精品解析：吉林省吉林地区普通中学2025-2026学年高三上学期第二次调研考试数学试卷

吉林地区普通中学学年度高中毕业年级第二次调研测试数 学 试 题 说明： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚. 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】求出复数的共轭复数，然后根据复数的乘法法则计算. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用补集的运算求解. 【详解】，， ，选项B正确. 故选：B. 3. 双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于5，那么点与另一个焦点的距离等于（ ） A. 1 B. 2 C. 11 D. 1或11 【答案】C 【解析】 【分析】通过双曲线方程求出，设双曲线两个焦点为，则，再解方程即可． 【详解】双曲线的标准方程是， ，设双曲线两个焦点为，, ， 解得或（舍去）， 即点与另一个焦点的距离等于11． 故选：C． 4. 已知等差数列的前项和为，则 （ ） A. 48 B. 52 C. 56 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】设出首项和公差，结合题意求解基本量，进而利用求和公式求解即可. 【详解】设首项为，公差为， 因为，所以， 因为，所以，解得 ， 此时，解得 ， 可得，故A正确. 故选：A 5. 已知函数是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得对均成立，计算可求得实数的值. 【详解】若 ，则，函数无意义，故， 由，解得，所以函数的定义域为 因为函数是奇函数，所以对均成立， 即对均成立， 所以对均成立， 所以对均成立， 所以对均成立， 因为，所以对均成立，所以. 故选：D. 6. 下列满足经过点且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先验证四个圆是否经过点，再验证圆心到直线的距离是否等于半径，即可求解 【详解】将代入A,B,C,D中的四个方程中，B，D成立A，C不成立，故排除AC； 在选项B中，此圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以该圆与直线相切，满足题意； 在选项D中，此圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以该圆与直线不相切，不满足题意. 故选：B 7. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取100名学生．通过测验得到如下的列联表： 单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列结论正确的是（ ） A. 依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率无差异 B. 依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 C. 依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 D. 依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立性检验的基本思想，结合已知计算得，逐项进行分析即可求解. 【详解】零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异， A，若，因为，故有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率有差异，故A错误； B，若，因为，故有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率有差异，故B正确； C，若，因为，故没有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率无差异，故C错误； D，若，因为，故没有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率无差异，故D错误. 故选：B 8. 如图，四边形是面积为的正方形，以为斜边作等腰直角三角形 ，再以为边分别作正方形，点是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，连接，则可得到，建立平面直角坐标系，求出的坐标，利用向量的数量积公式可求得，再结合余弦的倍角公式即可求得. 【详解】因为正方形的面积为，所以正方形的边长为； 如图，连接，则，建立如图平面直角坐标系，则； 所以； 所以，即； 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正四棱锥中，则（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 直线与所成的角不可能为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，C，利用空间中两直线夹角的向量求法判断D即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，连接交于， 连接 ，则 平面， 以为原点，建立空间直角坐标系，不妨设， 则，，， ，， 对于A，可得，， 得到，则 不成立，故A错误， 对于B，由题意得，， 设面 的法向量为， 则，令，解得，， 得到，则，又面 ， 可得 平面 ，故B正确， 对于C，由题意得，， 设面 的法向量为， 则， 令，解得 ，，得到， 由题意得，， 设面 的法向量为， 则， 令 ，解得 ，，得到， 可得，则平面平面 ，故C正确， 对于D，由题意得，， 设直线与所成的角为 ， 得到， 若，则，即，解得 ， 而，则 与题意不符， 可得直线与所成的角不可能为 ，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数的一条对称轴方程为，设函数，则（ ） A. B. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的，就得到函数的图象 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数的一条对称轴方程为，得到,所以； 所以，，利用函数图像变换判断B即可；利用对称中心处 判断C；假设直线是曲线的切线，切点为，则需满足，但是该方程无解，故D错误. 【详解】因为函数的一条对称轴方程为； 所以，得到, 因为，所以，故A正确；； ，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，故选项B错误； 因为，所以是函数的对称中心，故选项C正确；，假设直线是曲线的切线，切点为，则，即，解得, 或， ;但是 当, 时，， ; 当, 时，， ; 不满足，所以直线不是曲线的切线，故选项D错误； 故选：AC. 11. 如图，抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相交于 两点，则（ ） A. 以为直径的圆与抛物线的准线相切 B. 