吉林省吉林地区普通中学2025-2026学年高三上学期第二次调研测试数学试卷

吉林市普通高中2025一2026学年度高三年级阶殷性测试 数学试题参考答案 试题题源：人教A版教材及高考真题 教材 真题 T3 选必一P127-复习巩固1 T5 2023年全国乙卷4题（理数） T6 选必一P93-练习2 T7 选必三P126-例1 T9 2025年新高考1卷9题 T10 2022年新高考Ⅱ卷9题 T11 2025年新高考I卷10题 T12 2025年新高考Ⅱ卷12题 T13 选必二P40-练习3 T15 选必一P43-10 T16 2025年上海卷17题 T18 选必二P95-例7 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 2 3 4 5 6 个 8 B C A D B B D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分. 9 10 11 BCD AC ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个 空填对得3分. 8V3 5V2π 12. 2 13. 3×2m-1 14。 3 3 (注：13题结果写成321、32”(neN)、4.=32-1、n=3×2-1均给分.) 高三数学试题答案 四、解答题 15. 【答案】(I)证明略(5分)；（Ⅱ） y068分). 【解析】 (I）(法一)证明：连接BD. .AA,1平面ABCD,ELC平面ABCD,.AA1⊥EL. …2分 E,L分别是AB,AD的中点，∴EL∥BD .四边形ABCD为正方形，.AC⊥BD,即AC⊥EL. .A41∩AC=A,AA1,ACc平面A1AC,.EL1平面AAC.…5分 (注：不写AA,ACc平面AAC不扣分) D (I)以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴， y轴，？轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .'AB=BC=2CC,=4,E,L分别是AB,AD的中点， 则D(0,0,0),B1(4,4,2),E(4,2,0),L(2,0,0),F(4,4,1), DB1=(4,4,2),EZ=(-2,-2,0),E℉=(0,2,1).… …7分 设平面EFGHKL的一个法向量为n=(x,乃)，则1E立，1E」 则=2x-2y=0下水 n.EF=2y+z=0. z=-2y. 取y=-1,则x=1,3=2. .平面EFGHKL的-个法向量为=(1，-1,2).…10分 设8，与平面EKL所成角为9，则n9-o<D反a DB,4=6 DB.=9 即DB,与平面EFGHKL所成角的正弦值为6 …13分 (注：不设日不扣分) 第1页（共6页） (I)(法二)证明：以D为原点，DA,DC,DD,所在直线 分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ‘AB=BC=2CC1=4,E,L分别是AB,AD的中点， 则A(4,0,0),A1(4,0,2),C(0,4,0),E(4,2,0),F(4,4,1), B L(2,0,0),A41=(0,0,2),AC=(-4,4,0),EZ=(-2,-2,0).… …2分 .AA.EL=0,AC.EL=8-8=0,..AA,1 EL,AC 1 EL, .AA1∩AC=A,A4,ACc平面AAC,.EL1平面A1AC.…5分 (注：也可以求平面A,AC的一个法向量为m=(1,1,0),证明EL∥m,即EL1平面AAC.) （I）由（I）知，EZ=(-2,-2,0),EF=(0,2,1), 又.D(0,0,0),B1(4,4,2),DB1=(4,4,2).… …7分 设平面EFGH的一个法向量为n=(化乃)，则n1E立，nLEF. 则 [m.Ei=-2x-2y=0,.x=-y 取y=-1,则x=1,z=2. nEF=2y+=0. z=-2y. .平面EFGHKL的一个法向量为=(1，-1,2).…10分 设DB,与平面ErG所成角为8，则sn6-os<DB,i 46 DE, 6xV6=9, 即DB,与平面EFGHKL所成角的正弦值为 V6 13分 16. 【答案】（I）2.62,47.875(4分)（I)r≈-0.94(3分)负线性相关，相关性很强(2分)； (m)=-0.26x+49.29(=-0.26x+49.30）(6分) 【解析】 (1)由已知可得，数据的最大值为49.02，最小值为46.40， 所以极差为49.02-46.40=2.62。… …1分 高三数学试题答案 将冠军成绩按从小到大排序，可得 46.4047.0247.2147.5247.5848.1748.3048.6348.7449.02 47.58+48.17 50%×10=5,第5个和第6个数据分别为47.58,48.17，所以中位数是 2 =47.875 即冠军成绩的极差为2.62，中位数为47.875.…4分 (注：①数据不按从小到大排序扣1分；②中位数进行四舍五人近似计算扣1分；③极差、中位数是 否写单位都不扣分)》 (Ⅱ)由参考公式和参考数据可得， 龙x,-0,-刀 =1 i=1 -21.585 ≈-0.94…7分 10 2-102 9.08×2.54 - (y-习 由样本相关系数r≈-0.94，可以推断年份代码和冠军成绩这两个变量负线性相关，且相关程度很强， …9分 (注：①未判断负相关，写出|r~0.94接近1，判断它们的相关程度强、较强均给满分；②如果样本 相关系数计算错误，但能根据样本相关系数判定出两个变量相关程度强给2分) 应)由表中数据可得x==55，卫0=47859……11分 10台 由参考公式和参考数据可得， xy,-10 芝x,-0- 6= 1-21.585 ≈-0.26，…13分 10 10 x号-10x (x,-)2 82.5 0=y-b阮≈47.859-(-0.26×5.5≈49.29，…14分 所以冠军成绩y关于年份代码x的经验回归方程为)=-0.26x+49.29.…15分 (注：若计算过程中方的近似值取-0.262，则a的近似值为49.30，所求经验回归方程为 )=-0.26x+49.30也给相应的分数) 第2页（共6页） 17 【答案(1)A=于6分：(I)S6= 3 (9分). 【解析】 (I）(法一），2c-b=2 acos B,由正弦定理，得2sinC-sinB=2 sin Acos B, 即2Sin(A+B)-sin B=2 sin Ac0SB,…2分 .2sin Acos B+2cos Asin B-sin B=2sin Acos B,2cos Asin B-sin B=0, 1 .B∈(0，π)，∴.sinB≠0，.c0sA= …4分 2 AE(0,),A=元 3 …6分 (法二)。2c-b=2 acos B,.2c-b=2a a2+c2-b2 …2分 2ac .c+b-a'-be,COsA=+b-a1 2be …4分 A∈(0，)，A= …6分 3 （I)(法一）由(1)知，B=元-A-C=元-无-孤=交 Γ312=4 由正孩定理，得a-bsnA2sn …9分 sin B sin- T=2红-3，因此数列，}是周期数列且最小正周期是3.…10分 2元 3 2 ,…13分 122 3 .S2026=675×(a1+42+a3）+41= √6 2 …15分 法二)由(1)知，B=π-A-C=元--，=， 高三数学试题答案 2 sin 由正弦定理，得a =bsin A 3-6,g+副 …9分 sin ..T= 2元=3， 因此数列{}是周期数列且最小正周期是3.… …10分 2元 .'a v3 sin 4 “12 4 .41+42+43=0, …13分 ∴S2026=675×(a1+a2+a3)+41= …15分 (注：（I)问中，两种方法直接写41+42+4=0扣2分) 18. 【答案1(1)了白=-6分：(I)(,l小6分为() 【解析】 (I)f(x)的定义域为(0，+oo),f'(x)=lnx+1. 令f'()=0,解得x=1 ，…2分 当0<x<时，∫'(w)<0;当x>1时，f'()>0, 所以四在日上单湖选淡在（日树小上单调装 因此当x日时，)有摄小值并且极小值为得日 …5分 (I)(法一)由题意可知，当x>1时，f(x)>k(x-1),即xlnx-k(x-1)>0恒成立. 令F(x)=xlnx-k(x-1),x>1,F'(x)=lnx+1-k>1-k,…6分 第3页（共6页） 当1-k≥0，即当k≤1时，F(x)>0,所以F(x)在(1，oo)上单调递增， 所以F(x)>F(I)=0,符合题意；… …8分 当1-k<0,即当k>1时，令F(x)=0,则x=e-1, 当x∈(1，e-)时，F'(x)<0,所以F(x)在(L,e-1)上单调递减， 所以当xe(L,e-)时，F(x)<F(1)=0,不符合题意，舍去.…10分 综上所述，实数k的取值范围为(-o,1… 11分 (注：结果不写集合形式给分) 法二)当x>1时，了x)>x-1),即<四-1血在L,o)上恒成立 x-1x-1 令F)=nx,心>1，则F'()=Qnx+1c-)-mx=-1-lnx …7分 x-1 (x-1)2 (x-1)2’ 令8(9=x-1-nx,x>1,g(w)=1-1=t- 二>0， xx 所以g(x)在(1，+oo)上单调递增，即g(x)>g(1)=0,F'(x)>0, 所以F(x)在(1，o∞)上单调递增.… …9分 当x1时，nx0,x-1→0，F(为0型， 0 由洛必达法则，得1imn'=im nx+1=L,所以当x>1时，F(>1, xx-1x1*1 所以实数k的取值范围为(o,1… …11分 (m)原不等式等价于xnx--1>0, e-11 令G()=xlnx- x-1 e-13 x>0,G()=lnx+1-1 e-1 …13分 2-e 令G'(x)=0,解得x=e1, 2-e 2-e 当0<x<eI时，G(x)<0;当x>e时，G'(x)>0, 高三数学试题答案 所以G在 e一小上学建装在仁心上溪跑 又因为G得-=G0=0,所以当E仅当0<x<名或x>1时.6(>0,16分 即系不等式的察梨为(Ut …17分 (注：①结果未写成集合形式扣1分，②构造其它函数求解正确也给满分；③如果利用(x)=xnx 凸函数性质，数形结合方法求解，过程书写完整扣2分.) 19 【答案】(1) 子+号=14分e=分别()()4()证明剑 【解析】 (I)A15B是面积为5的等边三角形，FF,=2c,A0Fb=5× ×2c=V3c, 2 Ox2ex/3e31 .b=√5，.a2=b2+c2=3+1=4,即a=2, 圆C的标准方程为十y三1，…2 43 离心率为e=C=1 …5分 a21 (I)(i)(法一)设P(x,y)(x,<0),当y。= 5时，代人椭圆C,可得x,=-5,即P(-5,5), 由题意可知，直线1的斜率存在，设直线1的方程为)y- 2=k(x+V3), 2 =kx+), 由 消去y,得(3+43)x2+4W3(2k+1)kx+12k2+12k-9=0. =1, 4 3 .△=48(2k+1)k-43+4k2)12k2+12k-9)=0,即(2k-3)2=0, 第4页（共6页） 3 .. .…7分 2 直线1的方程为y=三x+25.令y=0,则x=-4W 3 2 3· .o=4 ×2W3=4,即△OMW的面积为4.…9分 23 法)设P(,化，<0)，则椭圆C在点P处的切线1的方程为+=1，证明如下 xox yoy=1 由 43 消去y,得(4y+3x)x2-24xx+4(12-4y)=0. =1, 43 :P(x,)满足+=1，则x2-2x,x+x乃=0，满足A=4x-4x=0,结论成立. 43 = ,代人椭圆C,可得x,三-3，即PC3名mmm分 2 直线1的方程为-3x+3】 Jy=1. 4 6 令y=0,则x=-45 3 143 ∴.SAOMIN= )3×2W3=4,即A0M0W的面积为4……9分 一 低在精调兰+ +存=1(a>b>0上一点P(,)处的切线方程为+=1，可通过以下方 a2 b2 法说明：①设切线方程，联立方程组，利用△=0求解；②先写出结论，再证明直线与椭圆相切；③ 利用导数几何意义求解.此处说明合理均给分，未说明直接运用扣2分) (i)(法一)证明：由（i)知，直线1的方程为3xx+4yy=12, 高三数学试题答案身 令y-5,则x=Bt%,期f区，】 3 3x ①当直线FM斜率不存在时，M(-1,V3),∠AFM=90°-∠AF0=90°-60°=30° -3x。+4W3y。=12, 8 x。= 由 3x,2+42=12, 得 35·w=12+4N30=-4,N(-4,-3 3x0 x。<0, yo= 5， 3 .F(-1,0),kw= 3 .∠FNB为锐角，∠FNB=30°，∠AFM=∠FNB.…11分 ②当直线FN斜率不存在时，N(-1,-V3),∠FNB=90° 5O同理可得M4O),kw-3,∠MEO为的角 ∠MF0=150°，∠AFM=∠MF0-∠AF0=150°-60°=90°， 。∠AFM=∠FWB.…12分 ③当直线FM,FN斜率存在时，0°<∠AFM<180°，0°<∠FNB<180°且都不为90°， 设直线FN斜率为k,则k,=tan∠FNB= √5 -3W3x -1-12+4W3y3x,+1244W3灭 3x0 设直线rM斜率为k,则=aMO-2-43.+1 3 33x 3x+12-4W3 3x0 又。°∠AF0=60°， 第5页（共6页） 3V3x。 k2-V53x。+12-4W3y。 -3 tan∠AM=tan(∠MF0-609)= -3W3+3y 1+3k2 1+5 3v3xo 3x,+3-V3 3x。+12-4W3yg …14分 要证∠AFM=∠FNB,只需证tan∠AFM=tan∠FNB, 只需证、一5+么= -V3x。 3x,+3-3.3x+12+4V3。 即证3x,(W5x。+V3-y)=(W3-y)3x。+12+4W3y),即证3x=12-4y, :P化)满足+公=1，÷3x=12-4成立， 3 .∠AFM=∠FNB… …17分 (注：不写∠AFM,∠FNB范围不扣分) (i)(法二)证明：设∠MF,N=B,直线1与x轴交点为Q, 由()知直编的方为3，+，=2，令=0，则=名e代 令y=5,则2-，即w 3x。 3x 令5，则=2，嚼州246 3x0 3x。 8 0+2 .cose=cos<FM,FN>=FM.FN Xo …12分 FMIFN FMIFNI' 高三数学试题答案 5xFAIFNIe, x。 ×23 FMI‖FN= ..tane= sine -231+4) =-3 sine cose 8 2+ Xo .日为钝角，∴.日=120°，… …15分 .'∠AFO=60°，.∠QFN+∠QFM=∠AFM+∠QFM,.∠QFN=∠AFM, 又∠QFN=∠FNB,∴.∠AFM=∠FNB. 17分 (注：利用直线FM,F,N斜率及两角和差的正切公式求解∠MFN=120°亦可给分) （ⅱ)证明：（法三）连接BF,由（i)知，直线1的方程为3x。x+4yy=12, y=万，则x=25品，令=5，则2+. 3x。 w小H 4V3+y) AMBN=412-4）.4×3xe4 …12分 3x6 3x6 又|AF=BF=2,即|AF,‖BF=4,AMI‖BN=|AF|BF|, AMI_AFI …14分 BFBNI 又∠MAF=∠FBN=60°，.△AFM∽△BNF, ……16分 .∠AFM=∠FNB.…17分 (注：（Ⅱ）(i）若利用方法一求解，在（ⅱ）中直线1的方程为3x。x+4y。y=12需进行说明，未 说明直接运用扣2分.) 第6页（共6页） ( ★ 保密 · 启用前 ★ ) 吉林地区普通中学2025-2026学年度高中毕业年级第二次调研测试 数 学 试 题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。 1．已知，则 A． B． C． D． 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于，那么点与另一个焦点的距离 等于 A． B． C． D．或 4．已知等差数列的前项和为，，，则 A． B． C． D． 5．已知函数是奇函数，则实数的值为 A． B． C． D． 6．下列满足经过点且与直线相切的圆的方程是 A． B． C． D． 7．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取名学生．通过测 验得到如下的列联表： 单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲 乙 合计 附：，其中． 下列结论正确的是 A．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率无差异 B．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 D．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 8．如图，四边形是面积为的正方形，以为斜边作等腰直角三角形，再以 ，为边分别作正方形，，点是 的中点，则的值为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在正四棱锥中，则 A． B．平面 C．平面平面 D．直线与所成的角不可能为　 10．已知函数的一条对称轴方程为，设函数 ，则 A． 　　　　　 B．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的，就得到函数的图象 C．函数的图象关于点中心对称 D．直线是曲线的切线 11．如图，抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，直线与抛物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点，则 A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B．以为直径的圆与轴相切 C． D．四边形面积的最小值为　 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中第14题的第一个空填对得2分， 第二个空填对得3分。 12．已知平面向量，，若，则 . 13．已知数列的前项和为，若，则 . 14．在正四棱台中，，，点是四边形 内的动点（含边界）. 若点在线段上，则点到直线的距离的最小值 为 ；若，则点的轨迹长度为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 如图，在长方体中，，，，，，，分别是，，，，，各棱的中点． （Ⅰ）求证: 平面； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 16．（本小题满分15分） 年巴黎奥运会，中国体育代表团共获得金、银、铜，金牌数创下中国代表团境外奥运会最佳战绩．在男子米自由泳决赛中，中国小将潘展乐游出中国速度，以秒的成绩打破世界纪录斩获金牌，这也是中国游泳队首次夺得该项目的奥运冠军．以下是近届奥运会男子米自由泳项目冠军成绩记录（单位：），如表所示． 年份代码 年份 冠军成绩 （Ⅰ）求上表中冠军成绩的极差与中位数； （Ⅱ）根据表中的样本数据计算年份代码与冠军成绩的样本相关系数，并推断它们 的相关程度（精确到）； （Ⅲ）求冠军成绩关于年份代码的经验回归方程（精确到）． 附：参考公式：样本相关系数， 经验回归方程中，，． 参考数据：，， ，． 17．（本小题满分15分） 已知的内角，，的对应边分别为，，，且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，，数列的通项公式为， 设为数列的前项和，求. 18．（本小题满分17分） 已知函数. （Ⅰ）求的极小值； （Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）求不等式的解集. 19．（本小题满分17分） 如图，椭圆:的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为， ，为坐标原点，且是面积为的等边三角形. （Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率； （Ⅱ）若点为椭圆上一点，且在轴左侧，设过点与椭圆相切的直线为，过， 两点分别作轴的垂线交直线于，两点. （i）若点的纵坐标是，求的面积； （ii）证明：. 命题、校对：高三数学核心组 ( 高三数学试题 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $