专题08分式与分式方程易错必刷题型专项训练(31大题型共计93道题)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题08分式与分式方程易错必刷题型专项训练 本专题汇总分式与分式方程全章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.分式无意义的条件 题型04.分式有意义的条件 题型05.分式值为0的条件 题型06.分式值正负取值范围 题型07.分式值为整数求整数解 题型08.分式变形正误判断 题型09.分式变形成立的条件 题型10.分式形状判断分式值变化 题型11.分式最高次项化为正数 题型12.分式系数化为整数 题型13.分式约分 题型14.最简分式判断 题型15.分式乘除混合运算 题型16.分式乘方运算 题型17.含乘方的分式乘除运算 题型18.分式通分 题型19.异分母分式加减法 题型20.整式与分式加减运算 题型21.分式加减混合运算 题型22.分式四则混合运算 题型23.分式化简求值 题型24.分式方程定义判断 题型25.解分式方程 题型26.分式方程解的情况求参数 题型27.分式方程无解问题 题型28.分式方程行程问题 题型29.分式方程工程问题 题型30.分式方程经济问题 题型31.分式方程和差倍分问题 易错必刷题型01.分式的判断 典题特征：给出多个式子，让区分哪个是分式、哪个是整式 易错点：把带π的常数分母当成分式；化简完是整式还错判成分式；分不清字母和常数 1．下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的定义即可判断． 【详解】解：、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是分式，符合题意． 2．有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式___________． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 依据分式定义（分母含字母的整式商式），从给定整式里，分别选含字母的整式作分母，其余整式作分子，组合出所有符合条件的分式． 【详解】解：分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时，因是常数（不含字母），组成的、不是分式，舍去． 综上，所有分式为、、、． 故答案为：（答案不唯一）． 3．下列各式：，，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，负整数指数幂，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐项判断即可，解题的关键是熟练运用分式的定义． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴ 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； 对于，是多项式，分母无字母，不是分式； 对于，可化为，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； ∴分式有个， 故选：． 易错必刷题型02.分式规律探究 典题特征：给出一串分式，找分子分母、符号、排列的规律 易错点：正负交替规律看漏；分子分母规律分开找不对；找不准第几项对应的式子 4．观察下列分式：，，，，，…，按此规律第10个式子是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式中的规律探究，观察可知，奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为，进行求解即可． 【详解】解：∵，，，，，… ∴奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为， ∴第10个式子是； 故选：D． 5．对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 【答案】4051 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到；根据已知的规定，分别计算出，，，，，的结果，总结出其规律为，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴ 6．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照上述规律，回答下列问题： (1)写出第6个等式：　　　； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示）； (3)计算：. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，实数的运算，熟练掌握运算法则得出规律是解题的关键． （1）根据所给第1到4个等式的规律，写出第6的等式； （2）根据第个等式与等式内的数字对应规律，写出第个等式； （3）依据第（2）问中的规律，应用规律计算可得出答案． 【详解】（1）解：根据规律第6个等式：． （2）解： 根据规律，猜想的第个等式： ． （3）解：原式 ． 易错必刷题型03.分式无意义的条件 典题特征：求x取何值时，分式没有意义 易错点：算完分母等于0的解，多解容易漏写；和分式有意义的条件来回记混 7．根据下面表格中的信息（※表示非零的数值），代表的分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 0 ※ ※ 无意义 ※ … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式无意义时分母为零可排除A，B，将，代入即可排除D． 【详解】解：由表格信息可知，当时，分式无意义， ∴分式的分母在时的值为， A选项分母为，时，不符合，排除A； B选项分母为，时，不符合，排除B； ∵当时，分式的值为， ∴分式的分子在时的值为，且分母不为， C选项分子为，时，分母，符合条件； D选项分子为，时，分式值不为，不符合条件． 8．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 9．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)整数的值为0，1，3 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【详解】（1）解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 易错必刷题型04.分式有意义的条件 典题特征：求字母取值范围，让分式一直有意义 易错点：解不等式范围写错；多个因式分母，只算一个就完事，漏其他限制条件 10．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围为______． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出不等式，求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由题意可得 ，二次根式被开方数为非负数，得 分式分母不为零，得 解不等式，得 解不等式，得 因此实数的取值范围为． 12．若分式有意义，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式有意义需满足被开方数非负，分式有意义则分母不为零，从而得出的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴， 解得． 易错必刷题型05.分式值为0的条件 典题特征：求x取何值，分式结果等于0 易错点：只让分子等于0，完全忘记还要分母不能为0；算出增根也直接写上 13．若分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【详解】解：∵的值为0， ∴且， 解得． 14．若分式的值为0，则x的值为_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 解题的关键在于理清分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得，， ． 15．当为何值时，下列分式的值为？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，分式为零的条件是分子为且分母不为，根据条件解答即可． (1)因为，可得且，可知当时，； (2)因为，可得且，可知当时，； (3)因为，可得且，可知当时，． 【详解】（1）解：， ， 解得：且， 当时，； （2）解：， ， 解得：且， 当时，； （3）解：， ， 解得：且， 当时，． 易错必刷题型06.分式值正负取值范围 典题特征：判断分式大于0、小于0，求字母取值 易错点：分不清同号为正、异号为负；列式子忘记带上分母不为0的限制 16．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 17．若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 18．仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负． 【分析】本题主要考查分式的值为负的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键．由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 【详解】解：依题意，得， 则有①或 ② 解不等式组①得：； 解不等式组②得：不等式组无解， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 易错必刷题型07.分式值为整数求整数解 典题特征：分式结果是整数，求符合条件的所有整数x 易错点：因数找不全、漏解多组答案；算出让分母为0的数，也一并填上去 19．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 20．若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的运算与化简，掌握分式的化简及求整数的方法是解题的关键． 【详解】解：， 当原式的值是整数时，或， 即：或或或． 又： 即． 故：或或共3个整数值． 故答案为：． 21．当整数x取何值时，分式的值是整数？ 【答案】当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数 【分析】本题考查的是分式的值，把分式化为，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∴能整除8的，又使分母不为0的可以为，，，， ∴或或或， ∴当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数． 易错必刷题型08.分式变形正误判断 典题特征：选择题，判断几个分式变形哪个对、哪个错 易错点：分子分母同时加减数，还以为分式大小不变；变形忽略不能乘除0 22．根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、当，时，，，则，故选项不符合题意； B、由分式有意义可得，则，故选项符合题意； C、分式的分子与分母同时减去，分式的值不一定不变，等式不一定成立，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 23．下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证． 【详解】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误； B、，分母为，可得，，选项约分错误； C、，分母为，可得，，选项约分正确； D、，选项约分错误． 24．下列分式的约分是否正确？请把不正确的改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正确 (2)不正确，应改为 (3)不正确，应改为 (4)正确 【分析】本题考查分式的性质，对分式进行化简． （1）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； （2）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； （3）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； （4）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； 【详解】（1）解：分式分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简正确． （2）解：分式分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简不正确，应改为． （3）解：分式分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简不正确，应改为． （4）解：分式，分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简正确． 易错必刷题型09.分式变形成立的条件 典题特征：分式前后变形一模一样，求这个变形成立的前提条件 易错点：看不出变形时乘除的整式不能等于0；漏写隐藏限制条件 25．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故选：C. 26．若成立，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式的值不变，即可得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：当时，即时， ， 故答案为：． 27．将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解．　　 【详解】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 易错必刷题型10.分式形状判断分式值变化 典题特征：分子分母同时扩大、缩小倍数，判断分式结果怎么变 易错点：混淆同时乘除、同时加减的区别；倍数变化对应结果判断错误 28．如果把分式中的同时缩小到原来的，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的4倍 【答案】B 【分析】根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：把分式中的a，b同时缩小到原来的，可得，即该分式的值缩小到原来的， 故选：B． 29．已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为 ____． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质成为解题的关键． 根据分式的基本性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：6． 30．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 (3)变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题； （3）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍； （3）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 易错必刷题型11.分式最高次项化为正数 典题特征：不改变分式大小，把最高次项负号去掉改成正 易错点：只改最高次项符号，剩下其他项符号忘记一起变；乱添负号、符号弄反 31．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 32．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 33．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的符号性质，掌握通过提取负号调整分子或分母的符号，使最高次项系数为正，同时保持分式值不变是解题的关键． （1）分母最高次项系数为负，将分母提取负号变形，同时调整分式符号，使分母最高次项系数为正； （2）先将分子、分母分别提取负号，使最高次项系数为正，再整理降幂排列． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 易错必刷题型12.分式系数化为整数 典题特征：分子分母都是分数小数系数，统一化成整数 易错点：同乘一个数的时候，漏乘单独的常数项；上下乘的数字不一样 34．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 35．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 36．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型13.分式约分 典题特征：把复杂分式化成最简分式形式 易错点：约分约掉加减的部分，只能约乘除公因式；约分不彻底，剩还能再化简的部分 37．在等式中，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质，给等式右边的分子分母同乘，即可求出被遮挡部分的式子. 【详解】解：设*部分的式子为，，且， 根据分式的基本性质， 给等式的分子分母同乘得：， ， 即*部分的式子为， 故选B. 38．定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的拆分． 根据“赋整分式”的定义，将分子化为分母的倍数与常数的和，然后进行分式拆分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 39．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 易错必刷题型14.最简分式判断 典题特征：判断给出分式，是不是已经化成最简、不能再约分 易错点：看不出隐藏公因式；还能继续约分，误判成最简分式 40．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子分母没有公因式的分式，对各选项约分后即可判断结果． 【详解】解：选项A、，分子分母含有公因式，不是最简分式； 选项B、，分子分母含有公因式，不是最简分式； 选项C、，分子为，分母为，二者没有公因式，因此是最简分式； 选项D、，分子分母含有公因式，不是最简分式． 41．在分式、、中，最简分式有______个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义．根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式，逐一判断各分式即可． 【详解】解：对于分式，分子和分母有公因式2，可约分为，故不是最简分式； 对于分式，分子和分母无公因式，故是最简分式； 对于分式，分子可因式分解为，分母可因式分解为， 故，故不是最简分式． 因此最简分式有1个． 故答案为1． 42．下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各选项分子进行因式分解，判断分子分母是否存在公因式，无公因式的即为最简分式． 【详解】解：选项：分子分母中不含有能约分的式子，是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式． 易错必刷题型15.分式乘除混合运算 典题特征：一道题里既有分式乘法、又有除法，混合计算 易错点：除法不变乘、不颠倒分子分母；做题不先约分，直接硬算大数算错 43．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除运算．首先把除法运算转化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解： ． 44．计算：________．（结果只含有正整数指数幂） 【答案】 【分析】先计算负整数指数幂，再计算分式的乘方及乘除即可． 【详解】解： ． 45．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 易错必刷题型16.分式乘方运算 典题特征：给分式整体平方、多次方计算 典题特征：负数乘方分不清正负；只给分子乘方、忘记给分母一起乘方 46．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先约分，再利用分式的乘方法则，结合积的乘方法则化简即可得到结果． 【详解】解：． 47．计算： (1)____________； (2)________________________． 【答案】(1)，， (2)，，， 【分析】运用分式乘方法则、积的乘方法则与幂的乘方法则分步计算，先将分式的分子、分母分别乘方，再通过幂的相关运算法则化简得到最终结果． 【详解】（1）解：； （2）解：． 48．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （3）先运算乘方再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 易错必刷题型17.含乘方的分式乘除运算 典题特征：先乘方、再做乘除的综合计算题 易错点：运算顺序乱，先算乘除后算乘方；乘方符号出错，连带后面全部算错 49．化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的分式乘法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算分式乘方，再计算乘法和约分即可． 【详解】解： ， 故选：B． 50．计算：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先分别计算每个部分的指数幂，注意负号的处理（偶次方为正，奇次方为负），然后合并乘除运算，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： ． 故答案为 ． 51．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． （1）先根据乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型18.分式通分 典题特征：多个异分母分式，化成同分母分式 易错点：分母扩大几倍，分子不跟着对应扩大；随便乱找公分母，不是最简公分母 52．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，分式的通分，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分式的基本性质，分母通分后乘以了，因此分子也需乘以相同的量以保持分式值不变. 【详解】∵ 原分式为 ，通分后分母变为 ， ∵， ∴分母乘以了， 根据分式的基本性质，分子也需乘以， ∴新分子为， 故选： C． 53．分式与的最简公分母是________，通分后的结果是________、________． 【答案】 【分析】此题考查了分式的通分，分式的最简公分母是通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答． 【详解】分式与的最简公分母是， ， 故答案为：；；． 54．通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 易错必刷题型19.异分母分式加减法 典题特征：分母不一样的分式，做加减计算 易错点：直接分母和分母相加减，分子和分子相加减；通分之后分子加减忘加括号 55．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 56．已知，则的值是_________． 【答案】 【分析】将已知通分可推导得到，将该式整体代入所求分式，化简后即可得到结果． 【详解】解：由，通分可得， ， ． 57．已知A，B，为整数，求证：． 【答案】见解析 【分析】证明即可． 【详解】证明： ， ∴． 易错必刷题型20.整式与分式加减运算 典题特征：一个整数整式，和一个分式做加减运算 易错点：把整式直接合并到分子上面，不通分；整式分母看错、乱乱写分母 58．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简．先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 59．若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查分式的性质及化简求值，由可得，进而得到，然后分情况讨论即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， 当时，，即，此时； 当时，； 故答案为：或． 60．在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的化简是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，可得到结果； （2）仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，仿照示例，可得到，再代入化简即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 因为是正整数， 所以的值为， 所以的值为，4，则的值为． 因为是整数， 所以的值为1． （3）因为 ． 所以， 即， 所以． 易错必刷题型21.分式加减混合运算 典题特征：多个分式连着加减，有括号需要去括号计算 易错点：去括号的时候，括号前面是负号，里面各项不变号；通分来回算错 61．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式加减混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质．由可得，故，从而． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选D． 62．已知非零实数x，y满足，则的值等于______． 【答案】6 【分析】本题考查的是分式的加减法和求值，根据分式的加减法运算法则计算并代入求值即可． 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴ ， 故答案为：6． 63．小乐同学化简的过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 (1)小乐同学化简的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程中从第 步开始出现错误． (2)请你书写正确的化简过程和结果 【答案】(1)因式分解，三 (2)过程见解析， 【分析】本题考查异分母分式的加减运算： （1）根据因式分解的定义，判断即可；第三步，去括号时，出现错误； （2）通分后进行计算即可． 【详解】（1）解：小乐同学化简的第一步是因式分解；第三步出现错误，原因是去括号时，第二项没有变号； 故答案为：因式分解，三； （2）解：原式 ． 易错必刷题型22.分式四则混合运算 典题特征：一道题加减乘除全都有，混合运算化简 易错点：运算顺序完全混乱，先算加减再算乘除；一步顺序错，整道题全错 64．化简的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，先进行同分母的减法运算，再把分子因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解： ． 故选： B． 65．计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，平方差公式因式分解，掌握将除法转化为乘法，分解因式后约分简化是解题的关键． 将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式，然后通过约分简化表达式． 【详解】原式​​ ​． 故答案为：​． 66．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式先通分再合并分子化简后约分； （2）第二题先计算括号内的异分母分式加法，再将除法转化为乘法，约分得到最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型23.分式化简求值 典题特征：先把分式化简，再代入字母数值算出最终结果 易错点：不先化简直接代入硬算，计算量大出错；代入数值不避开分母为0的数 67．若，则的值（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简，可通过已知条件用含b的式子表示a，再代入所求分式计算，或利用分式的基本性质将所求分式转化为含的形式求解． 【详解】解：方法一： ∵ ∴（） 将代入得： ． 方法二： ∵， ∴． 故选：C． 68．若，则______． 【答案】4 【分析】先利用异分母的分式加减法可得，再对原式变形后将整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴原式． 69．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式； 当时，原式． 易错必刷题型24.分式方程定义判断 典题特征：区分哪个是分式方程、哪个是普通整式方程 易错点：化简之后是整式方程，还错判成分式方程；只看表面形式不看本质 70．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 71．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 72．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴方程有两个解，分别为， 故答案为：1，6； （2）解：， 方程变形得：， 由题中的结论得：有两个解，分别为，2， ∵与互为倒数， ∴， 故答案为：，2； （3）解：， 方程整理得， 得或，且， 可得，． ∴． 易错必刷题型25.解分式方程 典题特征：按步骤解常规分式方程，求出未知数 易错点：去分母漏乘式子里面的常数项；算完解，忘记最后检验增根 73．解分式方程，去分母后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将互为相反数的分母变形，再将方程两边同乘最简公分母，即可得到去分母后的结果． 【详解】解：原方程为可变形为， ∵方程的最简公分母为， ∴方程两边同时乘以，去分母得． 74．（1）已知代数式与代数式的值相等，则________； （2）分式的值比分式的值大3，则的值为________． 【答案】 10 1 【分析】（1）等式两边同乘，化简后解方程即可； （2）将原方程变形为，化简后解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得， 经检验是分式方程的根； （2）由题意得 经检验是分式方程的根． 75．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）对于分式方程，解题思路是先将分式方程变形，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后进行验根，确定原方程的解． （2）对于分式方程，解题思路是先对分母因式分解，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后验根，判断原方程解的情况． 【详解】（1）解：， ， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 故原分式方程的解为 （2）解：， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 故原分式方程无解． 易错必刷题型26.分式方程解的情况求参数 典题特征：方程解是正数、负数、整数，求参数取值范围 易错点：只看解的正负，完全忘记舍去让分母为0的增根；范围边界取值写错 76．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先求解原分式方程，再根据关于x的分式方程有增根得到的值，求解即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 即， 解得：． 77．关于的分式方程有增根，则__________． 