精品解析：云南开远市第一中学2025-2026学年下学期期中考试高一数学试题

开远一中2025~2026学年高一下学期期中考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 7. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 10. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件相互独立 D. 11. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在上单调递减 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为___________. 13. _____． 14. 在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角C； （2）若的面积为，求a、b的值． 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，求函数的最小值. 17. 已知函数的最小正周期为，最大值为. （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 18. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 19. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且． （1）若二面角的大小为，求DM的长； （2）当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开远一中2025~2026学年高一下学期期中考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以（当且仅当，即时取等号）. 所以的最小值为. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，可得. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数、指数函数的单调性，分别和，比较大小即可. 【详解】对数函数在上单调递增，且， 因为，所以，即； 因为指数函数在上单调递增，且， 因为，所以，即； 又因为，因此大小关系为：. 4. 已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意所求变为或，求解即可得答案． 【详解】因为是定义在上的减函数，且， 所以当时，，当时，， 由， 得或， 即或， 解得或，所以解集为． 故选：C． 5. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由，根据正弦定理得， 设， 可得， 故选：B. 6. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，可得弧长、半径和圆心角的关系，结合面积公式，即可得答案. 【详解】设扇形的半径为r，弧长为l， 则，解得， 所以. 7. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥的底面半径，高，母线长，再结合圆锥的轴截面构造等式即可求出. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，有， 可得， 圆锥的轴截面如图，设体积最大的球的半径为， 有，有，解得， 故该球的最大体积为． 故选：C. 8. 已知平面向量满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两边平方，整理得，令，所以，即可求解． 【详解】因为，且， 所以， 所以， 令， 所以，其中， 所以， 即的取值范围是． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数除法求得，然后根据复数的概念、几何意义，复数的运算判断各选项． 【详解】的虚部为5，故A错误； 在复平面中对应的点在第三象限，故B正确； ，故C正确； 虚数不能比较大小，故D错误， 故选：BC. 10. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，然后再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质即可判断出答案. 【详解】样本空间为． 因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 因为，所以事件与事件为对立事件，故正确； 因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确； 因为，所以，故D错误． 故选：BC. 11. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在上单调递减 D. 若，则的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】求得函数定义域，结合奇函数定义可判断A，由函数定义域可判断B，通过时，，结合和的单调性即可判断C，由得到，再结合基本不等式即可判断D. 【详解】对A：，要使得函数有意义，则， 解得且， 所以的定义域关于原点对称，且， 从而是奇函数，A正确； 对B：当时，，由定义域可知无意义，故错误； 对C：当时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，故在上单调递减，C正确； 对D：当，且时， 即， 化简得， 则， 当且仅当，即或时取“=”， 的最大值为，D错误． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据分层抽样的特点：按比例抽样，即所占比例不变． 【详解】高二人数占总人数的比例为，高二抽取的人数为 故答案为：10． 13. _____． 【答案】 【解析】 【分析】由，利用两角和的正切公式变形即可得解. 【详解】， ， ． 故答案为：. 14. 在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，进而可求得点到平面的距离的最大值. 【详解】因为平面，，平面，所以，， 又，，所以，又， 所以，因为，， 所以，所以，设到平面的距离为， 等体积法可得，即，解得， 所以点到平面的距离为， 又，所以点到平面的距离的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角C； （2）若的面积为，求a、b的值． 【答案】（1）；（2），或，． 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理结合，即可求角C； （2）利用面积公式可以求出，再利用余弦定理可以求得，进而可得a、b的值． 【详解】（1）由余弦定理有， 因为，可得； （2）由题意有，可得， 由余弦定理得：， 将， 代入可得：， 可得，所以， 所以， 由，解得或 故，或，． 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，求函数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得的值. （2）讨论对称轴与区间的关系，根据函数的单调性求得在上的最小值． 【小问1详解】 由题意可得：， 解得：； 【小问2详解】 由（1）， 则，对称轴为直线， 当，即时，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，所以． 综上所述， 17. 已知函数的最小正周期为，最大值为. （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知函数的性质求参数，再由正弦型函数的性质求对称中心； （2）经过变换得到解析式，将零点问题转化成交点问题求解. 【小问1详解】 由，得 ，而，得. 所以由，得，而， 所以，则. 由解得，， 所以的对称中心为，. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位，得到函数 ，再将所得图象上各点 的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数. 由函数在区间上有两个不同的零点，即 在区间上有两个不同的交点. 而时单调递增，时单调递减， 且，， ，所以有. 18. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 【答案】（1）； （2）105小时 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求解； （2）利用频率直方图的中点值结合均值算法，可估计总体平均值； （3）利用分层抽样和古典概型公式可求出概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：，解得， 一个学期自习时间在内的学生人数为； 【小问2详解】 该校学生一个学期自习平均时间 ， 即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时； 【小问3详解】 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这4人分别记为A，B，C，D， 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这2人分别记为a，b， 再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为： ，共有15个样本点， 其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点， 所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 19. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且． （1）若二面角的大小为，求DM的长； （2）当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用直棱柱和底面是有角的菱形，可作出二面角的平面角，从而解直角三角形即可. （2）利用等体积法来求线面角，即只需要求出点N到平面的距离，再用距离与长度的比值就是线面角的正弦值，从而可求解. 【小问1详解】 取中点P，过P点作，交于点Q，连接． 由直四棱柱，可得平面， 而平面，所以，即， 又因为，所以， 因为底面是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，则， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 即为二面角的平面角，所以． 在平面中，由，可得． 在中，，， 则，解得； 【小问2详解】 因为平面，所以， ． 因为三棱锥的体积为， 所以，解得， 因为平面，所以． 在中，， ， 所以． 设N到平面的距离为d， 在中，，， 所以， 所以． 因为，所以，解得． 在中，由余弦定理得， 所以． 设与平面所成的角为． 所以． 令，则． 因为，所以，所以， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $