1.3.3 三次函数性质：单调区间与极值教学设计-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值的教学设计 一、基本信息 课题 1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 学科 数学 教材版本 湘教版高中数学选择性必修第二册 年级 高二 课时 1 课时 二、教学目标 1. 数学抽象：理解三次函数的单调性、极值与导数的内在联系，掌握用导数研究多项式函数性质的一般方法，体会导数的工具性价值. 2. 逻辑推理：能通过二次导数的符号与判别式，推导三次函数的单调区间和极值存在的条件，培养分类讨论的逻辑思维. 3. 数学运算：熟练运用导数求不含参数的三次函数的单调区间和极值，能解决简单的含参数三次函数单调性恒成立问题. 4. 直观想象：结合三次函数的图像特征，直观理解极值点与导数零点的区别与联系，深化数形结合思想的应用. 三、教学重难点 （一）教学重点 1. 三次函数的导数特征（二次函数形式）. 2. 利用导数求三次函数单调区间和极值的基本步骤. 3. 三次函数图像的 “N” 型与 “倒 N” 型特征与导数符号的对应关系. （二）教学难点 1. 含参数的三次函数单调性的分类讨论. 2. 理解 “导数为 0 是函数取得极值的必要不充分条件”. 3. 三次函数极值点个数与二次导数判别式的关系. 四、教学方法与教具准备 （一）教学方法 启发式教学法、探究式教学法、数形结合法、讲练结合法 （二）教具准备 多媒体课件（展示不同参数下三次函数的图像）、几何画板（动态演示导数与函数单调性、极值的对应关系）、直尺、彩色粉笔 五、教学过程 （一）复习回顾与情境导入（5 分钟） 1. 复习旧知 · 导数与函数单调性的关系：在区间内，若，则函数在上单调递增；若，则函数在上单调递减. · 函数极值的定义：设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，是极大值点；如果都有，则是函数的一个极小值，是极小值点. · 求一般函数极值的基本步骤：求导→解方程→判断导数在零点两侧的符号→确定极值. 2. 情境引入 · 提问：我们已经学习了用导数研究一般函数的单调性和极值，三次函数是高中阶段最常见的多项式函数，它的图像有什么独特的形状？它的单调性和极值又有什么规律呢？ · 展示几何画板中不同参数的三次函数图像（如、、），引导学生观察图像的增减变化和 “峰”“谷” 特征，引出本节课课题. （二）新知探究（20 分钟） 1. 三次函数的一般形式与导数 · 一般形式：三次函数的标准形式为（），定义域为. · 求导：根据基本初等函数的导数公式和运算法则，可得. · 关键结论：三次函数的导数是一个二次函数，因此三次函数的单调性和极值完全由这个二次函数的符号决定. 2. 三次函数单调性与极值的分类讨论 设二次导数的判别式，结合二次项系数的正负，分六种情况讨论： 的符号 的符号 的符号 的单调性 极值情况 图像特征 或时，；时，（为的两根） 在和上单调递增，在上单调递减 有一个极大值，一个极小值 “N” 型 恒成立（仅在处） 在上单调递增 无极值 单调递增曲线，在处有水平切线 恒成立 在上单调递增 无极值 单调递增曲线，无水平切线 或时，；时，（为的两根） 在和上单调递减，在上单调递增 有一个极小值，一个极大值 “倒 N” 型 恒成立（仅在处） 在R上单调递减 无极值 单调递减曲线，在处有水平切线 恒成立 在R上单调递减 无极值 单调递减曲线，无水平切线 3. 求三次函数单调区间和极值的标准步骤 a. 确定函数的定义域（三次函数定义域为R）； b. 求导数，并将其因式分解（若可分解）； c. 解方程，求出所有实根； d. 用这些实根将定义域分成若干个区间，列表判断每个区间内的符号； e. 根据的符号确定函数的单调区间，根据极值定义确定极值点和极值. （三）例题讲解（12 分钟） 例 1（基础运算） 求函数的单调区间和极值. 解：函数的定义域为. 求导得：. 令，解得，. 列表分析： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由上表可知： 函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 极大值为， 极小值为. 设计意图：规范求三次函数单调区间和极值的解题步骤，强调列表法的重要性，培养学生严谨的运算习惯. 例 2（简单应用） 已知函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 解：求导得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立，变形得在上恒成立. 令，则. 当时，，所以在上单调递增， 因此. 所以，解得，即实数的取值范围是. 设计意图：将三次函数单调性问题转化为二次函数恒成立问题，渗透转化与化归思想，提升学生综合应用知识的能力. （四）课堂练习（5 分钟） 1. 求函数的单调区间和极值. 2. 若函数在处取得极值，求的值. 3. 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）三次函数一定有极值； （2）导数为 0 的点一定是函数的极值点. （五）课后小结（3 分钟） 1. 一个核心：三次函数的性质由其导数（二次函数）的符号决定，判别式是分类讨论的关键. 2. 两种图像：当时，对应 “N” 型图像，对应 “倒 N” 型图像；当时，三次函数在上单调. 3. 五个步骤：求三次函数单调区间和极值的标准步骤：定义域→求导→解方程→列表→结论. 4. 三种思想：数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想. 六、板书设计 1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 一、基本形式与导数 （） 二、单调性与极值分类 N 型，有两个极值 单调递增，无极值 单调递增，无极值 倒 N 型，有两个极值 单调递减，无极值 单调递减，无极值 三、解题步骤 定义域→求导→解方程→列表→结论 四、例题解答区 （此处预留空间用于现场推导例 1、例 2） 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $