吉林地区普通中学2025-2026学年高中毕业年级考前调研测试数学试卷

( ★ 保密 · 启用前 ★ ) ( ★ 保密 · 启用前 ★ )吉林地区普通高中2025—2026学年度高中毕业年级第四次调研测试 数 学 试 题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知角的终边过点，则 A． B． C． D． 3．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的体积为 A． B． C． D． 4．已知圆：，则过点的圆的最短弦所在直线的方程为 A． B． C． D． 5．已知等比数列的前项和为，若，，则 A． B． C．或 D．或 6．已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则 A． B． C．或 D．或 7． 已知函数的定义域为，满足，，且， 则 A． B． C． D． 8．已知复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线，直线，则 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 10．已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，先从甲箱中随机抽取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机抽取出个球．分别用表示由甲箱中取出的是红球和黑球，用表示从乙箱中抽出的是红球，则 A．事件与事件互斥 B． C． D．事件与事件相互独立 11．已知正方体的棱长为，点在内运动（包括边界），点到的距离分别为，且，则 A．点到平面的距离为 B． C． 点的运动轨迹是圆 D．点的运动路径的长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中第14题的第一个空填对得2分， 第二个空填对得3分。 12．已知函数 则 ． 13．已知抛物线上一点到直线与直线的距离分别为，， 则的最小值为 ． 14．已知平面向量，，，满足，且，则 ；若，则的最大值为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知是锐角三个内角的对边，且的面积为. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，且的外接圆的半径为，求的周长. 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，， 平面，点满足． （Ⅰ）若点为中点，证明：平面； （Ⅱ）当时，若，求点到平面的距离． 17．（本小题满分15分） 已知椭圆：，双曲线：，，分别为，的离心率，且． （Ⅰ）求双曲线的标准方程； （Ⅱ）若双曲线的上顶点为，经过上焦点的直线与的上支相交于，两点，直线，分别与轴相交于，两点，求的最小值． 18．（本小题满分17分） 高三（1）班的联欢会设计了一项抽奖活动：参加抽奖活动的同学从含有张有奖的张卡片中任取张，如果抽到张或者张以上有奖的卡片，就可以获得一件精美小礼品，每名同学是否参与抽奖活动相互独立，且最多参加一次抽奖活动. （Ⅰ）甲同学准备试一试，记甲同学抽到有奖的卡片数为. （ⅰ）求的分布列和数学期望； （ⅱ）求甲同学获得一件精美小礼品的概率； （Ⅱ）参与抽奖活动的同学，若获得一件精美小礼品可得积分，未获得一件精美小礼品可得积分.抽奖活动结束后，从参与抽奖活动的同学中随机抽取个人（），记这个人积分总和为的概率为，求数列的前项和. 19．（本小题满分17分） 已知函数 （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ） 已知，函数，对任意，存在，使，求实数的取值范围； （Ⅲ）已知，函数有两个不同的零点，，且有唯一的极值点，记，，，判断是否可能为等腰三角形，并说明理由. 命题、校对：高三数学核心组 ( 高三数学试题 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $吉林地区普通高中2025一2026学年度高中毕业年级第四次调研测试 数学试题参考答案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C D B T8.【拓展】已知：∈C且z≠0，当1z为定值时，探究z+在复平面上对应的点的轨迹问题 7 (法一)对于复数z=a+bi(4,b∈R), zFi=al+A 1当A且入≠0时，z+A=+入 令=a1+子人j=1- x2 1-e),则a+ +y2 x2 即 此时点的轨迹为以4V入为焦距的椭圆. x=2a, 2°.当入=z时， 此时点的轨迹为实轴上长为2a的线段. y=0. x=0, 3°当入=-z2时， 此时点的轨迹为虚轴上长为2b的线段. y=2b. (法二)令z=r(cosB+isin8)(r>0), )+c))(r+c+( 高三数学试题答案 x(r+Acose,y=(r-4)sime, x2 1当r时，则+r- 。一1，以后思路同法一 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分. 9 10 11 BD AC ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个 空填对得3分. 12. 3 13. 14 V3 四、解答题 15 【答案】(I)B= (6分)（Ⅱ）△4BC的周长为9(7分). 【解析】 ac=2 acsin,∴sinB=3 2 …3分 4 又，B为锐角，B= 3 …6分 (I)8=行.由正弦定理，得b=25s血B=23×5 =3,…8分 2 由余弦定理，得b2=a2+c2-2acc0sB=2+c2-c, 又.22=a2+c,b=+ 2 -,.a2+c2-2a=0, 即(a-C)2=0,∴.a=C,∴.△ABC为等边三角形，… …11分 .△ABC的周长为1+b+C=3b=9.…13分 第1页（共5页） 16 【答案】(I)证明略(6分)：（Ⅱ) 2W 39分 【解析】 (I)证明：.在四棱台ABCD-AB,CD中，上、下底面均为正方形，H为BC中点， :HC∥AD且HC=AD. 2 .AD∥AD且AD1=5AD,·ADHC, Γ2 .四边形A1HCD1为平行四边形，.AH∥DC,…3分 .AH文平面CDP,DCc平面CDP,AH∥平面CDP.……6分 (Ⅱ)（法一）由题可知，AD=AB=A41=2,A1D1=1. .AA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD, P AA⊥AB,AA⊥AD,又.AB⊥AD. ∴.以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别 B 为x,y,轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),C1(1,1,2), 又：亚=A,P0, .BP=(-2,0,1),PD=(0,2,-1),C1B=(1,-1,-2),… …9分 设平面BPD一个法向量为m=(x,y,z),则BP⊥m,PD⊥m BP.m=-2x+z=0, PD.m=2y-=0, =2,取x=l,则y=1,8=2,m=11,2)，12分 z=2y, 设点C到平面BPD的距离为d,则d=1CB.m=1-1-4_2V6 TIL √6 3， 即点C到平面BPD的距离为2V6 …15分 高三数学试题答案 (法二)还台为锥，延长侧棱A41,BB,CC1,DD交于点S, 连接AC交BD于点O,连接OP, .SA⊥平面ABCD,BDc平面ABCD,·SA⊥BD, 又`.正方形ABCD中，AC⊥BD,SA∩AC=A,SA,ACc平面SAC,B,L ∴.BD⊥平面SAC,又.BDc平面BPD,∴.平面SAC⊥平面BPD. N P 在平面SAC中，过点A,C分别作直线OP的垂线，垂足分别为M,N. .平面SAC⊥平面BPD,平面SAC∩平面BPD=OP, B CNC平面SAC,CN⊥OP, .CN⊥平面BPD,点C到平面BPD的距离为CN,同理，点A到平面BPD的距离为AM. 处理方法1：在Rt△SAC中，点O,A,C,P分别为AC,SA,SC，AA1的中点， 连接C0,ACC0L41,APC0,设4CnoP=H,则aMP∽aAC0. 在R01P中，0P=+(W2°=V5,:OH=2OP=25 3 3 库Ra40G中，4AC2+2=6,GH=2G426 3, A H 在GH0中，C0=2,25:+25=2,即om+C=C0, 3 3 CH10P,即点N与点H重合，∴点C到平面5PD的距离为CH=26 处理方法2：采用降维思想，以A为原点，AC,AS所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系， 写出直线0P的方程：吉+)y=1,即x+3y-5=0,点C2)到直袋0P的距离为 CN=v2+22-V2-2W6 √3 3 处理方法3：利用等体积法求出点A到平面BPD的距离AM，则点C到平面BPD的距离为 C N=2AM 第2页（共5页） 17. 【答案1(1)户-号=16分：(1)1Q0分 【解析】 1)曲题可知6=-，+ …2分 ⊙双曲线C,的标准方程为y2一 =1.…5分 (Ⅱ)由题可知，直线1斜率存在，设直线1的方程为y=x+2,设M(x1y1),N(x2,y2). [y=x+2, 由 消去y,得(3k2-1)x2+12kx+9=0, =1, 31 3k2-1≠0， 9 △=36(k2+1)>0, 由韦达定理，得x+三k2x23一<0 1 .0≤k2< …8分 3 A0,·直线AM的方程为y=乃x+1,令y=0,即，=点= y-1kx1+1 -2 同理，得xg=+1 …10分 S4= AF= 2 x1-x21 240x。-。-。 |x1-x2 1(k1+1)(kx2+1)川 9k2 12k2 1 =k2xx2+(x1+x2)+1= 3k2-13k2-113k2-1 …13分 1 0≤k2< 3六-1≤3k2-1<0,当32-1=-1即k=0时， 1 |3k2-1 取最小值为1， 型的最小值为L,… 高三数学试题答案 18. 答案灯(1)()X的分布列见解新，2()=口分：()；口分： (Ⅱ)T=2- n+2 2 .(8分) 【解析】 (I）（i)由题可知，X的可能值为0,1,2,3.…1分 ·PX==CC g,=0,12,3. ① P(X=0)= cci=1 20.P(X-1-9ci-9 Cg20' ② P(X=2)= Cic-9 cg20, P(X=3)= Cg201 X的分布列如下表： X 0 1 2 3 1 9 9 1 ③ P 20 20 20 20 …5分 (注：1°离散型随机变量分布列书写建议：步骤1，随机变量X的可能值；步骤2，计算各可能值相 应的概率值；步骤3，列表 2°.上述环节仅用环节①表述且正确，扣2分未计算分； 3°过程完整但概率计算有误，每个扣1分) 9 9 13 +2× +3× 法-)EW=0×20+1x202020, …7分 (法二).X服从超几何分布，N=6M=3,n=3. M,33 ∴.E(X)=nx -=3X一= 62 …7分 N (注：用超几何分布的期望公式，需写清分布类型，未写扣1分) （i)甲同学获得一件精美小礼品的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=20+202 911 …9分 第3页（共5页） (Ⅱ).n个人积分总和为n+1,.有n-1名同学得1积分，1名同学得2积分， 即-1名同学获得一件精美小礼品，1名同学未获得一件精美礼品.…10分 由()可知。每名同学获得一件精类礼品的概率为宁： …12分 则T=P1+P2+P3…十P 即T 29…* 12.3 2+2 2 ① 23…+ 2*1 ②… …14分 ①-②得 1.1.1.1 2 222 一十 23…+ 1 n 2 2+l 2+11 2”2-1-儿+2 2+l, …16分 1- 则I=2-n+2 20 ……………17分 19. 【答案】(1)当a≤0时，了()在R上单调递减；当a>0时，f(9)在（←o,ln马上单调递增， 在0n?+o)上单调递减(4分： （Ⅱ）(2,2e)(5分)；（Ⅲ）△4BC不可能为等腰三角形，证明略(8分). 【解析】 (I)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=a-2e,x∈R. 当≤0时，∫(x)<0,f(x)在R上单调递减；…2分 当a>0时，令了=0，则x=lng,令f>0,则x<n受：令<0，则x>n2 “了(y在(-c0,1血孕上单调递增，在0n+o)上单调递减 综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 当a>0时，了(x)在(-o,ln)上单调递增，在m,oo）上单调递减.…4分 (注：此次考试未写综上所述不扣分，但讲解时要求学生注意结论的完整表述) 高三数学试题答案第 (I)80=6x+omsr-2(x+?,B引÷B+gc[ξ] 当B+=2时，即B=808n=2. …5分 由(I）)知，当a>2时，n号>0，w)在(0，n?上单调递增，在（血+o)上单调递减 2 对在意ae0,+o),了a)m=了0学=mg-2e+2= -+2.…7分 2 对任意ae0w),存在Be0引 使f(a)<g(B),则f(a)mm<g(B)mx· m2-a+2<2,am号-0<0，：a>2,2<a<2e. 即实数1的取值范围为(2,2).… …9分 (注：结果未写成集合或区间形式不扣分) (Ⅲ)由(1)知，当ae2,0时，f)在(-o,n2上单调递增，在0n2+o)上单调递减， 六f八)有唯一的极大值点=l血e0,加学，不妨设西<，f0=0,=0<<, 21 ∴.A(0,0),过点C作CD1x轴于点D,则D(xo,0).… …10分 ①比较|ACI与BC|的大小，等价于比较|AD|与|BD|的大小，等价于比较x,与x2-x的大小，即 比较2x与x2的大小. )-f0n3=2号-2s+2=a(2g-号+3.设g@-2n-+ "22a ae2,e), 2 22a1 =子)子-2<0，g回在29上单润造减 g'(a)= a 2 a2 2a2 ∴.g(0)<g(2)=0,∴.f(2x)<0=f(x2), 又.∴∫(x)在(x。+o)上单调递减，.2xo>x2, 即x>x2-x,AD>BD|,由勾股定理可得|AC>|BC|…13分 4页（共5页） ②比较|AC|与|AB的大小，|AC=√x,2+f(x),AB=x2: 先证明e>x+1,(x>0),设h(x)=e-x-1,x>0,t(x)=ex-1>0, ∴.(x)在(0，oo)单调递增，.(x)>(0)=0,即e>x+1,(x>0). .f(x)-x=ax-2e+2-x0<ax-2(x+1)+2-x=(a-3)x<0,f()<x: AC=V,2+f2(x0)<Vx02+x02=V2,…14分 下面此较V2x。与x,的大小. 7w2w）=jwan3=5g-2ea+2=v5am号 "2 -2+2 设F@=g-295+2,ae2,e.F国=2n号-学t+ 设e@=P国=2m2-学8+1，ae20, @=-89=g-1-81-5吾2， 2<a<e, ea2’ 语>尽2,5，期0>0,9@在同上单隔港 2 ∴.p(a)=F'(a>F(2)=0,F(a)在(2，e)上单调递增，∴.F(a)>F(2)=0, f(W2x)>0=f(x2),又·f(x)在(x∞)上单调递减，·V2x。<x2, 即|ACKV2x<x2=AB|. .AB AC BC. 综上，△ABC不可能为等腰三角形.…17分 (注：①地可证明了兮)>0=了心，).即可比较2x<<:②地可先证明AB:BC1,再 证∠ACB为钝角，判断△ABC不可能为等腰三角形；③利用其他方法证明正确均给分，) 高三数学试题答案第5页（共5页）