1.3.4 导数的应用举例-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

1.3.4　导数的应用举例 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.体会导数与函数单调性、最大(小)值的关系.2.掌握导数在实际问题中的应用. 3.感悟利用导数解决与不等式、函数零点有关的问题. 题型(一)　用料最省、费用最低问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200 m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16 m,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖). (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式,并指出其定义域. (2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价. 解:(1)设长为x m,则宽为 m. 据题意解得≤x≤16, y=×400+×248+16 000 =800x++16 000. (2)令y'=800-=0,解得x=18. 当x∈(0,18)时,函数y为减函数; 当x∈(18,+∞)时,函数y为增函数. 又∵≤x≤16.∴当x=16时,ymin=45 000. ∴当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时,总造价y最低,为45 000元. |思|维|建|模| 　　实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值,此时根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,函数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值. 　　[针对训练] 1.已知A,B两地相距200千米,一只船从A地逆水航行到B地,水速为8千米/时,船在静水中的航行速度为v千米/时(8<v≤v0).若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比,当v=12(千米/时)时,船每小时航行所需的燃料费为720元.为了使全程燃料费最省,船的实际航行速度应为多少? 解:设船每小时航行所需的燃料费为y1元,比例系数为k(k>0),则y1=kv2. ∵当v=12时,y1=720,∴720=k·122,得k=5. 设全程燃料费为y元, 由题意,得y=y1·=, ∴y'= =. 令y'=0,解得v=0(舍去)或v=16. ∴当v0≥16时,v∈(8,16),y'<0,即y单调递减; v∈(16,v0],y'>0,即y单调递增, 故v=16(千米/时)时,y取得极小值,也是最小值,此时全程燃料费最省; 当v0<16时,v∈(8,v0],y'<0, 即y在(8,v0]上单调递减, 故当v=v0时,ymin=, 此时全程燃料费最省. 综上可得,若v0≥16, 则当v=16(千米/时)时,全程燃料费最省,为32 000元;若v0<16,则当v=v0时,全程燃料费最省,为元. 题型(二)　利润最大、效率最高问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(单位:吨)与每吨产品的价格p(单位:元/吨)之间的关系式为:p=24 200-x2,且生产x吨的成本为:R=50 000+200x(单位:元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少? 解:依题意,每月生产x吨时的利润为 f(x)=x-(50 000+200x) =-x3+24 000x-50 000(x≥0). 由f'(x)=-x2+24 000, 令f'(x)=0,解得x1=200,x2=-200(舍去). 因为f(x)在[0,+∞)内有意义,则有且只有当x=200时f'(x)=0,且它就是最大值点, 最大值为f(200)=-×2003+24 000×200-50 000=3 150 000. 故每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元. |思|维|建|模| 　　实际生活中利润最大,效率最高,流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值,此时根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点),函数满足左增右减,此时唯一的极大值就是所求函数的最大值. 　　[针对训练] 2.某产品按质量分为10个档次,生产第1档次(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在一天内产量减少3件.在一天内,最低档次的产品可生产60件.问在一天内,生产第几档次的产品的总利润最大?最大利润是多少? 解:设在一天内,生产第x(1≤x≤10,x∈N+)档次的产品的总利润为y. 依题意,得y=[8+2(x-1)][60-3(x-1)] =-6x2+108x+378(1≤x≤10,x∈N+), y'=-12x+108, 令y'=-12x+108=0,解得x=9. 因为x=9符合题意,且y只有一个极值点,所以它是最值点,即在一天内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元. 题型(三)　面积、容积的最值问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　请你设计一个包装盒.如图所示,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm). (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 解:设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm). 由已知得a=x,h==(30-x),0<x<30. (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800, 所以当x=15时,S取得最大值. (2)V=a2h=2(-x3+30x2),V'=6x(20-x). 由V'=0得x=0(舍)或x=20. 当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0. 所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值. 此时=.即包装盒的高与底面边长的比值为. |思|维|建|模| 　　一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f'(x)=0,则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较. 　　[针对训练] 3. 如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m2的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分),道路的宽度均为2 m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?并求出最大面积. 解:设休闲广场的长为x m,则宽为 m,绿化区域的总面积为S(x) m2. 则S(x)=(x-6)=2 424-=2 424-4,x∈(6,600). ∴S'(x)=-4=, 令S'(x)<0,得60<x<600; 令S'(x)>0,得6<x<60. ∴S(x)在(6,60)上单调递增,在(60,600)上单调递减,∴当x=60时,S(x)取得极大值,也是最大值, ∴S(x)max=S(60)=1 944. ∴当休闲广场的长为60 m,宽为40 m时,绿化区域的总面积最大,最大面积为1 944 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $