西藏林芝市高二数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 高二选择性必修三测试卷，聚焦二项式定理、概率统计核心知识，通过高尔顿板、AI产品销售等真实情境，构建基础巩固-能力提升-创新应用梯度，培养数据观念与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二项式系数、线性回归方程、条件概率|散点图相关系数比较，强化数学观察能力| |多选题|3/18|相关系数性质、随机变量期望方差|辨析线性回归直线性质，发展逻辑推理| |填空题|3/15|二项式展开系数、正态分布、涂色问题|标准正态分布计算，渗透数学语言表达| |解答题|5/77|分布列、线性回归、独立性检验、概率策略|AI销量预测（第16题）、购买次数统计分析（第18题），突出综合应用与创新意识|

高二下测试题（选择性必修三） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在的二项展开式中，第2项的二项式系数是（    ） A．4 B．6 C．54 D． 3 4 6 7 20 40 80 2．已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（   ） A．50 B．60 C．70 D．75 3．下列命题中不正确的是（   ） A．线性回归方程对应的直线一定经过样本点的中心 B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 C．线性回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系 D．用最小二乘法求回归方程是为了使最小 4．假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（    ） A． B． C． D． 5．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，则（   ） A．24 B．21 C． D． 7．已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（   ） A． B．120 C． D．240 8．右图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得分. 9．下列命题正确的有（    ） A．当样本相关系数满足时，对样本数据均落在一条直线上 B．样本相关系数的值越大，随机变量之间的线性相关程度越强 C．方差或标准差越大，随机变量的取值越集中 D．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中 10．下列说法正确的是（    ） A．随机变量服从两点分布，且，则 B．随机变量，则 C．随机变量满足，且，则 D．随机变量的分布列为，则 11．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则__________. 13．随机变量服从标准正态分布，求________. 14．给如图所示的四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有______种不同的涂色方案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 0 1 2 0.6 15．已知离散型随机变量的分布列如表所示．求： (1)常数的值； (2)，． 月份x 1 2 3 4 5 销售量y 3 5 6 9 12 16．2025年世界人工智能大会于2025年7月26日至28日在上海市举行，大会号召“共商技术创新路线，共促技术成果赋能”.某企业的AI产品销售部门统计了1～5月份的销售量（单位：万件）如表： (1) 根据表中数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？ (2) 求出y关于x的经验回归方程；并预测9月份的销售量. 附：样本相关系数，参考数据； 经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，. 17．在展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值； (2)求含的项的系数； (3)求展开式中系数最大的项． 客户年龄（岁） 合计 购买过1次或2次 40 购买过3次以上（含3次） 20 10 合计 18．某公司为了了解产品的需求情况，随机抽取了100名客户作为样本，统计了样本中客户购买次数与客户年龄情况，得到如下的列联表： 合计 购买过1次或2次 40 购买过3次以上（含3次） 20 10 合计 (1)补全列联表并根据小概率值的独立性检验判断客户购买次数与客户年龄是否有关联； (2)在样本中，从购买过3次以上（含3次）的客户中按年龄段比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在的人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：． α 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 α 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 附： 19．2025年高考数学全国2卷多选题（每道题有，，，四个选项，考查位置：第9～11题），得分规则如下： 多选题（每题6分） 得分情况 正确选项个数 2个（如） 选对1个（选或） 3分 选对2个（选） 6分 3个（如） 选对1个（选或或） 2分 选对2个（选或或） 4分 选对3个（选） 6分 为让学生适应高考试卷结构，某学校组织了一场考试．已知每道多选题随机地从四个选项中做选择，学生随机作答时，是否选择每个选项的事件相互独立（有选错误选项一律得分）．每道题正确选项为2个或3个的概率均为． (1)已知第10题有三个选项符合题目要求，小张同学毫无头绪，于是他通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率； (2)第11题小王同学没有思路，但他想到了两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列； (3)若本次考试第9～11题正确选项都为2个，乙同学每道题都得满分，甲同学知道后说：“这3道题有些知识点你是会的．”若乙同学三道题都随机选择两个选项，求乙每道题都得分的概率p，并根据p值大小判定甲同学的话是否正确．（p值保留两位有效数字）. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下测试题（选择性必修三） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C B A D D AD BC 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】给出的二项展开式即可求解. 【详解】的二项展开式的通项为， 所以第2项为，其二项式系数为，故A正确. 2．B 【分析】求出样本中心，代入回归方程求解即可. 【详解】因为， 又因为所有回归方程都过样本中心， 所以将点代入回归方程， 得， 解得. 3．B 【分析】利用线性回归直线的性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，线性回归直线一定经过样本点的中心，故A正确； 对于B，线性回归直线是样本点的‘最佳’拟合直线，可能不经过任何一个样本点，故B错误； 对于C，线性回归直线中的系数为， 则变量与具有负的线性相关关系，故C正确： 对于D，最小二乘法的核心思想就是通过寻找最佳的回归系数， 使得所有的观测值与回归直线上的预测值之间的残差平方和达到最小， 数学表达式是，故D正确. 4．C 【分析】根据条件概率计算即可. 【详解】由题意可得， ， 则． 5．B 【分析】根据给定的四组数据的散点图，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近，所以； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以， 综上可得，. 6．A 【详解】因为，所以， 解得，所以， 则． 7．D 【分析】根据各项系数和得，再写出的展开式通项，结合乘积形式写出展开式中含项的系数. 【详解】由题意，时，所以二项式为， 其中的展开式通项为，， 所以，则，此时， ，则不是整数，故该项不存在， 综上，展开式中含项的系数为. 8．D 【分析】设，分析出，从而求出的可能取值及相应的概率，求出期望和方差，得到正确答案. 【详解】设 “向右下落”，则“向左下落”，且， 设，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以， 于是（）. 所以，A错误； ， ， 所以，B错误，D正确； ，C错误. 9．AD 【分析】由线性相关关系，方差和标准差的定义进行判断． 【详解】对于A项，当样本相关系数满足时，对样本数据均落在一条直线上，是正确的 对于B项，样本相关系数越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强，故B错误； 对于C项，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散，是错误的； 对于D项，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，是正确的， 故选：AD 10．BC 【分析】根据正态分布、两点分布以及数学期望、概率的性质求解即可. 【详解】选项A：随机变量服从两点分布，且，则，进而，选项A错误； 选项B：随机变量，根据正态分布性质，则，选项B正确； 选项C：随机变量满足，且，则，进而，选项C正确； 选项D：随机变量的分布列为，则，解得，选项D错误. 11．BCD 【详解】令，则， ， 令，则，故A错误； 当时，则， 当时，则， ，故B正确； 展开式通项为， 则对应，即，故C正确； 令，则， 令，则， ，故D正确． 12．5或3 【详解】由题意可得或，解得或， 当时，符合题意； 当时，符合题意， 所以或. 13．0.2/ 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，若， 所以，. 所以. 14．84 【详解】当A和C颜色相同， 第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择； 第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第三步涂C：由于C与A同色，只有种选择； 第四步涂D：此时D仅需与A（C）不同色，有种选择； 所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：； 当A和C颜色不同， 第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择； 第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第三步涂C：由于C与A不同色，且与B不同，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第四步涂D：此时D既与A不同色，又与C不同色，由于A与C也不同色，故只有种选择； 所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：； 利用分类计数加法原理，把这两类相加可得总方案数为：. 15．(1)或 (2)当时，，；当时，， 【分析】（1）由概率之和为1，且每个概率都大于等于0列方程求解即可； （2）根据分布列计算期望和方差，结合方差的性质即可. 【详解】（1）易知，......................2分 整理得，......................3分 解得或 .......................5分 （2）当时，，......................6分 ，......................8分 则. ......................9分 当时，，......................10分 ，......................11分 则.......................12分 综上，当时，，；当时，，.......................13分 16．(1)，可以用线性回归模型拟合y与x的关系； (2)，9月份的预测销售量为20.2万件. 【分析】（1）根据样本相关系数公式可求； （2）根据最小二乘法可求回归直线方程. 【详解】（1），，......................2分 ，，，......................5分 非常接近 1，说明月份x与销量y之间存在极强的正线性相关关系，可以用线性回归模型拟合y与x的关系；......................9分 （2） 由（1）中数据可得 ，......................11分 ，......................12分 故y关于x的经验回归方程为.......................13分 当时，.......................15分 17．(1)6 (2)4320 (3) 【分析】（1）根据二项式系数的比值关系求解n； （2）通过二项展开式通项公式计算含的项的系数； （3）最后通过相邻项系数的比值不等式确定系数最大的项对应的r值，进而求出该项. 【详解】（1）因为二项展开式第项的二项式系数为， 由题意可得：，则 ，解得......................5分 （2）因为的展开式通项 , ， 令，解得， 所以含的项的系数： .......................10分 （3）设展开式中系数最大的项是第项， 则，整理可得，解得， 因为，可得， 所以展开式中系数最大的项是.......................15分 18．(1) 客户年龄（岁）客户购买次数 合计 购买过1次或2次 30 40 70 购买过3次以上（含3次） 20 10 30 合计 50 50 100   认为客户购买次数与客户年龄有关联 (2)的分布列为 1 2 3 【分析】（1）先根据已知数据补全列联表，再计算卡方统计量，将其与对应的临界值进行比较，判断是否拒绝原假设，从而确定购买次数与年龄是否有关联； （2）先根据分层抽样的比例确定抽取的6人中两个年龄段的人数，再确定的所有可能取值，计算对应的概率，从而得到分布列，进而求期望. 【详解】（1）补全的2×2列联表如下： 客户年龄（岁）客户购买次数 合计 购买过1次或2次 30 40 70 购买过3次以上（含3次） 20 10 30 合计 50 50 100 ......................2分 零假设为：客户购买次数与客户年龄无关联， ......................3分 因为，                ......................5分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为客户购买次数与客户年龄有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05．......................7分 （2）从购买过3次以上（含3次）的客户中按年龄段比例分配的分层随机抽样方法抽取6人， 年龄在的人数为，年龄在的人数为，                 依题意，的所有可能取值分别为1，2，3，......................10分 所以，......................13分 所以X的分布列为 1 2 3 ......................15分 所以．......................17分 19．(1) (2)小王用策略一得分的分布列为 0 2 3 小王用策略二得分的分布列为 0 4 6 (3)，甲同学的话是正确的 【分析】（1）定义随机选1、2、3个选项作答为完备事件，小张得0分为事件，已知各概率与对应条件概率，套用全概率公式求和计算出小张得0分的概率. （2）分别设策略一、策略二得分随机变量并确定取值，借助组合计数算出、各自取不同分值的概率，依次列出两个随机变量的概率分布列. （3）定义单题选两个选项得分事件和每题都得分事件，先用组合数求，再由各题答题相互独立，用独立事件概率乘法算出连题都得分的，依据该概率为小概率事件，判定乙同学基本无法乱答得满分，验证甲同学说法正确. 【详解】（1）记“随机选择个选项作答”，，“小张得0分”． ，，，......................2分 ，，， 则......................5分 （2）记小王用策略一得分为随机变量，则的取值为0，2，3；......................6分 ， ，．......................8分 小王用策略一得分的分布列为 0 2 3 ......................9分 记小王用策略二得分为随机变量，的取值为0，4，6，......................10分 ， ．......................12分 小王用策略二得分的分布列为 0 4 6 ......................13分 （3）设事件：“乙同学在某道题上选两个选项且得分”,事件：“乙同学每道题都得分”. 则，......................14分 所以，......................16分 故事件为极小概率事件，所以乙同学基本不可能每道题都乱答且得满分，甲同学的话是正确的．......................17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 求指定项的二项式系数 0.91 2 单选题 5 根据回归方程求原数据中的值；根据样本中心点求参数；计算样本的中心点 0.82 3 单选题 5 相关系数的意义及辨析；解释回归直线方程的意义；计算样本的中心点 0.82 4 单选题 5 计算条件概率 0.82 5 单选题 5 相关系数的意义及辨析；判断正、负相关 0.73 6 单选题 5 均值的性质；二项分布的均值；方差的性质；二项分布的方差 0.72 7 单选题 5 由二项展开式各项系数和求参数；两个二项式乘积展开式的系数问题 0.65 8 单选题 5 二项分布的均值；独立重复试验的概率问题；二项分布的方差 0.55 9 多选题 6 相关系数的计算；计算几个数据的极差、方差、标准差 0.65 10 多选题 6 均值的性质；两点分布的均值；二项分布的均值；利用随机变量分布列的性质解题 0.65 11 多选题 6 二项式的系数和；求指定项的系数；二项展开式各项的系数和；奇次项与偶次项的系数和 0.65 12 填空题 5 组合数的性质及应用 0.85 13 填空题 5 正态曲线的性质；指定区间的概率；根据正态曲线的对称性求参数 0.82 14 填空题 5 分类加法计数原理；分步乘法计数原理及简单应用；涂色问题 0.6 15 解答题 13 求离散型随机变量的均值、方差的性质；由随机变量的分布列求概率 0.82 16 解答题 15 求样本相关系数；求回归直线方程 0.85 17 解答题 15 求指定项的二项式系数；求指定项的系数；求系数最大（小）的项 0.7 18 解答题 17 求离散型随机变量的均值；写出简单离散型随机变量分布列；完善列联表；卡方的计算；独立性检验解决实际问题 0.62 19 解答题 17 独立事件的乘法公式；计算古典概型问题的概率；写出简单离散型随机变量分布列；利用全概率公式求概率 0.45 Sheet2 Sheet3 $