2.3 一元二次不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次不等式”专题，依据高考评价体系梳理了解法、分式转化、恒成立问题三大核心考点，通过真题分析明确恒成立问题占比30%、含参不等式占25%的高频考点分布，归纳出含参讨论、分式转化等常考题型。 课件亮点在于“真题训练+分层突破+素养提升”策略，如以2025全国二卷分式不等式为例，示范移项通分转化整式不等式的步骤，培养数学思维的逻辑推理能力，总结恒成立问题“分类讨论+函数最值”方法，助力学生掌握解题技巧，教师可据此实施精准复习教学。

第二章 2.3　一元二次不等式 不等式 复习目标　1．通过一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系．2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能借助集合表示一元二次不等式的解集．3．能解决一元二次不等式中的恒成立问题． 内容索引 内容索引 核心体系 活动方案 核 心 体 系 内容索引 不等式的解法 内容索引 活 动 方 案 内容索引 活动一　基础引入 1 [2025贵州期中]若不等式mx2＋mx－4＜2x2＋2x对任意的实数x均成立，则实数m的取值范围是 (　　) A．(－2，2)　 　　B．(－14，2) C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)　 　　D．(－14，2] D 内容索引 2 [2025贵州新高考协作体质量监测]已知关于x的一元二次方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0有一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－1，2)　 B．(－2，0) C．(－2，1)　 D．(0，1) C 【解析】设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2．由题意，得f(1)＜0，即12＋(a2－1)＋a－2＜0，解得－2＜a＜1，所以实数a的取值范围是(－2，1)． 内容索引 A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 B 内容索引 内容索引 4 不等式x2＋2x－4＜0的解集为______________________． 内容索引 －14 内容索引 活动二　典例悟法 题组一　一元二次不等式的求解 　　　 求关于x的不等式x2－4x＋3＜0的解集． 1 【解析】{x|1＜x＜3} 内容索引 　　　　　　求下列关于x的不等式的解集． (1) x2－ax＋3＜0； (2) ax2－4x＋3＜0． 内容索引 内容索引 解一元二次不等式的步骤 一化：将不等式变形为二次项系数大于零的标准形式； 二判：判断对应方程的根的判别式与零的大小； 三求：求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根； 四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 内容索引 题组二　可化为一元二次不等式的问题 2 【解析】{x|1≤x＜3} 内容索引 　　　　　　求下列关于x的不等式的解集． 【解析】(1) 当a＜3时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞3}； 当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠3}； 当a＞3时，不等式的解集为{x|x＜3或x＞a}． 内容索引 内容索引 A．{x|－2≤x≤1}　 B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x＜1}　 D．{x|x＞1} C 内容索引 分式不等式的解法 第一步：对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)． 第二步：利用一元二次不等式求解． 内容索引 　　　 解下列关于x的不等式． (1) lg2x－2lg x－3＜0； (2) 2x2－2x－3＞1； (3) 4x－2x－2＜0． 3 【解析】(1) 令lg x＝t，则原不等式可化为t2－2t－3＜0， 解得－1＜t＜3，即－1＜lg x＜3， 内容索引 (2) 由2x2－2x－3＞1，得2x2－2x－3＞20， 所以x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x＞3， 所以原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞3}． (3) 令2x＝t(t＞0)，则原不等式可化为t2－t－2＜0， 即0＜2x＜2，解得x＜1， 所以原不等式的解集为{x|x＜1}． 内容索引 　　　　　　解下列关于x的不等式． (1) lg 2x－2a lg x－3a2＜0； (2) 4x－a·2x－2a2＞0． 【解析】(1) 当a＜0时，不等式的解集为{x|103a＜x＜10－a}； 当a＝0时，不等式的解集为空集； 当a＞0时，不等式的解集为{x|10－a＜x＜103a}． (2) 当a＜0时，不等式的解集为{x|x＞log2(－a)}； 当a＝0时，不等式的解集为R； 当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞log2(2a)}． 整体换元后转化为一元二次不等式求解． 内容索引 题组三　一元二次不等式恒成立问题 A．(－3，0]　 B．[－3，0) C．[－3，0]　 D．(－3，0) 4 D 内容索引 内容索引 (2) 设a为常数，对于任意x∈R，都有ax2＋ax＋1＞0，则实数a的取值范围是 (　　) A．(0，4)　 B．[0，4) C．(0，＋∞)　 D．(－∞，4) B 内容索引 (3) 设函数f(x)＝mx2－mx－1．若对任意x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求实数m的取值范围； 内容索引 内容索引 (4) 对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． 【解析】f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4． 令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4． 由题意，得在区间[－1，1]上，g(m)的值恒大于零， 解得x＜1或x＞3． 故x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)． 内容索引 　　　　　　函数f(x)＝x2＋ax＋3，a∈R． (1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (3) 当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求x的取值范围． 【解析】(1) 因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， 解得－6≤a≤2， 所以实数a的取值范围是[－6，2]． 内容索引 (2) 当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a， 当g(x)≥0时，分如下三种情况讨论： ①如图1，当g(x)的图象与x轴最多有1个交点时， 有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2，符合题意； 图1 内容索引 ②如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0， 图2 内容索引 ③如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0， 图3 内容索引 内容索引 1．一元二次不等式在R上恒成立的条件： 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c＞0 a＞0，Δ＜0 ax2＋bx＋c≥0 a＞0，Δ≤0 ax2＋bx＋c＜0 a＜0，Δ＜0 ax2＋bx＋c≤0 a＜0，Δ≤0 内容索引 2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法： (1) 若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)． (2) 转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，若f(x)≥ a恒成立，则f(x)min≥a，即m≥a；若f(x)≤a恒成立，则f(x)max≤a，即n≤a． 内容索引 3．一元二次不等式的参数在某区间上恒成立，确定变量x取值范围的方法： 一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的取值范围，就选谁当主元，求谁的取值范围，谁就是参数，即把主元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 内容索引 谢谢观看 Thank you for watching (3) 令h(a)＝xa＋x2＋3． 因为当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立， 所以即 解得x≤－3－或x≥－3＋， 所以x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)． $