山东省青岛市崂山区育才学校2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中质量监测 八年级数学（试题） （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1.本试题分第1卷和第Ⅱ卷两部分，共25题。第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分。 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效。 第I卷（共30分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1.(3分)下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2.(3分)若，则下列不等式成立的是（       ） A． B． C． D． 3.(3分)下列变形中，是因式分解的是（       ） A． B． C． D． 4.(3分)小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（       ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 5.(3分)某平板电脑键盘支架如图所示，其中，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若，则的度数为（       ） 　　 A． B． C． D． 6.(3分)如图，两个全答的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（       ） 　　 A．16 B．18 C．20 D．22 7.(3分)如图，直线与直线相交于点，与x轴交于点，则关于x的不等式组的解集是（       ） 　　 A． B． C． D．或 8.(3分)如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转到，、相交于点F，连接，若，则旋转角的度数为（       ） 　　 A． B． C． D． 9.(3分)若不等式组 有 3 个整数解，则 的取值范围是 (     ) A． B． C． D． 10.(3分)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c，则下列结论：①；②；③； ④，其中正确的是（       ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11.(3分)不等式组 的所有整数解的和等于 . 12.(3分)一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是  ． 13.(3分)如图，在中，，在同一平面内，将绕点C顺时针旋转一定角度，到的位置，使得点E在线段上，则  ． 　　 14.(3分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP=PQ=QC=BC，则∠PCQ的度数为  ． 15.(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是  ． 　　 16.(3分)定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是  ． 　　 三、作图题（本题满分6分） 17.(6分). 如图所示的平面直角坐标系中，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上．将向右平移6个单位长度，向上平移2个单位长度，得到，关于点O的中心对称图形是． (1)请画出； (2)请画出； (3)若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标是_________． 四、解答题（本大题共8小题，共66分） 18.(9分)分解因式： (1) (2) (3) 19.(5分)解不等式组，并把它的解集表示在数轴上： 20.(6分)如图，在 △ABC 中，∠C=30°，AD⊥BC，垂足为 D.AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 AC 于点 F，AE=AB. (1)求∠BAE 的度数 (2)若 CD=3，求 DE 的长度 21.(8分) 　　小明需要寄送一批包裹，现了解到A、B两个快递公司的收费标准如下表： 首重费用 续重费用 A公司 包裹重量，收费12元 超过，每增加加收3元 B公司 统一收费 无论重量，均按5元计算，最低收费10元（即不足也按10元计算） 　　设小明需要寄送包裹的重量为（）． (1)若小明寄送包裹的重量为，A公司的收费为_______元，B公司的收费为_______元； (2)若小明寄送包裹的重量超过，则他去哪个公司寄送更划算？ 22.(8分)如图，AC 平分 ∠BAD，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，且 BC=CD。 (1)求证：△BCE≅△DCF。 (2)若 AE=3，求 AB+AD 的值。 23.(10分)类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的． 　　小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法： 　　 　　即，所以． 　　【初步探究】 　　小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：，（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式： 　　 　　通过计算，求得：□所代表的系数是______，☆所代表的常数是______； 　　【深入探究】 　　小明用上述方法对多项式进行因式分解，得到：（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为______； 　　【拓展应用】 　　我们知道，若则或，例如：，则或，由此我们可以求出关于x的方程的一个解为，另一个解为．结合上述信息解答下列问题： 　　（1）若关于x的方程的一个解为，则另一个解为_____； 　　（2）若关于x的方程有两个解为，，则第三个解为______． 24.(10分)某商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调的每台进价比乙种贵300元，用36000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，请解答下列问题： (1)甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元； (2)若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价2000元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调的数量m（台）之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若商场计划用不超过34500元购进两种空调，则甲、乙两种空调各购进多少台时，该商场获得的利润最大？最大利润是多少元？ 25.(10分) 　　如图1，直线与x、y轴分别交于A，B两点，以为直角边在第一象限内作等腰直角，，． 　　 (1) C点坐标为_______； (2)如图2，点E为线段上的一个动点（E不与B，O重合），连接，以为直角边作等腰直角，，连接交x轴于G，求证：G是的中点； (3)如图3，将沿着x轴向左平移得到，直线与y轴交于点M，当以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出点的坐标． 八年级数学试题参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A C B C B A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．0 12．10 13．10 14．（）° 15． 16． 三、作图题（本大题满分 6 分） 17.（1）解：如图所示，即为所求： （2）如图所示，即为所求； （3）由图可得：，，，，，，，，，，，， 的中点为，，的中点为，，的中点为，， 点，同时在，，的垂直平分线上， 又将绕某一点旋转可得到， 旋转中心的坐标为，， 四、解答题（本大题共8小题，共66分） 18.（9分）(1) (2) (3) 19. （5分）解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ． 在同一条数轴上表示不等式的解集，如图： 所以，原不等式组的解集是 ． 20. （6分）（言之有理即可得分） (1) 60° (2) 1 21. （8分）(1)12;10; (2）设A公司的收费为元，设B公司的收费为元 则 由于小明寄送的包裹超过2kg，则 ①当时，3x+9>5x 解得x<4.5, ②当时 3x+9=5x，解得x=4.5 ③当时，3x+9<5x，解得x>4.5， 综上， 当小明寄送包裹重量在2kg以上4.5kg以下时，则选择B公司划算； 当小明寄送包裹重量恰好为4.5kg时，则选择A公司，B公司费用一样； 当小明寄送包裹重量超过4.5kg时，则选择A公司划算； 22. （8分） (1)解：因为AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以CE=CF。 　　在Rt△BCE和Rt△DCF中，已知BC=CD（斜边相等），CE=CF（直角边相等），根据直角三角形全等的判定定理HL（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可以得出△BCE≅△DCF。 (2)   因为AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，AC为公共边，所以可证△ACE≅△ACF（AAS或ASA），因此AE=AF=3。 　　由（1）知△BCE≅△DCF，所以BE=DF。 　　AB+AD=(AE+BE)+(AF-DF)=AE+BE+AF-DF，因为BE=DF，所以AB+AD=AE+AF=3+3=6。 23. （10分）初步探究：；深入探究：；拓展应用：（1）；（2） 24. （10分）(1)解  设乙种空调每台的进价是x元，则甲种空调每台的进价是（x+300）元． 根据题意，得=， 解得x=1500， 经检验，x=1500是所列分式方程的解， 1500+300=1800（元）， ∴甲种空调每台的进价是1800元，乙种空调每台的进价是1500元． (2) 解  由题意可知，购进乙种空调的数量为（20-m）台． y=（2400-1800）m+（2000-1500）（20-m）=100m+10000， ∴y与m之间的函数关系式为y=100m+10000． (3)解  根据题意，得1800m+1500（20-m）≤34500， 解得m≤15； ∵y=100m+10000，100＞0， ∴y随m的增大而增大， ∵m≤15， ∴当m=15时，y的值最大，y 最大=100×15+10000=11500，20-15=5（台）， ∴购进甲种空调15台、乙种空调5台时，该商场获得的利润最大，最大利润是11500元． 25. （10分） (1) (2)  证明：在轴上截取，连接， 　　 　　在等腰直角中，，， 　　由（1）可得， 　　， 　　，， 　　在等腰直角中，，， 　　， 　　又， 　　， 　　， 　　， 　　又，， 　　， 　　， 　　即是的中点； (3) 解：由平移的性质，设直线的解析式为， 　　当时，， 　　当时，， 　　点坐标为，点坐标为， 　　又，， 　　，， 　　当以、、为顶点的三角形是等腰三角形时， 　　①当时，，解得：， 　　此时点坐标为； 　　②当时，，解得：（与重合，舍去），， 　　此时点坐标为； 　　③当时，，解得：， 　　此时点坐标为， 　　综上，点坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $