等式的解集】 【典例2】假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为千米/时，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意确定车辆行驶的车道，观察对应的交通标志牌，读出最高限速和最低限速，即可确定车速的取值范围． 【详解】解：由题意可知，爸爸开小型车走中间车道，观察图片可知，中间车道为“小型车道”，其对应的限速标志显示：最高限速为千米/时，最低限速为千米/时， ∴车速的取值范围是． 【变式1】下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的的解集进行判断，即可作答． 【详解】解：A、不包括，故该选项符合题意； B、包括，故该选项不符合题意； C、包括，故该选项不符合题意； D、包括，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 【变式3】如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（    ） A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【答案】C 【分析】根据，判定区域即可． 【详解】因为， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式解集的意义是解题的关键． 【题型3：在数轴上表示不等式的解集】 【典例3】某不等式的解集是，其在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示如下： 【变式1】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“大于向右、小于向左，有等号实心、无等号空心”的规则判断即可． 【详解】解：选项：，正确； 选项：，错误； 选项：，错误； 选项：，错误． 【变式2】已知天平右盘中每个砝码的质量均为，则物体的质量（单位：）的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，先确定的质量的取值范围，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：如图所示，可知， 在数轴上表示为： 故选：D． 【变式3】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集是解题的关键． 分别表示出两不等式的解集即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示如下： ． 故选C． 知识点3：不等式的基本性质 基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变。 如果，那么 如果，那么 基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点： ①不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 ②在计算的时候符号方向容易忘记改变。 【题型4：不等式的性质】 【典例4】下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案 【详解】解：对于选项A，根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∵ ， ∴ ，A错误； 对于选项B，举反例，当 ， 时，满足 ，但 ，，，B错误； 对于选项C，若 ，当 时，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，可得 ，C错误； 对于选项D，∵ ，平方数非负，因此得 ， 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴ ，D正确 【变式1】若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将代入化简得，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小整数值为2． 【变式2】用不等号填空：若，且，则__________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，两边同时乘以或除以一个正数，不等式方向不变，两边同时乘以或除以一个负数，不等式方向改变即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3】若的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向会改变。我们需要根据解集反推出系数的符号，从而求出的取值范围． 【详解】解：已知的解集为． 根据不等式的基本性质：当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变． 由此可得，系数， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是牢记“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，并能根据解集的变化反推系数的符号． 1．下列各式中，属于不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的定义，用不等号(，，，，连接的式子叫做不等式，据此求解即可． 【详解】解：根据不等式的定义可知，四个式子中只有是不等式， 故选：D． 2．已知，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，不等式性质1：在不等式两侧同时加或减同一个数，不等号的方向不改变；不等式性质2：在不等式两侧同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式性质3：在不等式两侧同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的基本性质进行分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，选项ABD正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴ ，故C错误，符合题意； 故选：C 3．若是不等式，则符号“□”不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义判断即可．熟练掌握用符号“”或“”或“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式． 【详解】解：∵，，，都是不等式， ∴选项A，B，C都不符合题意； ∵不是不等式， ∴选项D符合题意． 故选：D． 4．从甲图到乙图体现的不等关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是正确理解图中的信息． 根据不等式的性质，选出符合题意的选项即可． 【详解】解：甲图体现的不等关系为， 乙图体现的不等关系为， ∴只有选项符合题意， 故选：． 5．已知，则和大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据，则由不等式的性质可得，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 6．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴表示数以及不等式的性质，加法与乘法法则，依次判断选项即可． 【详解】解：从题图中得出，，， 所以，，，， 故选项B、C、D错误，选项A正确， 故选：A． 7．某双向六车道高速公路，分车道、分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义．由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧两车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 8．如果不等式的解集为，则必须满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解不等式，理解并掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式两边加（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向改变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，由此即可求解． 【详解】解：，的解集为，即不等号方向改变， ∴， 解得，， 故选：B ． 9．如果，那么______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据“不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变”即可得到结果． 【详解】解：∵， 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴． 10．关于x的一元一次不等式的解集是．写出一个满足条件的m的值______________ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的性质3解答即可．解不等式要依据不等式的性质3：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵关于x的一元一次不等式的解集是． ∴， ∴满足条件的m值可以是. 故答案为：（答案不唯一）． 11．图的框图表示解不等式的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据是______． 【答案】不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变 【分析】根据不等式的基本性质3求解可得． 【详解】解：“系数化为1”这一步骤的依据是不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变， 故答案为：不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，解题的关键是严格遵循解不等式的基本步骤，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 12．“x的3倍与5的差不小于﹣4”，用不等式表示为__． 【答案】3x﹣5≥﹣4 【分析】用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不大于（不小于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 【详解】解：“x的3倍与5的差不小于﹣4”，用不等式表示为3x﹣5≥﹣4． 故答案为：3x﹣5≥﹣4． 【点睛】本题考查了用不等式号列不等式,准确理解不小于的意义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $