23.2 一次函数的图象和性质 第2课时 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十二章 一次函数 23.2 一次函数的图象和性质 第2课时 一次函数的图象和性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 一次函数的图象的画法 7. 课堂小结 2. 知识回顾 8. 当堂小练 CONTENTS 10. 拓展与延伸 3. 新课导入 9. 对接中考 5. 知识点2 一次函数的图象的性质 6. 知识点3 一次函数图象的平移规律 1. 会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象理解一次函数的性质. 2. 能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题. 学习目标 知识回顾 一次函数的定义 一般地，形如(k，b是常数，)的函数，叫作一次函数，其中x是自变量. 正比例函数的图象 一般地，正比例函数(k是常数，)的图象是一条经过原点的直线.我们称它为直线. 正比例函数的性质 当时，直线经过第三、第一象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大； 当时，直线经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小. 新课导入 我们知道正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，那么一次函数的图象是否也是一条直线？是否也经过原点？一次函数的图象又具有哪些性质呢？ 思考 新课讲解 知识点1 一次函数的图象的画法 画出函数与的图象. 解：函数y=-3x与y=-3x+1中的自变量x可为任意实数. 列表，表示几组对应值. x … -1 -0.5 0 0.5 1 … y=-3x … 3 1.5 0 -1.5 -3 … y=-3x+1 4 2.5 1 -0.5 -2 描点、连线，画出函数与的图象. y=-3x y=-3x+1 比较两个函数图象的相同点与不同点，你发现了什么？ 探究 新课讲解 函数的图象经过原点，函数的图象与y轴交于点______，即它可以看作由直线向____平移____个单位长度而得到. y=-3x y=-3x+1 根据观察结果填写： 这两个函数的图象形状都是______，并且倾斜程度______. 直线 相同 (0,1) 上 1 思考 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？ 解：这两个函数的图象有上述关系是因为k相同，b不同. 思考 新课讲解 例 1. 画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象. 分析：由于一次函数的图象是直线，所以只要确定两个点就能画出. 解：列表表示当x=0，x=1时两个函数的对应值. x 0 1 y=2x-1 -1 1 y=-0.5x+1 1 0.5 y=-0.5x+1 y=2x-1 过点(0，-1)与(1，1)画出直线y=2x-1； 过点(0，1)与(1，0.5)画出直线y=-0.5x+1. 也可以先画直线y=2x与y=-0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=2x-1与y=-0.5x+1. 新课讲解 3. 一次函数的图象经过点(0，b)，可以由正比例函数 的图象平移 个单位长度得到（当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移）. 下 上 由于两点确定一条直线，画一次函数图象时我们只需描点(0，b)和点 或 (1，k+b)，连线即可. 提示：与x轴的交点坐标是. 2. 直线与直线互相平行； 1. 一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线； 归纳 新课讲解 归纳 1. 两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线(k，b是常数，)与两坐标轴的交点，即(0，b)与(，0)画直线. x y O y=kx+b (0，b) (， 0) 一次函数图象的画法 2. 平移法：一次函数(k，b是常数，)的图象是由直线 沿 y 轴向上(b>0)或向下(b<0)平移 个单位长度得到的，反之，直线 y=kx 也可以通过沿 y 轴平移直线 y=kx+b 得到. x y O y=kx 新课讲解 练一练 一次函数y＝kx＋b，若k＋b＝2 026，则它的图象必经过点(　　) A．(－1，2 026) B．(－1，－2 026) C．(1，2 026) D．(1，－2 026) C 新课讲解 知识点2 一次函数的图象的性质 探究 　画出下列一次函数的图象： (1) y =x+1； 　(2) y =3x+1； (3) y =-x+1；　(4) y =-3x+1． 仿照正比例函数的做法，你能看出当 k 的符号变化时，函数的增减性怎样变化吗？ 6 -2 -5 5 x y O 2 4 A B C D E y =x+1 y =3x+1 y =-x+1 y =-3x+1 k＞0时，直线左低右高，y 随x 的增大而增大； k＜0时，直线左高右低，y 随x 的增大而减小． 思考 新课讲解 一次函数(k，b是常数，)具有如下性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小. 一次函数的性质 b的值与一次函数的增减性有关吗？ 固定k的值，让b的值变化，观察图象： 发现函数的增减性不变， 即一次函数的增减性只与k的正负有关， 而一次函数的图象与y轴交点的位置与b值有关. 思考 新课讲解 1. 当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大. ① b>0时，直线经过第一、二、三象限； ② b<0时，直线经过第一、三、四象限. 2. 当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小. ① b>0时，直线经过第 一、二、四象限； ② b<0时，直线经过第二、三、四象限. 归纳 新课讲解 例 2. P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数图象上的两点，下列判断中，正确的是( ) A. y1＞y2 C. 当x1＜x2时，y1＜y2 B. y1＜y2 D. 当x1＜x2时，y1＞y2 D 解：根据一次函数的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小，所以D为正确答案． 提示：反过来也成立：y越大，x就越小． 新课讲解 例 3. 对于函数y=﹣x+1，下列结论正确的是 ( ) A.它的图象不经过第四象限 B. y随x的增大而增大 C.它的图象必经过点(0,1) D.它的图象必经过点(0,2) C 新课讲解 归纳 一次 函数 （k，b是常数，） k，b的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 图象 性质 经过的 象 限 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 一、二、三 x y O 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 x y O x y O x y O x y O x y O 新课讲解 拓展 1. 在直线(k ≠ 0) 中，k 决定直线的倾斜程度，越大，直线越靠近y轴，即越陡；越小，直线越靠近x 轴，即越缓. 2. b 决定直线与y 轴交点的位置，b＞0，直线与y 轴交于正半轴；b＜0， 直线与y轴交于负半轴；b＝0，直线过原点. 新课讲解 练一练 1. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－3 的图象是 ( ) D 新课讲解 练一练 2. 已知函数y＝－x＋2. 当－1<x ≤ 1 时，y 的取值范围是( ) A.1 ≤ y<3 B.－1 ≤ y<3 C.1<y<3 D.1<y ≤ 3 A 解：因为在一次函数y＝－x＋2 中，k＝－1<0， 所以y 随x 的增大而减小. 因为－1<x ≤ 1，且当x＝－1 时，y＝－(－1)＋2＝3； 当x＝1 时，y＝－1＋2＝1，所以1 ≤ y<3. 新课讲解 知识点3 一次函数图象的平移规律 问题 思考 坐标系中点的平移规律是什么？ “上加下减，左减右加” 一次函数图象的平移规律与点的平移规律一样吗？ 新课讲解 观察直线y=kx+b(k≠0)平移前后的位置，总结一次函数图象的平移规律. ①向上平移m个单位长度，平移后的解析式为__________. ②向下平移m个单位长度，平移后的解析式为__________. y=kx+b+m y=kx+b-m 探究 ③向左平移m个单位长度，平移后的解析式为___________. ④向右平移m个单位长度，平移后的解析式为___________. y=k(x+m)+b y=k(x-m)+b 上加下减，左加右减 新课讲解 例 4. 将直线y＝3x向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为 ( 　) A．y＝3x＋2 B．y＝3x－2 C．y＝－3x＋2 D．y＝－3x－2 B 新课讲解 练一练 1. 将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为____________. 2. 在平面直角坐标系中，将函数y=2x的图象向右平移3个单位长度，所得函数的解析式为___________. 新课讲解 同一平面直角坐标系中两直线l1：y=k1x+b1(k1≠0)，l2：y=k2x+b2(k2≠0)的位置关系. 拓展 k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的位置关系 k1 ≠ k2 l1与l2相交 k1 ≠ k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点(0，b1)或(0，b2) k1＝k2，b1 ≠ b2 l1与l2平行 k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合 k1·k2＝－1 l1⊥l2 课堂小结 一次函数 图象 一条直线 k>0：b>0，经过第一、二、三象限； b<0，经过第一、三、四象限. k<0：b>0，经过第一、二、四象限； b<0，经过第二、三、四象限. 画法 性质 ①两点法；②平移法. y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 当堂小练 1. 直线与x轴交点坐标为_______，与y轴交点坐标为______，经过__________________象限，y随x的增大而______. 增大 (,0) (0,-3) 第三、第四、第一 解：令y=0，则2x-3=0，x=；令x=0，则y=-3. 直线与x轴的交点坐标为(，0)， 与y轴的交点坐标为(0，-3). y=2x-3的图象经过第三、第四、第一象限，y随x的增大而增大. 当堂小练 2. 一次函数(k，b为常数，)的图象如图所示，则k，b的取值范围是(　　) A．k>0，b>0 B．k<0，b>0 C．k>0，b<0 D．k<0，b<0 C 当堂小练 3. 若点(2，m)和点(-3，n)都在函数(k＜0)的图象上，试比较m，n的大小. 解：∵k<0， ∴y随x的增大而减少. ∵2>-3， ∴m<n. 当堂小练 4. 在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－3x－2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到直线 l2，则直线l2对应的函数解析式为( ) A. y＝－3x－9 B. y＝－3x－2 C. y＝－3x＋2 D. y＝－3x＋9 B 解：将直线y＝－3x－2向左平移1个单位长度得到直线y＝－3(x＋1)－2 ，即y＝－3x－5； 再向上平移3 个单位长度，即将直线y＝－3x－5 向上平移3 个单位长度，得到直线y＝－3x－5＋3，即y＝－3x－2 . 左加右减(只改变x) 上加下减(只改变b) 当堂小练 5. 已知一次函数y＝(2m＋4)x＋(3－m)． (1) 若y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围； (2) 若图象经过第一、二、三象限，求m 的取值范围. 解：(1)因为y随x的增大而减小，所以2m＋4 <0， 解得m<－2. (2)因为图象经过第一、二、三象限， 所以解得－2 <m<3 . 当堂小练 6. 直线l1：y＝kx－b和直线l2：y＝－2kx＋b在同一平面直角坐标系中的图象可能是图23.2－4中的(　　) 解：A. 由图知直线l1：y＝kx－b 中k>0，b<0， 直线l2：y＝－2kx＋b中k>0，b>0， b的取值范围相矛盾，故本选项不符合题意； B. 由图知直线l1：y＝kx－b中k>0，b<0， 直线l2：y＝－2kx＋b中k>0，b<0， k，b的取值范围一致，故本选项符合题意； C. 由图知直线l1：y＝kx－b中k<0，b<0， 直线l2：y＝－2kx＋b中k>0，b<0， k 的取值范围相矛盾，故本选项不符合题意； D. 由图知直线l1：y＝kx－b中k>0，b<0， 直线l2：y＝－2kx＋b中k<0，b<0， k 的取值范围相矛盾，故本选项不符合题意． B 当堂小练 7. 已知关于x的函数y＝(m＋2)xm2－3－1是一次函数. (1) 求m的值； (2) 在该一次函数中，当－3 ≤ x ≤ 1 时， 求y 的最大值. 解：(1) 因为函数y＝(m＋2)xm2－3－1是一次函数， 所以m2－3＝1，解得m＝±2，因为m＋2≠0，所以m＝2. (2) 将m＝2代入得一次函数解析式为y＝4x－1， 所以y随x的增大而增大． 所以当－3≤x≤1时，当x＝1时，y取最大值，最大值为y＝4×1－1＝3. 对接中考 1. 一次函数y＝(b－1)x－3＋b经过第一、三、四象限， 则b的取值范围为_______. 1<b<3 2 (答案不唯一)　 2. 已知一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值是________． 对接中考 3. 已知m2 025＋2 025m＝2 025，则一次函数y＝(1－m)x＋m的图象不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 拓展与延伸 1．如图是某个动画程序的数学模型．以A(－1，3)，B(1，1)，C(4，2)为顶点的△ABC代表黑区(包括三角形的边及内部)，信号光束沿直线扫描坐标平面，当信号光束触到黑区时，黑区则全部消失，能够使黑区全部消失的k的取值范围是____________． k≤－5或k≥1 解：∵A(－1，3)，C(4，2)， ∴当直线y＝kx－2经过点A时，－k－2＝3，解得k＝－5； 当直线y＝kx－2经过点C时，4k－2＝2，解得k＝1， ∴k的取值范围是k≤－5或k≥1. 拓展与延伸 2. 如图，在平面直角坐标系中，若折线y＝－|x－2|＋1与直线y＝kx＋2k(k＞0)有且仅有一个交点，则k的取值范围是_______________． 或 解：∵y＝kx＋2k＝k(x＋2)， ∴直线y＝kx＋2k经过定点(－2，0)． ∵折线y＝－|x－2|＋1的最高点坐标为(2，1)， ∴当直线y＝kx＋2k恰好经过点(2，1)时， 直线与折线只有一个交点，如图所示， ∴1＝2k＋2k，解得. 当k＝1时，直线y＝kx＋2k与折线在x＜2时的图象平行， 此时没有交点， 当k＞1时，直线y＝kx＋2k与折线在x＜2时的图象有一个交点. 综上所述，k的取值范围为k＞1或. 解：∵m2 025＋2 025m＝2 025，∴m>0， ∴m2 025＋2 025m＝m(m2 024＋2 025)＝2 025， ∴m＝. ∵m>0，m2 024＋2 025>2 025， ∴0<<1，即0<m<1，∴1－m>0， ∴一次函数y＝(1－m)x＋m的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． $