1.3.2 函数的极值与导数 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

课题 1.3.2 函数的极值与导数（两课时） 编号 选择性必修 第二册 第一章 第3节 共6课时 施教 教师 施教日期 第 周 星期 施教班级 课型 新授课 主备 教师 内容分析 本节是选择性必修第二册第一章第三节的内容，是导数在函数中的应用.学生在前面一节学习了利用导数判断函数的单调性，已经了解了导数在函数中的初步应用，具备了用导数研究函数的性质的基本活动经验，本节继续学习导数在函数中的应用.让学生了解极值点、极值等概念后求解函数的极值.通过例题和练习能够加深对极值点的理解，并能掌握极值点是函数的局部性质，且理解导函数的零点与函数的极值点之间的关系. 教学目标 通过观察图象直观理解函数极值点、极值的概念，体会极值是函数的局部性质，并能与函数的最值区分开来.在理解概念之后探索求函数极值的一般方法并能梳理出程序化的步骤，理解每个步骤的意义，会熟练求解函数的极值. 核心素养 ○直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、●数学建模 教学重点 函数极值点的判断方法和求解步骤。 教学难点 极值点与驻点的区别与联系. 教学方法 问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学. 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 二次备课 创设情境 1. 复习： （1）函数的单调性与函数的导数有什么样的联系？ （2）如何求函数的单调区间？ 2. 问题： （1）函数图象由增到减（或由减到增）的转折点有什么特点？ （2）这个转折点是整个函数的最大或最小值吗？ 函数的极值与单调性关系密切，所以在新知探索前有必要对旧知进行回顾. 培养学生直观想象素养以及表达能力. 自主探究 合作交流 展示完善 精讲释疑 【问题】 1. 结合下图说说函数的极值与极值点分别是什么含义？ 2. 函数图象上升时导函数大于零，函数图象下降时导函数小于零，函数极值点的导函数有什么特点呢？ 3. 函数的驻点与函数的极值点是什么关系？ 如图1.3-5（1），设函数在区间内有定义，是区间内的一个点，若点附近的函数值都小于或等于（即 ，就说是函数的一个极大值，此时 称为的一个极大值点. 如图1.3-5（2），设函数在区间内有定义，是区间内的一个点，若点附近的函数值都大于或等于（即），就说是函数的一个极小值，此时称为的一个极小值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 简言之，极值是局部开区间上的最值. 【特殊引入】 【提问】如上图，，，三点都是函数的极大值点，，两点都是函数的极小值点，那么极大值和极小值有什么性质？ 【总结】 通过观察上图，我们可以得到以下结论： （1）若函数在区间,上单调递增,在区间,上单调递减,则是极大值点,是极大值； （2）若函数在区间,上单调递增,在区间,上单调递减,则是极大值点,是极大值. 通过导数的正负可以判断函数的增减。 【提问】 同学们，我们如何利用导数求函数的极值和极值点呢? 【观察图片】 观察图 1.3-7，我们可以看到，如果函数在某个区间内有极大值，将一条平行于轴的直线从曲线的上方渐渐向下平移，直到碰上曲线（在这个区间上的一段）就停下来.这样，直线停下来时的高度，也就是曲线在这个区间内所达到的最高点，这时这条直线就是曲线在这个局部最高点处的切线. 【总结】 也就是说，如果函数曲线在极值点处有切线，则该切线应和轴平行（或重合）. 换句话说，函数在极值点的导数为0. 反过来，导函数的零点是否一定是函数的极值点呢? 例如，函数的导函数 有零点，但是增函数，没有极值点. 如图1.3-8. 可见，导函数的零点可能不是函数的极值点. 也就是说，若的导数存在，则是在处取到极值的必要条件，但不是充分条件.若，则叫作函数的驻点. 如果一个函数的导数在驻点的两侧变号，则该驻点就是此函数的一个极值点. 因此，如果函数在某个区间内有导数，就可按下列步骤求它的极值： （1）求导数. （2）求的驻点，即求方程的解. （3）对于方程的每一个解，分析在 左右两侧的符号（即讨论 的单调性），确定极值点： ① 若在两侧的符号为“左正右负”，则 为极大值点； ② 若在两侧的符号为“左负右正”，则为极小值点. （4）求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值. 例1.试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点. 例2.求函数的极大值和极小值. 拓展例题：求下列函数的极值 （1） （2） （3） 从定性到定量研究，学生对极值产生了较为直观的印象，并能通过导函数的单调性求函数极值. 两道例题考查的知识点不同，有利于学生理解新知. 课堂练习 1. 求下列函数的驻点，并判断其是否为极值点.若是， 求出对应的极值. 2. 已知函数在处有极值0，求的值. 3. 已知函数的定义域为，且其导函数的图象如图所示，试找出函数在区间内的极大值点和极小值点. 练习1是对极值点和驻点概念的考查，练习2和练习3则是加深对极值点的理解以及规范求解步骤.通过巡堂及时发现问题并纠正. 总结提升 1. 我们学到了哪些新的数学知识？ （1）极值和极值点. （2）驻点与极值点的区别与联系. （3）求函数极值的步骤. 2. 我们运用了哪些解题方法和数学思想? 解题方法：利用导数求解极值 让学生梳理知识，加深对概念的理解. 作业布置 必做题 P43习题1.3第4、5、6题 分层布置作业，满足不同学生的学习能力要求. 选做题 P44习题1.3第11、12题 教后反思 更快、更高、更强，领先就是金牌 我自信，我拼搏，我出色，我成功1 学科网（北京）股份有限公司 $$