2.2   探索直线平行的条件课件2025-2026学年数学北师大版七年级下册

2   探索直线平行的条件 第二章　相交线与平行线 上一页 下一页 数学.七年级下册 2   探索直线平行的条件 第1课时　利用同位角判定两直线平行及平行公理 第二章　相交线与平行线 上一页 下一页 数学.七年级下册 知识点 　同位角 定义：如图1，具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角。 找找其他同位角：∠3与 　 　，∠5与 　 　，∠7与  　 　。 技巧：两角共截线，方向同(形如字母F)。图2中的彩色线条即 为∠1与∠2形成的“F”形。 ∠4 ∠6 ∠8 上一页 下一页 数学.七年级下册 典例1　如图，属于同位角是(　C　) A. ∠1和∠2 B. ∠1和∠3 C. ∠1和∠4 D. ∠2和∠3 C 上一页 下一页 数学.七年级下册 变式1　如图，∠1和∠2是同位角的是(　D　) D 上一页 下一页 数学.七年级下册 知识点2　同位角相等，两直线平行 判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行。 简述为：同位角相等，两直线平行。 符号表示：两直线平行，用符号“∥”表示。 例如，直线a与直线b平行，记作a∥b。 上一页 下一页 数学.七年级下册 典例2　如图，∠1＝120°，∠BCD＝60°，试说明： AD∥BC。 解：因为∠1＋∠2＝ ⁠， 且∠1＝120°(已知)， 所以∠2＝ ⁠。 因为∠BCD＝60°(已知)， 所以∠BCD＝∠ ⁠。 所以AD∥BC(　 　)。 180°　 60°　 2　 同位角相等，两直线平行 上一页 下一页 数学.七年级下册 变式2　如图，直线AB与CD被直线EF所截，∠1＝∠2，试 说明：AB∥CD。 解：因为∠1＝∠2， 又因为∠2＝∠3(　 　)。 所以∠1＝∠ (　 　)。 所以AB∥CD(　 　)。 对顶角相等 3　 等量代换 同位角相等，两直线平行 上一页 下一页 数学.七年级下册 知识点3　画平行线 用三角尺画平行线的方法：一落→二靠→三推→四画。 落：把三角尺的一边落在已知直线上； 靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 推：沿直尺推动三角尺，使与已知直线重合的那一边过已知 点； 画：沿三角尺过已知点画直线。示意图如下： 上一页 下一页 数学.七年级下册 典例3　如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的 平行线的方法，这样做的依据是 ⁠ ⁠。 同位角相等，两直线平行 上一页 下一页 数学.七年级下册 知识点4　平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条 直线平行 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线平行。 几何语言：如果b∥a，c∥a，那么 b∥c。 上一页 下一页 数学.七年级下册 解：CD∥EF。理由如下： 因为∠1＝∠APQ，∠1＝∠2， 所以∠APQ＝∠2。 所以AB∥EF。 因为AB∥CD， 所以CD∥EF。 解：CD∥EF。理由如下： 因为∠1＝∠APQ，∠1＝∠2， 所以∠APQ＝∠2。 所以AB∥EF。 因为AB∥CD， 所以CD∥EF。 典例4　如图，直线AB，CD，EF被直线MN所截，MN交 AB于点P，交EF于点Q。如果∠1＝∠2，AB∥CD，那么 CD与EF平行吗？请说明理由。 上一页 下一页 数学.七年级下册 变式4　如图，∠1＝∠4，∠1＋∠2＝180°。问：AB，CD，EF的 位置关系如何？请说明理由。 解：AB∥CD∥EF。理由如下： 因为∠1＝∠4， 所以AB∥EF。 因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°， 所以∠2＝∠3。 所以AB∥CD。 所以CD∥EF。 所以AB∥CD∥EF。 上一页 下一页 数学.七年级下册 1. 如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝55°，下列 条件能判定AB∥CD的是(　C　) A. ∠2＝35° B. ∠2＝45° C. ∠2＝55° D. ∠2＝125° C 上一页 下一页 数学.七年级下册 2. 已知∠1与∠2是同位角，则(　D　) A. ∠1＝∠2 B. ∠1＞∠2 C. ∠1＜∠2 D. 以上都有可能 D 上一页 下一页 数学.七年级下册 3. 如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB， ∠DCB＝40°，∠AED＝80°。试说明：DE∥BC。 解：因为CD平分∠ACB， 所以∠ACB＝2∠DCB＝80°。 因为∠AED＝80°， 所以∠AED＝∠ACB。 所以DE∥BC。 解：因为CD平分∠ACB，∠DCB＝40°， 所以∠ACB＝2∠DCB＝80°。 因为∠AED＝80°， 所以∠AED＝∠ACB。 所以DE∥BC。 上一页 下一页 数学.七年级下册 4. 如图，∠A的同位角是 ⁠。 ∠BED和∠CDE　 上一页 下一页 数学.七年级下册 5. 如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝ 55°。若要使木条a与b平行，则木条a旋转的度数至少是 (　C　) A. 15° B. 20° C. 30° D. 45° C 上一页 下一页 数学.七年级下册 2   探索直线平行的条件 第2课时　利用内错角、同旁内角判定两直线平行 第二章　相交线与平行线 上一页 下一页 数学.七年级下册 知识点1 　内错角、同旁内角 (1)内错角的定义：如图1，具有∠2与∠7这样位置关系的角称 为内错角。 ∠4与∠5也是内错角。 技巧：两角夹线内，方向错(形如字母Z)。如图2中的彩色线条 即为∠2与∠7形成的“Z”形。 上一页 下一页 数学.七年级下册 (2)同旁内角的定义：如图1，具有∠2与∠5这样位置关系的角 称为同旁内角。 ∠4与∠7也是同旁内角。 技巧：两角同侧内，方向补(形如字母U)。如图3中的彩色线条 即为∠2与∠5形成的“U”形。 上一页 下一页 数学.七年级下册 典例1　(教材P46练习T1•改编)看图填空： (1)∠1与 ⁠是同位角； (2)∠1与 ⁠是内错角； (3)∠1与 ⁠是同旁内角； (4)∠5与 ⁠是内错角； (5)∠5与 ⁠是同旁内角。 ∠4　 ∠2　 ∠3　 ∠4　 ∠3　 上一页 下一页 数学.七年级下册 变式1　观察图形并填空。 (1)∠1与 ⁠是同位角； (2)∠3与 ⁠是内错角； (3)∠2与 ⁠是同旁内角。 ∠4　 ∠1　 ∠1　 上一页 下一页 数学.七年级下册 知识点2　内错角相等，两直线平行 判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等， 那么这两条直线平行。 简述为：内错角相等，两直线平行。 上一页 下一页 数学.七年级下册 典例2　如图，CE平分∠ACD，∠1＝∠2。试说明： AB∥CD。 解：因为CE平分∠ACD(已知)， 所以∠ ＝∠ ⁠ (　 　)。 因为∠1＝∠2(已知)， 所以∠1＝ (　 　)。 所以AB∥CD(　 　)。 2　 3　 角平分线的定义 ∠3　 等量代换 内错角相等，两直线平行 上一页 下一页 数学.七年级下册 变式2　如图，已知EC，FD与直线AB分别交于C，D两点， ∠1＝∠2。试说明：CE∥DF。 解：因为∠ECD ＝180°－∠1， ∠FDC＝ 180°－∠2，∠1＝∠2， 所以∠ECD ＝∠FDC。 所以CE∥DF(内错角相等，两直线平行)。 解：因为∠ECD ＝180°－∠1， ∠FDC＝ 180°－∠2，∠1＝∠2， 所以∠ECD ＝∠FDC。 所以CE∥DF(内错角相等，两直线平行)。 上一页 下一页 数学.七年级下册 知识点3　同旁内角互补，两直线平行 判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补， 那么这两条直线平行。 简述为：同旁内角互补，两直线平行。 上一页 下一页 数学.七年级下册 典例3　完成下面的推理过程。 如图，已知∠1＝110°，∠2＝70°，试说明：a∥b。 解：因为∠1＝110°(已知)， 所以∠3＝∠1＝110°(　 　)。 又因为 (已知)， 所以 ⁠。 所以a∥b(　 　)。 对顶角相等 ∠2＝70°　 ∠2＋∠3＝180°　 同旁内角互补，两直线平行 上一页 下一页 数学.七年级下册 变式3－1　如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°， ∠BCD＝60°，这时说管道AB∥CD对吗？为什么？ 解：说管道AB∥CD是对的。理由如下： 因为∠ABC＝120°，∠BCD＝60°， 所以∠ABC＋∠BCD＝180°。 所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)。 解：说管道AB∥CD是对的。理由如下： 因为∠ABC＝120°，∠BCD＝60°， 所以∠ABC＋∠BCD＝180°。 所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)。 上一页 下一页 数学.七年级下册 变式3－2　如图，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2， ∠3＋∠4＝180°，则a与c平行吗？为什么？ 解：a∥c。理由如下： 因为∠1＝∠2， 所以a∥b (内错角相等，两直线平行)。 因为∠3＋∠4＝180°， 所以b∥c (同旁内角互补，两直线平行)。 所以a∥c (平行于同一条直线的两条直线平行)。 解：a∥c。理由如下： 因为∠1＝∠2， 所以a∥b (内错角相等，两直线平行)。 因为∠3＋∠4＝180°， 所以b∥c (同旁内角互补，两直线平行)。 所以a∥c (平行于同一条直线的两条直线平行)。 上一页 下一页 数学.七年级下册 1. 如图，下列说法正确的是(　D　) A. ∠A和∠1是同位角 B. ∠A和∠2是内错角 C. ∠A和∠3是同旁内角 D. ∠A和∠B是同旁内角 D 上一页 下一页 数学.七年级下册 2. 如图， (1)如果∠2 ＝∠6，那么 ∥ ⁠； (2)如果∠BCD＋∠ADC＝180°， 那么 ∥ ⁠； (3)如果∠9 ＝∠ ，那么AD∥BC； (4)如果∠9 ＝∠ ，那么AB∥CD。 AD　 BC　 AD　 BC　 DAB　 BCD　 上一页 下一页 数学.七年级下册 3. 如图，∠2＝∠3＝64°，要使直线a∥b，则∠1的度数 为 ⁠。 第3题图 52°　 上一页 下一页 数学.七年级下册 4. (教材P47习题T3)如图，一条街道的两个拐角∠ABC与 ∠BCD均为150°，街道AB与CD平行吗？为什么？ 解：街道AB与CD平行。理由如下： 因为∠ABC＝∠BCD＝150°， 所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)。 解：街道AB与CD平行。理由如下： 因为∠ABC＝∠BCD＝150°， 所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)。 上一页 下一页 数学.七年级下册 5. 如图，已知∠3＋∠4＝180°，∠1＝∠2。试说明： DE∥BC。 解：因为∠3＋∠4＝180°， ∠1＋∠4＝180°， 所以∠1＝∠3。 又因为∠1＝∠2， 所以∠2＝∠3。 所以DE∥BC(内错角相等，两直线平行)。 解：因为∠3＋∠4＝180°，∠1＋∠4＝180°， 所以∠1＝∠3。 又因为∠1＝∠2， 所以∠2＝∠3。 所以DE∥BC(内错角相等，两直线平行)。 上一页 下一页 数学.七年级下册 6. 在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的。如图，已知∠2是 直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否 平行？为什么？ 解：因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4＝ 90°，根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直 轨平行。 类似地，∠5和∠2是内错角，∠3和∠2是同旁内角，如果度量 出它们是直角，也可以判断两条直轨平行。 解：因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角， 如果度量出∠4＝90°，根据“同位角相等， 两直线平行”，就可以判断两条直轨平行。 类似地，∠5和∠2是内错角，∠3和∠2是 同旁内角，如果度量出它们是直角，也可以判断两条直轨平行。 上一页 下一页 数学.七年级下册 $