【答案】 1 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程，即可求出的值． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， ∵分式方程有增根， ∴增根满足，解得， 原方程两边同乘去分母，得 ，即， 将增根代入整式方程，得 ，解得． 78．已知关于的方程． (1)求方程的解（用含的代数式表示）； (2)若这个方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】(1)当 时，解为 ；当 时，方程无解 (2)，且 【分析】本题主要考查解分式方程，求解分式方程时注意分母不为0是解题的关键． 首先根据去分母、去括号、合并同类项的步骤求解分式方程，表达出方程的解，再根据方程的解是正数，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解： ， ， ； 当 时，即 时，分母为零，方程无解． 因此，方程的解为： 当 时，解为 ； 当 时，方程无解． （2）解：由题意得：且， ∴，且， ∴，且． 易错必刷题型27.分式方程无解问题 典题特征：已知分式方程无解，求里面参数的值 易错点：分不清是整式方程本身无解，还是解出来是增根；两种情况少算一种 79．若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程，能够掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 先解方程得，再由方程无解得，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵， ①， ∵关于的方程无解， ∴，即； 把代入①，得，解得． 80．若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【答案】 1 【分析】先将原分式方程去分母化为整式方程，分式方程无解说明原方程存在增根，增根使原方程分母为零，求出增根后代入整式方程即可求解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母得：， 关于的分式方程无解， 原分式方程有增根，增根使分母，即， 将代入得：． 81．已知关于x的方程=． (1)若方程无解，求m的值； (2)若方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】(1)或2或 (2)或且且 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时、当时和当时原分式方程无解，从而求解； （）由得，然后根据方程的解为正数得出且且，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，m的值为或2或； （2）解：解方程得， ∵且且， ∴且且， ∴或且且． 易错必刷题型28.分式方程行程问题 典题特征：路程速度时间相关应用题，列分式方程解题 易错点：速度、时间、路程等量关系搞反；顺水逆水、快慢速度关系理不清 82．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 可得慢马的速度为， 快马的速度为， ∵快马速度是慢马速度的倍， 可得方程， 故答案为：． 83．列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 【答案】李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行千米、千米 【分析】本题考查分式方程的应用，根据“路程速度时间”这一等量关系，列出方程解决即可． 【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米． 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以． 答：李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、千米． 84．小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【答案】小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟 【分析】设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟，利用“时间路程速度”的关系，根据两人的时间差为4分钟列方程求解即可． 【详解】解：设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟,根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 此时， 答：小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟． 易错必刷题型29.分式方程工程问题 典题特征：工作总量、工作效率、干活时间应用题 易错点：工作总量不会设为1；多人合作效率乱加；效率和时间关系弄混 85．由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原来每小时送件外卖，先表示出现在每小时送的外卖数量，再根据“时间总件数每小时送件数”分别表示出原来和现在送件外卖所用的时间，最后根据时间关系列方程即可． 【详解】解：∵原来平均每小时送件外卖，现在每小时比原来多送件， ∴现在平均每小时送件， ∴原来送件外卖所用时间为小时，现在送件外卖所用时间为小时， ∵现在送件的时间比原来少用小时， ∴原来所用时间现在所用时间， 即列方程得． 86．为了改善部分经济困难家庭的居住条件，某市计划在一定时间内完成万平方米的保障房建设任务．后来市政府调整了计划，不仅保障房建设任务比原计划增加了，而且还要提前年完成建设任务．经测算，要完成新的计划，平均每年需要比原计划多建设万平方米的保障房，那么按新的计划，平均每年应建设多少万平方米的保障房？ 【答案】 按新的计划，平均每年应建设万平方米的保障房 【分析】设出原计划平均每年建设的保障房面积，然后可表示出新计划平均每年建设的保障房面积，根据原计划完成时间比新计划完成时间多年的等量关系列出分式方程，求解后得到新计划平均每年建设的保障房面积． 【详解】解：设原计划平均每年建设万平方米保障房，则新计划平均每年建设万平方米保障房， 根据题意得，， 方程两边同乘，得， 展开并整理得， 因式分解得， 解得，（不符合实际题意，舍去）， 经检验，当时，， 是原分式方程的解， 则新计划平均每年建设面积为（万平方米）． 答：按新的计划，平均每年应建设万平方米的保障房． 87．为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【答案】(1) 甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积 (2) 48000元 【分析】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用： （1）设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据题意列分式方程求解； （2）设甲工程队先做了天，用表示合作天数，根据单独完成和合作完成的效率列方程，求出甲队单独的时间，进而求解． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积， 则甲队每天能完成平方米的绿化改造面积， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲队每天能完成平方米． 答：甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积． （2）解：设甲工程队先做了天， 则甲乙合作了天， 则， 解得：， 完成这项绿化改造任务总共需要施工费用：元． 答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用48000元． 易错必刷题型30.分式方程经济问题 典题特征：单价、总价、利润、打折销售类应用题 易错点：进价售价利润公式记混；涨价降价的数量关系列错方程 88．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 【答案】 【分析】先根据题目给出的单价关系表示出A款玩偶的单价，再根据数量等于总金额除以单价的关系，分别表示出两款玩偶的购进数量，最后根据A款数量比B款少50个的等量关系列方程即可； 【详解】解：设B款哪吒玩偶的单价是元，则A款哪吒玩偶单价为元， 根据题意可得购进A款玩偶的数量为个，购进B款玩偶的数量为个， 因为购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，即B款数量减去A款数量等于50， 因此列方程得：． 89．列分式方程解应用题： 2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价降低了20%，同样用2400元购进的数量比第一次多20套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 【答案】30元 【分析】先设出第一次每套玩具套装的进价，再根据进价降低比例表示出第二次的进价，利用“总价÷单价=数量”得到两次购进的数量，根据第二次购进数量比第一次多20套列出方程，求解检验后得到结果． 【详解】解：设第一次购进的玩具套装每套的进价是元，则第二次购进时每套的进价为元， 根据题意，得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的玩具套装每套的进价是30元． 90．某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个． ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变．学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的． (1)A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ (2)设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用． 【答案】(1)A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元 (2)最省钱的购进方案为购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元 【分析】（1）根据A、B单价的倍数关系设未知数，结合购买数量的差列分式方程，求解后检验即可得到单价； （2）先根据A种收纳箱数量的限制条件求出的取值范围，再根据优惠政策得到总费用关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应方案． 【详解】（1）解：设B种收纳箱的单价为元，则A种收纳箱的单价为元， 根据题意得 化简得 ，即 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意.， 则 答：A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元； （2）解：由题意得，购进A种收纳箱个，则购进B种收纳箱个， 根据题意得 解不等式①得：， 解不等式②得： ∵为正整数， ∴， ∵ ， ∴每个A种收纳箱售价为 元，B种收纳箱售价不变为40元， 总费用 ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值时，最小， 此时 ， （元） 答：最省钱的购进方案是购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元． 易错必刷题型31.分式方程和差倍分问题 典题特征：两个数量之间和、差、倍数关系，列方程解题 易错点：谁比谁多、谁比谁少审题看反；倍数关系搞颠倒，方程列式直接列错 91．甲、乙、丙三个数依次相差，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设乙数为，则甲数为，丙数为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设乙数为，则甲数为，丙数为， 根据题意可得， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， 即甲数为，乙数为，丙数为， 故选：C． 92．某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【分析】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出的数量关系列一元一次方程求解； （2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时 甲分拣7200件用时3小时”列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得： ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设升级后乙机器人每小时分拣件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得： ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 93．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 【答案】(1)①；②2号 (2)14 (3)，， 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用． （1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量； ②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值； （3）根据题意列出方程，并结合，列不等式求解． 理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”单位面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． 故答案为：；． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． 故答案为：号． （2）根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴的值是． （3）根据题意，得： ， 整理，可得：， ∴， 当时，， 解得：， 又∵为正整数，且满足， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合条件的的值为，，． 故答案为：，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08分式与分式方程易错必刷题型专项训练 本专题汇总分式与分式方程全章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.分式无意义的条件 题型04.分式有意义的条件 题型05.分式值为0的条件 题型06.分式值正负取值范围 题型07.分式值为整数求整数解 题型08.分式变形正误判断 题型09.分式变形成立的条件 题型10.分式形状判断分式值变化 题型11.分式最高次项化为正数 题型12.分式系数化为整数 题型13.分式约分 题型14.最简分式判断 题型15.分式乘除混合运算 题型16.分式乘方运算 题型17.含乘方的分式乘除运算 题型18.分式通分 题型19.异分母分式加减法 题型20.整式与分式加减运算 题型21.分式加减混合运算 题型22.分式四则混合运算 题型23.分式化简求值 题型24.分式方程定义判断 题型25.解分式方程 题型26.分式方程解的情况求参数 题型27.分式方程无解问题 题型28.分式方程行程问题 题型29.分式方程工程问题 题型30.分式方程经济问题 题型31.分式方程和差倍分问题 易错必刷题型01.分式的判断 典题特征：给出多个式子，让区分哪个是分式、哪个是整式 易错点：把带π的常数分母当成分式；化简完是整式还错判成分式；分不清字母和常数 1．下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式___________． 3．下列各式：，，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 易错必刷题型02.分式规律探究 典题特征：给出一串分式，找分子分母、符号、排列的规律 易错点：正负交替规律看漏；分子分母规律分开找不对；找不准第几项对应的式子 4．观察下列分式：，，，，，…，按此规律第10个式子是（） A． B． C． D． 5．对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 6．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照上述规律，回答下列问题： (1)写出第6个等式：　　　； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示）； (3)计算：. 易错必刷题型03.分式无意义的条件 典题特征：求x取何值时，分式没有意义 易错点：算完分母等于0的解，多解容易漏写；和分式有意义的条件来回记混 7．根据下面表格中的信息（※表示非零的数值），代表的分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 0 ※ ※ 无意义 ※ … A． B． C． D． 8．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 9．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 易错必刷题型04.分式有意义的条件 典题特征：求字母取值范围，让分式一直有意义 易错点：解不等式范围写错；多个因式分母，只算一个就完事，漏其他限制条件 10．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围为______． 12．若分式有意义，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 易错必刷题型05.分式值为0的条件 典题特征：求x取何值，分式结果等于0 易错点：只让分子等于0，完全忘记还要分母不能为0；算出增根也直接写上 13．若分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 14．若分式的值为0，则x的值为_________． 15．当为何值时，下列分式的值为？ (1)； (2)； (3)． 易错必刷题型06.分式值正负取值范围 典题特征：判断分式大于0、小于0，求字母取值 易错点：分不清同号为正、异号为负；列式子忘记带上分母不为0的限制 16．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．若分式值为负数，则的取值范围是__________． 18．仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 易错必刷题型07.分式值为整数求整数解 典题特征：分式结果是整数，求符合条件的所有整数x 易错点：因数找不全、漏解多组答案；算出让分母为0的数，也一并填上去 19．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 20．若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有______个． 21．当整数x取何值时，分式的值是整数？ 易错必刷题型08.分式变形正误判断 典题特征：选择题，判断几个分式变形哪个对、哪个错 易错点：分子分母同时加减数，还以为分式大小不变；变形忽略不能乘除0 22．根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 23．下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 24．下列分式的约分是否正确？请把不正确的改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 易错必刷题型09.分式变形成立的条件 典题特征：分式前后变形一模一样，求这个变形成立的前提条件 易错点：看不出变形时乘除的整式不能等于0；漏写隐藏限制条件 25．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 26．若成立，则的取值范围是______________． 27．将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 易错必刷题型10.分式形状判断分式值变化 典题特征：分子分母同时扩大、缩小倍数，判断分式结果怎么变 易错点：混淆同时乘除、同时加减的区别；倍数变化对应结果判断错误 28．如果把分式中的同时缩小到原来的，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的4倍 29．已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为 ____． 30．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 易错必刷题型11.分式最高次项化为正数 典题特征：不改变分式大小，把最高次项负号去掉改成正 易错点：只改最高次项符号，剩下其他项符号忘记一起变；乱添负号、符号弄反 31．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 32．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 33．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 易错必刷题型12.分式系数化为整数 典题特征：分子分母都是分数小数系数，统一化成整数 易错点：同乘一个数的时候，漏乘单独的常数项；上下乘的数字不一样 34．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 35．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 36．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 易错必刷题型13.分式约分 典题特征：把复杂分式化成最简分式形式 易错点：约分约掉加减的部分，只能约乘除公因式；约分不彻底，剩还能再化简的部分 37．在等式中，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 38．定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是_______． 39．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 易错必刷题型14.最简分式判断 典题特征：判断给出分式，是不是已经化成最简、不能再约分 易错点：看不出隐藏公因式；还能继续约分，误判成最简分式 40．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 41．在分式、、中，最简分式有______个． 42．下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型15.分式乘除混合运算 典题特征：一道题里既有分式乘法、又有除法，混合计算 易错点：除法不变乘、不颠倒分子分母；做题不先约分，直接硬算大数算错 43．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 44．计算：________．（结果只含有正整数指数幂） 45．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型16.分式乘方运算 典题特征：给分式整体平方、多次方计算 典题特征：负数乘方分不清正负；只给分子乘方、忘记给分母一起乘方 46．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 47．计算： (1)____________； (2)________________________． 48．计算： (1)； (2)； (3)． 易错必刷题型17.含乘方的分式乘除运算 典题特征：先乘方、再做乘除的综合计算题 易错点：运算顺序乱，先算乘除后算乘方；乘方符号出错，连带后面全部算错 49．化简等于（    ） A． B． C． D． 50．计算：_________． 51．计算 (1)； (2)． 易错必刷题型18.分式通分 典题特征：多个异分母分式，化成同分母分式 易错点：分母扩大几倍，分子不跟着对应扩大；随便乱找公分母，不是最简公分母 52．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 53．分式与的最简公分母是________，通分后的结果是________、________． 54．通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 易错必刷题型19.异分母分式加减法 典题特征：分母不一样的分式，做加减计算 易错点：直接分母和分母相加减，分子和分子相加减；通分之后分子加减忘加括号 55．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 56．已知，则的值是_________． 57．已知A，B，为整数，求证：． 易错必刷题型20.整式与分式加减运算 典题特征：一个整数整式，和一个分式做加减运算 易错点：把整式直接合并到分子上面，不通分；整式分母看错、乱乱写分母 58．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 59．若，则的值为______． 60．在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 易错必刷题型21.分式加减混合运算 典题特征：多个分式连着加减，有括号需要去括号计算 易错点：去括号的时候，括号前面是负号，里面各项不变号；通分来回算错 61．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 62．已知非零实数x，y满足，则的值等于______． 63．小乐同学化简的过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 (1)小乐同学化简的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程中从第 步开始出现错误． (2)请你书写正确的化简过程和结果 易错必刷题型22.分式四则混合运算 典题特征：一道题加减乘除全都有，混合运算化简 易错点：运算顺序完全混乱，先算加减再算乘除；一步顺序错，整道题全错 64．化简的结果是（   ） A． B． C． D．1 65．计算：__________． 66．计算： (1) (2) 易错必刷题型23.分式化简求值 典题特征：先把分式化简，再代入字母数值算出最终结果 易错点：不先化简直接代入硬算，计算量大出错；代入数值不避开分母为0的数 67．若，则的值（    ） A．4 B． C． D． 68．若，则______． 69．先化简，再求值：，其中． 易错必刷题型24.分式方程定义判断 典题特征：区分哪个是分式方程、哪个是普通整式方程 易错点：化简之后是整式方程，还错判成分式方程；只看表面形式不看本质 70．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 71．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 72．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 易错必刷题型25.解分式方程 典题特征：按步骤解常规分式方程，求出未知数 易错点：去分母漏乘式子里面的常数项；算完解，忘记最后检验增根 73．解分式方程，去分母后的结果是（    ） A． B． C． D． 74．（1）已知代数式与代数式的值相等，则________； （2）分式的值比分式的值大3，则的值为________． 75．解方程： (1)； (2)． 易错必刷题型26.分式方程解的情况求参数 典题特征：方程解是正数、负数、整数，求参数取值范围 易错点：只看解的正负，完全忘记舍去让分母为0的增根；范围边界取值写错 76．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 77．关于的分式方程有增根，则__________． 78．已知关于的方程． (1)求方程的解（用含的代数式表示）； (2)若这个方程的解是正数，求的取值范围． 易错必刷题型27.分式方程无解问题 典题特征：已知分式方程无解，求里面参数的值 易错点：分不清是整式方程本身无解，还是解出来是增根；两种情况少算一种 79．若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 80．若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 81．已知关于x的方程=． (1)若方程无解，求m的值； (2)若方程的解是正数，求m的取值范围． 易错必刷题型28.分式方程行程问题 典题特征：路程速度时间相关应用题，列分式方程解题 易错点：速度、时间、路程等量关系搞反；顺水逆水、快慢速度关系理不清 82．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 83．列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 84．小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 易错必刷题型29.分式方程工程问题 典题特征：工作总量、工作效率、干活时间应用题 易错点：工作总量不会设为1；多人合作效率乱加；效率和时间关系弄混 85．由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 86．为了改善部分经济困难家庭的居住条件，某市计划在一定时间内完成万平方米的保障房建设任务．后来市政府调整了计划，不仅保障房建设任务比原计划增加了，而且还要提前年完成建设任务．经测算，要完成新的计划，平均每年需要比原计划多建设万平方米的保障房，那么按新的计划，平均每年应建设多少万平方米的保障房？ 87．为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 易错必刷题型30.分式方程经济问题 典题特征：单价、总价、利润、打折销售类应用题 易错点：进价售价利润公式记混；涨价降价的数量关系列错方程 88．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 89．列分式方程解应用题： 2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价降低了20%，同样用2400元购进的数量比第一次多20套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 90．某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个． ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变．学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的． (1)A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ (2)设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用． 易错必刷题型31.分式方程和差倍分问题 典题特征：两个数量之间和、差、倍数关系，列方程解题 易错点：谁比谁多、谁比谁少审题看反；倍数关系搞颠倒，方程列式直接列错 91．甲、乙、丙三个数依次相差，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 92．某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 93．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $