精品解析：2026年辽宁省铁岭中学生能力训练数学模拟练习（四）

2026年中学生能力训练 数学模拟练习（四） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示是一个收藏于深圳市博物馆的钧瓷月白釉碗，它具有很高的历史价值和艺术价值．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 如图，从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 如图，小明设计一组测量实验．①将的水倒入一个容积为的杯子中；②若将5颗完全相同的大铁球放入水中，水刚好到杯口，没有溢出；③若将8颗完全相同的小铁球放入水中，水没有满；④再加入1颗大铁球，水满且溢出来．根据以上的实验过程，推测1颗小铁球的体积可能是（ ）． A. B. C. D. 5. 某校九年级开展安全知识竞赛，进入决赛的学生有30名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 100 99 98 97 人数 6 9 12 3 则这30名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. ， 99 B. 99， 99 C. ， 98 D. ， 98 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点D与点C关于x轴对称．则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 9. 已知直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为________． 13. 如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表： 0 2 3 6 … 0 … 则该运动员踢出的足球在第_________s落地． 14. 如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 15. 如图，正方形的边长为4，点E是中点，以D为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点G和H，再以A为圆心，长为半径作弧交于点M，以M为圆心，长为半径作弧交前弧于点N，作射线交延长线于点P，连接并延长交于点F，则的长为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 17. 项目名称：红色文创·匠心算理——辽宁非遗面人采购探究 一、项目情境 “如果你有时间，一定要来一趟辽宁：在抗美援朝烈士陵园致敬英烈，走进中国工业博物馆触摸钢铁脊梁，感受共和国长子的时代担当．” 国庆黄金周，辽宁红色旅游线路备受青睐．沈阳中街某非遗面人工作室里，承载着雷锋精神、辽宁舰记忆的文创面人供不应求．为满足市场需求，工作室的王师傅计划采购两款粘土制作精品面人： 他用500元购进的A款普通粘土，和用750元购进的B款改良粘土．已知两种粘土购进的数量相同，且每份B款改良粘土的进价比A款粘土的进价多5元． 二、项目任务 任务1：核算原料成本 （1）请根据情境，求A、B两款粘土每份的进价分别是多少元？ 任务2：制定采购计划 （2）王师傅决定追加投入，计划用不超过1320元的总费用，购进这两款粘土共100份用于赶工．请问B款改良粘土最多能购进多少份？ 18. 乡村振兴战略推进中，某地依托北斗导航技术优化农田规划，技术员用边长为1的正方形定位模块拼出五连格L形测量组件，用于直角三角形高标准农田片区的边界校准，其中，，测量组件的顶点D、E、F、G恰好贴合农田三边（如图1），为精准测算种植面积提供数据支持． （1）基础问题：请求出这块直角三角形高标准农田的面积． （2）问题提出与解决： 技术员将L形测量组件接入北斗定位坐标系，让农田顶点A、B、C分别落在坐标轴上（如图2），北斗系统反馈反比例函数（）的图象经过测量组件顶点D，试求该反比例函数的解析式，为定位数据传输提供基础模型． 19. 某校志愿者社团为了解全校2800名学生参加志愿服务的情况，随机抽取部分学生进行以下问卷调查： 1．本学期您参加志愿服务的时长（每项含最大值，不含最小值）大约是___________； A. B. C. D. 以上 2．学校计划组织学生们到博物馆参加“小小解说员”的志愿服务活动，您最想去的一座博物馆是___________． E．烟台市博物馆 F．北极星钟表文化博物馆 G．磁山地质博物馆 H．张裕酒文化博物馆 形成了如下不完整的调查报告： 请根据以上信息解答下列问题： （1）求出参与本次抽样调查的学生人数，并将条形统计图和扇形统计图补充完整； （2）说明在抽取的学生中，本学期参加志愿服务时长的中位数在哪个时段； （3）请估计在本校名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约“”的学生人数； （4）若有一男生一女生想采用抽签的方式（第一人抽签后又放回，第二人再抽取）决定去哪座博物馆解说，请用树状图或者列表格求出两人正好抽到各自性别中最想去的博物馆的概率． 20. 综合实践：智慧城市交通规划中的几何建模 为推进国家智慧城市交通网建设与城市立体交通规划的实施，某城市规划院设计了圆形交通枢纽模型：为城市核心交通圈（圆心为O），是的直径（代表枢纽主交通干线），规划的快速联络道是的切线（快速道沿切线方向接入交通圈），交通圈上的换乘节点B在上，且快速道与联络道的规划长度相等（）．规划的综合廊道与交通圈的核心联络弦交于换乘分流点E． （1）规划师需验证：联络道是否也为的切线（即是的切线），请完成证明； （2）若规划中测得（廊道规划的角度设计关系），求的比值． 21. 综合与实践 辽宁某化工厂附近的空气质量监测站，建有一座垂直于地面的采样监测塔，塔底B位于水平地面上．为监测不同高度处的废气排放浓度，科研人员利用地面固定气象站获取的气流数据，分析监测塔上方C区域的气团运动情况． 如图所示，在气流稳定区C处进行原位采样分析时，测得采样口A处的俯角，测得塔底B处（地面空气基准点）的俯角．根据现场风廓线仪监测，空气沿水平方向由C点顺风移动84米后到达D点，此时在D处测得采样口A处的俯角（气团运动至D处时与A处样本浓度趋于一致）．已知图中各点共面．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） （1）计算监测塔高度：为确保废气处理设备的有效运行，需计算该监测塔相对于地面的垂直高度，请完成计算（结果精确到1米）； （2）实验方案优化：在后续监测方案优化中，若引入高精度激光测高仪，可直接获取C点到地面的垂直距离．请分析原数据采集方案中，至多可以删减的数据为________． 22. 某同学制作一架小型航模，其主体骨架由若干根轻质杆组成．在骨架的一部分结构中，有三根长度相同的杆，分别记作，其中A是骨架上的一个节点，B、C是位于同一直线上的两个连接点，且杆与之间的夹角为，在组装过程中，他将杆绕节点A沿逆时针方向旋转一个角度a（），使其到达新的位置，然后用两根短杆分别连接B与D、D与C，构成一个四边形骨架． （1）如图1，当时，________°，________； （2）在上述结构中，过节点A作一条与垂直的直线，该直线与相交于点E，并与直线相交于点F，再用一根杆连接B与F．设当时，试探究线段之间的数量关系并证明你的结论； （3）在第（2）问的条件下，若，在杆AC绕A旋转的整个过程中（），当时，求的长．（直接写出结果） 23. 在平面直角坐标系中，y是关于自变量x的函数，给定一个实数k，构造一个新函数，当，，当，，即，叫“界变化函数”． 例当时，一次函数的“2界变化函数”为． （1）求一次函数的“3界变化函数”； （2）点在反比例函数的“0界变化函数”上，求的值； （3）已知关于的二次函数．点在该二次函数的“界变化函数”上． ①求的值； ②当时，该二次函数的“界变化函数”的取值范围是，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中学生能力训练 数学模拟练习（四） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正数和负数，找出算筹和数字的对应关系是关键．根据题干描述的算筹计数法计数即可． 【详解】解 ∶依题意得 “”所表示的数是． 故选∶ D． 2. 如图所示是一个收藏于深圳市博物馆的钧瓷月白釉碗，它具有很高的历史价值和艺术价值．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：B． 3. 如图，从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是关键． 根据题意得到，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 4. 如图，小明设计一组测量实验．①将的水倒入一个容积为的杯子中；②若将5颗完全相同的大铁球放入水中，水刚好到杯口，没有溢出；③若将8颗完全相同的小铁球放入水中，水没有满；④再加入1颗大铁球，水满且溢出来．根据以上的实验过程，推测1颗小铁球的体积可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据大铁球的实验情况求出大铁球体积的范围，再结合小铁球的实验情况，求出小铁球体积的范围，进而确定答案． 本题主要考查体积的估算与不等式的简单应用，熟练掌握根据实验情况列出关于球体积的不等式是解题的关键． 【详解】解：杯子还能装的体积：． 由②设大铁球体积为，则，； 设小铁球体积为， 由③得， ． 由得， ． 结合选项，只有符合． 故选：B． 5. 某校九年级开展安全知识竞赛，进入决赛的学生有30名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 100 99 98 97 人数 6 9 12 3 则这30名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. ， 99 B. 99， 99 C. ， 98 D. ， 98 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，理解众数和中位数的定义是解题的关键．众数为出现次数最多的数据，中位数为第15和第16个数据的平均值，按此计算即可． 【详解】解：∵ 98分出现12次，次数最多， ∴ 众数为98， ∵ 总数据30个，中位数需取第15和第16个数据的平均值， 累积人数：97分3人（第位），98分12人（第位），99分9人（第位）， ∴ 第15位数据为98分，第16位数据为99分， ∴ 中位数 ． 故选：D 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算和合并同类项，根据同底数幂乘除法计算法则，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点D与点C关于x轴对称．则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知点的坐标确定原点的位置，进而确定点的坐标，再根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出点D的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立直角坐标系如图： 由图可知：， ∵点D与点C关于x轴对称， ∴点D的坐标是． 8. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 9. 已知直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，先把点A的坐标代入中求出点A的坐标，再根据两直线的交点的横纵坐标即为对应的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵方程组可变形为 ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故选：A． 10. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的除法，根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握相似三角形的性质；由题可知两个三角形相似，且大的三角形的边长是短的2倍，进而得到答案即可； 【详解】解：∵在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表： 0 2 3 6 … 0 … 则该运动员踢出的足球在第_________s落地． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键． 【详解】解：由题意可设抛物线解析式为：， 当时，；当时，， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得：或， 则该运动员踢出的足球在第落地， 故答案为：． 14. 如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像的性质；熟练运用反比例函数性质是解题的关键． 先求长度，再求点坐标，进而得出函数解析式，可求得面积； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ∴该反比例函数的表达式为：， ∴． 故答案：9． 15. 如图，正方形的边长为4，点E是中点，以D为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点G和H，再以A为圆心，长为半径作弧交于点M，以M为圆心，长为半径作弧交前弧于点N，作射线交延长线于点P，连接并延长交于点F，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作于点H，设，则可知，由作图可知，从而证明，从而得到， 证明得到，可求得，证明∽得到，即，可求得，则，，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：过点F作于点H，如图所示：   设， 四边形ABCD是正方形，且边长为4， ，， ， 点E是AB的中点， ， ， 由尺规作图可知：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得： 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，用两次相似建立方程求解是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查绝对值，负整数指数幂，零次幂等实数的运算，分式的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，负整数指数幂，零次幂，再计算加减即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 项目名称：红色文创·匠心算理——辽宁非遗面人采购探究 一、项目情境 “如果你有时间，一定要来一趟辽宁：在抗美援朝烈士陵园致敬英烈，走进中国工业博物馆触摸钢铁脊梁，感受共和国长子的时代担当．” 国庆黄金周，辽宁红色旅游线路备受青睐．沈阳中街某非遗面人工作室里，承载着雷锋精神、辽宁舰记忆的文创面人供不应求．为满足市场需求，工作室的王师傅计划采购两款粘土制作精品面人： 他用500元购进的A款普通粘土，和用750元购进的B款改良粘土．已知两种粘土购进的数量相同，且每份B款改良粘土的进价比A款粘土的进价多5元． 二、项目任务 任务1：核算原料成本 （1）请根据情境，求A、B两款粘土每份的进价分别是多少元？ 任务2：制定采购计划 （2）王师傅决定追加投入，计划用不超过1320元的总费用，购进这两款粘土共100份用于赶工．请问B款改良粘土最多能购进多少份？ 【答案】（1）A款粘土每份的进价是10元，则B款改良粘土每份的进价是15元 （2）64份 【解析】 【分析】（1）设A款粘土每份的进价是x元，则B款改良粘土每份的进价是元，根据用500元购进的A款普通粘土，和用750元购进的B款改良粘土，两种粘土购进的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进m份B款改良粘土，根据计划用不超过1320元的总费用，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A款粘土每份的进价是x元，则B款改良粘土每份的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 元， 答：A款粘土每份的进价是10元，则B款改良粘土每份的进价是15元； 【小问2详解】 解：设购进m份B款改良粘土，则购进份A款改良粘土， 根据题意可得：， 解得：， 答：最多可以购进64份B款改良粘土． 18. 乡村振兴战略推进中，某地依托北斗导航技术优化农田规划，技术员用边长为1的正方形定位模块拼出五连格L形测量组件，用于直角三角形高标准农田片区的边界校准，其中，，测量组件的顶点D、E、F、G恰好贴合农田三边（如图1），为精准测算种植面积提供数据支持． （1）基础问题：请求出这块直角三角形高标准农田的面积． （2）问题提出与解决： 技术员将L形测量组件接入北斗定位坐标系，让农田顶点A、B、C分别落在坐标轴上（如图2），北斗系统反馈反比例函数（）的图象经过测量组件顶点D，试求该反比例函数的解析式，为定位数据传输提供基础模型． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解直角三角形，求出，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，进而求出的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可； （2）过作轴于，证明，，进而求出点坐标，待定系数法求出反比例函数的解析式即可. 【小问1详解】 解：如图所示： 由题意知，，，， ，， ，， ，， ， ∴此直角三角形的面积为； 【小问2详解】 解：如图所示：过作轴于， 由题意知，，，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ，即， 解得，， 同理， ， 即， 解得，， ， ， ， ∴反比例函数解析式为. 19. 某校志愿者社团为了解全校2800名学生参加志愿服务的情况，随机抽取部分学生进行以下问卷调查： 1．本学期您参加志愿服务的时长（每项含最大值，不含最小值）大约是___________； A. B. C. D. 以上 2．学校计划组织学生们到博物馆参加“小小解说员”的志愿服务活动，您最想去的一座博物馆是___________． E．烟台市博物馆 F．北极星钟表文化博物馆 G．磁山地质博物馆 H．张裕酒文化博物馆 形成了如下不完整的调查报告： 请根据以上信息解答下列问题： （1）求出参与本次抽样调查的学生人数，并将条形统计图和扇形统计图补充完整； （2）说明在抽取的学生中，本学期参加志愿服务时长的中位数在哪个时段； （3）请估计在本校名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约“”的学生人数； （4）若有一男生一女生想采用抽签的方式（第一人抽签后又放回，第二人再抽取）决定去哪座博物馆解说，请用树状图或者列表格求出两人正好抽到各自性别中最想去的博物馆的概率． 【答案】（1）， 补全的条形统计图和扇形统计图如下： （2） （3）人 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图，条形统计图和利用频率估计概率，能够熟练算出调查总人数是解题的关键． （1）参与本次抽样调查的学生人数为，计算即可，然后再补全条形统计图和扇形统计图； （2）根据中位数的定义，即可求解． （3）根据样本中参加志愿服务的时长大约“”的百分比乘以总体数量即可得出本学期时长大约“”的学生人数； （4）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：参与本次抽样调查的学生人数为人， ∴、志愿时间为的有：人， 、志愿时间为以上的占比为：， 【小问2详解】 解：参与本次抽样调查的学生人数共有人，第和个在“”. 故本学期参加志愿服务时长的中位数在． 【小问3详解】 解：人， 答：本校本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数有人． 【小问4详解】 解：由统计图可知：男生、女生最想去都是．烟台市博物馆．列表如下， 共有种等可能结果．两人正好抽到各自性别中最想去的博物馆的有1种情形（男生最想去，女生最想去）， ∴两人正好抽到各自性别中最想去的博物馆的概率为． 20. 综合实践：智慧城市交通规划中的几何建模 为推进国家智慧城市交通网建设与城市立体交通规划的实施，某城市规划院设计了圆形交通枢纽模型：为城市核心交通圈（圆心为O），是的直径（代表枢纽主交通干线），规划的快速联络道是的切线（快速道沿切线方向接入交通圈），交通圈上的换乘节点B在上，且快速道与联络道的规划长度相等（）．规划的综合廊道与交通圈的核心联络弦交于换乘分流点E． （1）规划师需验证：联络道是否也为的切线（即是的切线），请完成证明； （2）若规划中测得（廊道规划的角度设计关系），求的比值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，则，根据切线的判定即可证明结论； （2）连接，设交于点F，证明，设，，则，求出，证明，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵与相切于点A， ， ，，， ， ， ∵是的半径，且， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接，设交于点F， ∵、是的切线． ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴垂直平分，垂足为点， ∴，，， ∴， ， ∴是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 设，，则， ，且，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 的值为． 21. 综合与实践 辽宁某化工厂附近的空气质量监测站，建有一座垂直于地面的采样监测塔，塔底B位于水平地面上．为监测不同高度处的废气排放浓度，科研人员利用地面固定气象站获取的气流数据，分析监测塔上方C区域的气团运动情况． 如图所示，在气流稳定区C处进行原位采样分析时，测得采样口A处的俯角，测得塔底B处（地面空气基准点）的俯角．根据现场风廓线仪监测，空气沿水平方向由C点顺风移动84米后到达D点，此时在D处测得采样口A处的俯角（气团运动至D处时与A处样本浓度趋于一致）．已知图中各点共面．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） （1）计算监测塔高度：为确保废气处理设备的有效运行，需计算该监测塔相对于地面的垂直高度，请完成计算（结果精确到1米）； （2）实验方案优化：在后续监测方案优化中，若引入高精度激光测高仪，可直接获取C点到地面的垂直距离．请分析原数据采集方案中，至多可以删减的数据为________． 【答案】（1）150米 （2）84米和 【解析】 【分析】（1）延长交于点G，则，在中由得到．设米，则米，根据列出方程，求出x的值，得到米，米，再根据在中，，求出米，从而根据求解即可； （2）已知点C到的距离，结合（1）可知，利用数据，，求得的长度即可，所以原数据采集方案中至多可以删减的数据为米和． 【小问1详解】 解：延长交于点G，则， ∵在中，， ． 设米，则米， ∵在中，， ，即， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 米，米． ∵在中，， ， （米）， （米）， 答：该监测塔相对于地面的垂直高度约为150米； 【小问2详解】 解∶已知点C到的距离，结合（1）可知，利用数据，，求得的长度即可，所以原数据采集方案中至多可以删减的数据为米和． 求解如下∶设高精度激光测高仪直接获取C点到地面的垂直距离为a米，则米， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）． 22. 某同学制作一架小型航模，其主体骨架由若干根轻质杆组成．在骨架的一部分结构中，有三根长度相同的杆，分别记作，其中A是骨架上的一个节点，B、C是位于同一直线上的两个连接点，且杆与之间的夹角为，在组装过程中，他将杆绕节点A沿逆时针方向旋转一个角度a（），使其到达新的位置，然后用两根短杆分别连接B与D、D与C，构成一个四边形骨架． （1）如图1，当时，________°，________； （2）在上述结构中，过节点A作一条与垂直的直线，该直线与相交于点E，并与直线相交于点F，再用一根杆连接B与F．设当时，试探究线段之间的数量关系并证明你的结论； （3）在第（2）问的条件下，若，在杆AC绕A旋转的整个过程中（），当时，求的长．（直接写出结果） 【答案】（1）60； （2） ，证明如下： ∵将线段绕点逆时针旋转（），得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 如图，延长至，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由（1）可得， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． （2）同（1）的方法证明是等边三角形，延长至，使得，连接，证明，再得出，根据（1）的结论，即可求解； （3）由（1）的结论可得：，进而在和中，利用勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点逆时针旋转（），得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， 由（1）的结论可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，则当时，符合题意，如图， 在中，， 在中，， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，y是关于自变量x的函数，给定一个实数k，构造一个新函数，当，，当，，即，叫“界变化函数”． 例当时，一次函数的“2界变化函数”为． （1）求一次函数的“3界变化函数”； （2）点在反比例函数的“0界变化函数”上，求的值； （3）已知关于的二次函数．点在该二次函数的“界变化函数”上． ①求的值； ②当时，该二次函数的“界变化函数”的取值范围是，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，求出函数解析式，分2种情况，进行讨论求解即可； （3）①根据新定义，求出函数解析式，进而确定点在哪一部分上，待定系数法进行求解即可；②分和两种情况，根据二次函数的增减性进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，； 【小问2详解】 解：由题意，； ∵点在反比例函数的“0界变化函数”上， ∴或 ∴； 【小问3详解】 解：①由题意，， ∵点在该二次函数的“界变化函数”上，且． ∴， 解得； ②由①可知：， 如图： 当时，则， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，取得最大值为，当时，取得最小值为0， 当时，则， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最小值为， 当时， 解得或（舍去）； ∵当时，的取值范围是， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $