二次函数与一元二次不等式课件-2027届高三数学一轮复习

二次函数与一元二次不等式 {x|x<x1或x>x2} R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ C C A 0 (－4，0] ABD D AC ABD C D [知识梳理] 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集 设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式解的各种情况如下表： Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实数根x1，x2 有两个相等实数根x1＝x2＝－ 无实 数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 2.解一元二次不等式的一般步骤 3．与一元二次不等式有关的恒成立问题 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R的条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为R的条件是 4．分式不等式 (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 5．绝对值不等式 绝对值不等式|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． [热身训练] 1．不等式≤0的解集是( ). A．(－∞，1)∪[3，＋∞) B．(－∞，1]∪(3，＋∞) C．[1，3) D．[1，3] 2．不等式2x2－3x－2≥0的解集为( ). A． B． C． D． 3．已知命题“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是假命题，则实数a的取值范围为( ). A．(－∞，0]∪[4，＋∞) B．[0，4] C．[4，＋∞) D．(0，4) 4．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－2，3)，则a＋b＝ ． 5．(易错题)对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【解析】当m＝0时，mx2＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；当m≠0时，由解得－4<m<0.综上，m的取值范围是(－4，0]. 题型1　解不等式 【例1】解下列关于x的不等式． (1)－6x2－5x＋1<0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)； (3)≤1； (4)<0. 【解析】(1)原不等式转化为6x2＋5x－1>0，方程6x2＋5x－1＝0的解为x1＝，x2＝－1，根据二次函数y＝6x2＋5x－1的图象，可得原不等式的解集为. (2)若a＝0，则原不等式转化为－x＋1<0，解得x>1.若a<0，则原不等式转化为(x－1)>0，此时对应方程(x－1)＝0的两个根为x1＝，x2＝1，所以原不等式的解集为.若a>0，则原不等式转化为(x－1)<0，此时对应方程(x－1)＝0的两个根为x1＝，x2＝1.当＝1，即a＝1时，原不等式的解集为∅；当>1，即0<a<1时，原不等式的解集为；当<1，即a>1时，原不等式的解集为.综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当a<0时，原不等式的解集为；当0<a<1时，原不等式的解集为；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为. (3)由≤1，得－1＝≤0.结合分式不等式的解法，可得－2<x≤3，即不等式≤1的解集为(－2，3]. (4)由<0，得<0，等价于(x－1)(x－2)(x－3)(x＋1)<0，如答图1.5­1，由穿根法可得不等式的解集为(－1，1)∪(2，3). 答图1.5­1 (1)可通过解相应一元二次方程，再画出相应二次函数的图象，求出一元二次不等式的解集． (2)对含参的一元二次不等式，应对参数进行分类讨论：①根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论．②根据判别式Δ与0的大小关系判断根的个数．③当对应的一元二次方程有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． (3)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时可对分母进行限制，转化为不等式组． (4)解高次不等式，先求出每个因式为零时的值，并将这些值的对应点标在数轴上，再从数轴上最右边的点的右边开始自上而下画一条曲线，依次穿过数轴上相应的点． 【变式】(多选)(2024·山西联考)下列说法正确的有( ). A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 【解析】因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确；因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式|x－2|≥1的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确． 题型2　三个“二次”之间的关系 【例2】(2024·宝坻一中联考)已知函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3. (1)若不等式f(x)>0的解集为{x|－1<x<3}，求a，b的值； (2)若b＝－a，求不等式f(x)≤1的解集． 【解析】(1)由题意得，－1和3是一元二次方程ax2＋(b－2)x＋3＝0的两个根，且a<0，则解得 (2)当b＝－a时，由f(x)≤1，得ax2－(a＋2)x＋2≤0，即(ax－2)(x－1)≤0. ①当a＝0时，－2x＋2≤0，解得x≥1； ②当a<0时，不等式可化为(x－1)≥0，解得x≤或x≥1； ③当a>0时，不等式可化为(x－1)≤0，若1<，即0<a<2，解得1≤x≤；若1＝，即a＝2，解得x＝1；若1>，即a>2，解得≤x≤1.综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥1}；当a<0时，解集为；当0<a<2时，解集为；当a＝2时，解集为{x|x＝1}；当a>2时，解集为. 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在密切的联系： (1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围． 【变式】(1)已知一元二次不等式x2＋mx－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，则不等式－2x2＋x＋m<0的解集为( ). A．(－2，1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C． D．∪(1，＋∞) 【解析】由题意可知，一元二次方程x2＋mx－2＝0的两根为－2，1，由根与系数的关系可得－2＋1＝－m，解得m＝1，所以不等式－2x2＋x＋m<0即－2x2＋x＋1<0，整理得2x2－x－1>0，解得x<－或x>1，故原不等式的解集为∪(1，＋∞). (2)(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－4或x≥5}，则下列说法正确的有( ). A．a>0 B．关于x的不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5} C．关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D．a＋b＋c>0 【解析】由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，则a>0，故A正确；因为－4，5是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以解得由bx＋c>0，得－ax－20a>0，解得x<－20，故B错误；不等式cx2－bx＋a<0等价于－20ax2＋ax＋a<0，即20x2－x－1>0，即(5x＋1)(4x－1)>0，解得x<－或x>，故C正确；因为1∉{x|x≤－4或x≥5}，所以a＋b＋c<0，故D错误． (3)(多选)(2025·枣庄调研)已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，则( ). A．x1＋x2＝2　　　　 B．x1x2＜－8 C．－2＜x1＜x2＜4　　　　 D．x2－x1＞6 【解析】因为关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，故A正确；x1x2＝a－8＜－8，故B正确；x2－x1＝＝2＞6，故D正确；由x2－x1＞6，x1＋x2＝2，可得x1＜－2，x2＞4，故C错误． 一元二次不等式的恒成立问题 对一元二次不等式的恒成立问题的考查常有以下几种形式：(1)在R上恒成立；(2)在给定区间上恒成立；(3)给定参数范围的恒成立．处理此类问题的常用方法有：①分参法；②函数法；③变换主元法． 角度1　在R上的恒成立问题 【例1】若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( ). A．(－∞，2]　　　 B．[－2，2] C．(－2，2]　　　 D．(－∞，－2) 【解析】当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，对一切x∈R恒成立．当a≠2时，则即解得－2＜a＜2.所以实数a的取值范围是(－2，2]. 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 　　注意：若二次项系数含参数，则必须判断二次项系数是不是零． 角度2　在给定区间上的恒成立问题 【例2】已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，只需m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)，则g(3)＝7m－6<0，所以m<，所以0<m<；当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)，则g(1)＝m－6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述，m的取值范围是. 给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)函数法：若f(x)>0在给定区间上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围． (2)分参法：转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 角度3　给定参数范围的恒成立问题 【例3】当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是( ). A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 【解析】不等式变为(x－1)p＋x2－4x＋3＞0，当0≤p≤4时不等式恒成立， 所以即解得x＜－1或x＞3. 给定参数范围的恒成立问题的解法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁为参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁为主元，求谁的范围，谁就为参数．可以将变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据参数的取值范围列式求解． 【变式】已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围． 【解析】(1)不等式f(x)<1，即mx2－(m－1)x＋m－2<0，当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意；当m≠0时， 有解得m<.综上所述，m的取值范围为. (2)不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立，因为x2－x＋1＝＋>0，则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立，由x∈，得＝＝＝≤＝1，当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立，所以＝1，所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞). (3)不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0，2)恒成立，令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3，因为x2－x＋1＝＋>0，所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0，2)上单调递增，所以h(0)＝x－3≥0，解得x≥3，所以x的取值范围为[3，＋∞). $