以为直径的圆与轴相切 C. D. 四边形 面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用抛物线的定义表示出，计算即可得；对B，求出该圆圆心及半径，借助切线的性质判定即可得；对C，设，，与抛物线联立，得到、的长度后结合基本不等式即可得；对D，根据，结合基本不等式即可求解． 【详解】抛物线，焦点，准线方程为， 设，， ，，， 以为直径的圆的圆心横坐标为，半径， 圆心到准线的距离， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相切，故A正确； 的中点坐标为， 所以以为直径的圆的半径， 圆心到轴的距离为， 所以以为直径的圆与轴相切，故B正确； 设直线的斜率为，，所以直线的斜率为， 直线的方程为， 联立， ， ， ， 直线的方程为， 同理联立，可得， 则，故C错误； ，所以四边形 面积 ，当且仅当，即 时等号成立， 即四边形 面积的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 12. 已知平面向量，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算及向量平行的充要条件、模长的坐标公式列式计算即可得到结果. 【详解】由，可得， 由，可得，解得， 所以，. 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为，若，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数列的前项和与的关系，通过和两种情况分别求出和的表达式，再验证是否满足时的表达式，进而求出数列的通项公式. 【详解】由，当时，，所以 . 当时，， 所以，所以数列是首项为 ，公比 的等比数列， 所以. 当时，，上式也成立. 综上，. 故答案为： 14. 在正四棱台中，，点是四边形内的动点（含边界）.若点在线段上，则点到直线的距离的最小值为_______；若，则点的轨迹长度为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，利用异面直线间的距离公式即可求解，第二空由圆的定义求出点的轨迹即可求解. 【详解】 如图连接，则，平面.过作，则，，又，故，. 如图：以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设与都垂直的向量为，则，取，则，异面直线之间的距离，则点到直线的距离的最小值为. 如图：过作 因为，所以，所以点在正方形内，以为圆心,为半径的圆弧上，因为，所以，，所以，同理,所以，所以点的轨迹长度为. 故答案为：； 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，分别是各棱的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线得到，利用正方形的对角线得到 ，从而得到，由为长方体得到又平面，利用线面垂直的定义得到，利用线面垂直的判定定理得到平面. （2）以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用向量的数量积求出与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 分别为 的中点，， 在长方体中，，为正方形， ，，， 又平面，平面，， ， 平面， 平面，平面. 【小问2详解】 以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， ，分别为的中点， ，， ，， ，， 设平面的法向量为， ，， 取 ，解得，则，， ， 设与平面所成的角为， 则， 故与平面所成角的正弦值为. 16. 2024年巴黎奥运会，中国体育代表团共获得40金、27银、24铜，金牌数创下中国代表团境外奥运会最佳战绩.在男子100米自由泳决赛中，中国小将潘展乐游出中国速度，以46秒40的成绩打破世界纪录斩获金牌，这也是中国游泳队首次夺得该项目的奥运冠军. 以下是近10届奥运会男子100米自由泳项目冠军成绩记录（单位：s），如表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份 1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 2016 2020 2024 冠军成绩 48.63 49.02 48.74 48.30 48.17 47.21 47.52 47.58 47.02 46.40 （1）求上表中冠军成绩的极差与中位数； （2）根据表中的样本数据计算年份代码与冠军成绩的样本相关系数，并推断它们的相关程度（精确到0.01）； （3）求冠军成绩关于年份代码的经验回归方程（精确到0.01）. 附：参考公式：样本相关系数，经验回归方程中，. 参考数据：，. 【答案】（1）极差为；中位数为 （2），有较强的线性相关性； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据，利用极差及中位数的定义求解. （2）利用给定的数据，利用样本相关系数公式计算即得. （3）求出样本中心点，再利用最小二乘法求出回归直线方程. 【小问1详解】 成绩由小到大排列为：， 所以冠军成绩的极差为；中位数为. 【小问2详解】 依题意，， 所以样本相关系数， 由，得年份代码与冠军成绩有较强的线性相关性. 【小问3详解】 依题意，，， 则， 所以冠军成绩关于年份代码的经验回归方程. 17. 已知的内角的对应边分别为，且． （1）求； （2）若，数列的通项公式为，设为数列的前项和，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦化简即得. （2）由（1）的结论，利用正弦定理求出，进而求出数列的通项，再利用周期性及并项求和法求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则，即， 于是，而 ，则，又 ， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，而，则，又，则由正弦定理得， 因此，函数的最小正周期为3， 因此数列是以3为周期的周期数列， ，而 ， 所以. 18. 已知函数. （1）求的极小值； （2）当 时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得，利用导函数分析单调性，从而得到极小值. （2）将不等式转化为当 时，恒成立； 令，则只需即可，令，得到.分和两种情况讨论即可. （3）不等式即，设，利用导数研究其单调性且，所以当时， ，当时， ，当 时， ，故不等式的解集为. 【小问1详解】 函数 定义域为，求导得； 令，得到 ； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因此，在 处取得极小值. 【小问2详解】 当 时，恒成立，即恒成立； 令，则， 令，得到. 当，即时，在上， 函数单调递增，满足条件； 当，即时，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在处有最小值； 令，则，所以在上单调递减； ，即，不满足条件； 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 不等式即，设，得到； 令，得到，且 当时， ，单调递减； 当时， ，单调递增； ， 所以当时， ，当时， ，当 时， ； 故不等式的解集为. 19. 如图，椭圆 的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为 为坐标原点，且是面积为的等边三角形. （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）若点为椭圆上一点，且在轴左侧，设过点与椭圆相切的直线为，过 两点分别作轴的垂线交直线于 两点. （i）若点的纵坐标是，求 的面积； （ii）证明： . 【答案】（1）， （2）（i）4，（ii）证明:由（i）知,直线 的方程为 ， 令，则，即 ， 令，则，即 ， ①当直线的斜率不存在时， 由，得， 所以 ，故 ， 由 ，则， 由 为锐角，则，故 ， ②当直线 的斜率不存在时， ， 与①同理可得故 ， 则， 由 为钝角，则，故 ， ③当直线 的斜率存在时，且都不为， 设直线 的斜率为，则， 设直线的斜率为，则， 又， 则，要证 ，只需证 ， 只需证， 即证 ， 即证， 而满足 ，则成立， 故 ． 【解析】 【分析】(1)依题意求出,即可求出椭圆的标准方程及离心率； (2)（i）得 ，设直线 的方程为： ，与椭圆方程联立，得切线方程，即可求解； （ii）由（i）知,直线 的方程为 ，分三种情况：①当直线的斜率不存在时，②当直线 的斜率不存在时，③当直线 的斜率存在时，进行求解． 【小问1详解】 是面积为的等边三角形，且 ， 则，得 ， 则 ，即 ， 得椭圆的标准方程为，离心率为． 【小问2详解】 （i）设 ，当时，代入椭圆， 可得，即 ， 由题意可知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ， 由，消去，得 ， 由 ，得 ，得， 则直线 的方程为，令，则， 故 ，即 的面积为4. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林地区普通中学学年度高中毕业年级第二次调研测试数 学 试 题 说明： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚. 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于5，那么点与另一个焦点的距离等于（ ） A. 1 B. 2 C. 11 D. 1或11 4. 已知等差数列的前项和为，则 （ ） A. 48 B. 52 C. 56 D. 96 5. 已知函数是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 下列满足经过点且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取100名学生．通过测验得到如下的列联表： 单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列结论正确的是（ ） A. 依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率无差异 B. 依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 C. 依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 D. 依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 8. 如图，四边形是面积为 的正方形，以为斜边作等腰直角三角形 ，再以为边分别作正方形，点是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正四棱锥中，则（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 直线与 所成的角不可能为 10. 已知函数的一条对称轴方程为，设函数，则（ ） A. B. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的，就得到函数的图象 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 直线是曲线的切线 11. 如图，抛物线的焦点为 ，过点 作两条互相垂直的直线，直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相交于 两点，则（ ） A. 以为直径的圆与抛物线的准线相切 B. 以为直径的圆与轴相切 C. D. 四边形 面积的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 12. 已知平面向量，若，则____________. 13. 已知数列的前项和为，若，则_____________. 14. 在正四棱台中，，点是四边形内的动点（含边界）.若点在线段上，则点到直线的距离的最小值为_______；若，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，分别是各棱的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 16. 2024年巴黎奥运会，中国体育代表团共获得40金、27银、24铜，金牌数创下中国代表团境外奥运会最佳战绩.在男子100米自由泳决赛中，中国小将潘展乐游出中国速度，以46秒40的成绩打破世界纪录斩获金牌，这也是中国游泳队首次夺得该项目的奥运冠军. 以下是近10届奥运会男子100米自由泳项目冠军成绩记录（单位：s），如表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份 1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 2016 2020 2024 冠军成绩 48.63 49.02 48.74 48.30 48.17 47.21 47.52 47.58 47.02 46.40 （1）求上表中冠军成绩的极差与中位数； （2）根据表中的样本数据计算年份代码与冠军成绩的样本相关系数，并推断它们的相关程度（精确到0.01）； （3）求冠军成绩关于年份代码的经验回归方程（精确到0.01）. 附：参考公式：样本相关系数，经验回归方程中，. 参考数据：，. 17. 已知 的内角的对应边分别为，且． （1）求； （2）若，数列的通项公式为，设为数列的前项和，求． 18. 已知函数. （1）求的极小值； （2）当 时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求不等式的解集. 19. 如图，椭圆 的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为 为坐标原点，且是面积为的等边三角形. （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）若点为椭圆上一点，且在轴左侧，设过点与椭圆相切的直线为，过 两点分别作轴的垂线交直线于 两点. （i）若点的纵坐标是，求 的面积； （ii）证明： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $