9.1.2 用坐标描述简单几何图形-导学案 2025--2026学年人教版七年级数学下册

姓名: 学科: 日期: 9.1.2用坐标描述简单几何图形 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：1课 时 日期：2026年5月13日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历问题探究，理解与掌握利用坐标描述简单几何图形的具体步骤与原则，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象、数学运算·重难点） 【学习过程】 1、 引言导入 几何图形都是由点组成的,坐标可以描述平面内点的位置，因而就可以利用坐标来描述一些几何图形. 2、 问题探究 （一）问题 如图9.1-6,正方形的边长为6,如果以点为原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,那么图中哪条线能作为轴?写出正方形的顶点的坐标. 请另建立一个平面直角坐标系,这时正方形的顶点的坐标又分别是什么?与同学交流一下. （2） 探究 由题意可知：这样建立的平面直角坐标系以所在直线为轴，如下图所示 当取1个单位长度代表长度“1”时,正方形的顶点的坐标分别是 . 若以的中点为原点,所在在直线为轴,建立平面直角坐标系,如下图所示 当取1个单位长度代表长度“1”时,则正方形的顶点的坐标分别是 三、用坐标描述简单几何图形 一般地,可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形.在用坐标描述简单几何图形时,只需用坐标描述这些图形上关键点的位置.这时,建立的平面直角坐标系不同,图形上点的坐标也不同.为了能方便地写出图形上点的坐标,在建立平面直角坐标系时,要考虑图形的形状特征. 类似地,在平面直角坐标系中,由简单几何图形的一些关键点(例如顶点)的坐标,可以确定这些关键点的位置,进而确定这个简单几何图形 注1：用坐标描述简单几何图形的具体步骤 （1）选原点; （2）作两轴：画坐标轴； （3）定坐标系：轴和轴的正方向和单位长度. 注2：用坐标描述简单几何图形的原则 （1）运算简单； （2）所得的坐标简单. 四、实例运用 例1.在平面直角坐标系中,长方形的顶点坐标分别为.画出长方形. 解:如图9.1-7,由长方形的顶点坐标分别为,可以描出点. 连接,就可以画出长方形. 例2．试建立适当的平面直角坐标系，写出图中各顶点的坐标． 【答案】见解析 【难度】0.75 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】以点为坐标原点，以边所在直线为x轴，边所在直线为y轴，然后根据线段的长度写出点的坐标即可． 【详解】解：以点为坐标原点，以边所在直线为x轴，边所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则图中各顶点的坐标分别为，，，，． 五、溯源 17世纪,法国数学家笛卡儿(Descartes,1596-1650)引入坐标系,用方程表示曲线,开了用代数方法解决几何问题的先河.从那以后,数学的面貌发生了划时代的变化,代数和几何两大领域更加密切地联系起来, 六、达标检测 1．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点M的坐标为或 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形综合、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】（1）由A、B的坐标，根据，列出关于m的方程，解方程； （2）过C作于H，轴于G，由C的坐标得到，，先求出，得到，设M的坐标是，根据三角形面积公式得出，求出，即可得到M的坐标． 【详解】（1）解：∵，，点A、B在原点两侧，且， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G，如图所示： 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 【点睛】注意纵轴上两点间的距离为这两个点纵坐标之差的绝对值． 2．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，，，已知，，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，求点的运动时间； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)t为或 (2)或或 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握图形与坐标性质等知识是解题的关键． （1）由题意得，当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当点P在上时，②当点P在上时；③当点P在上时，分别表示即可． 【详解】（1）解：， ， 当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或， 或， 为或； （2）解：①当点P在上时，； ②当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P横坐标都为6， ∴； ③当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P纵坐标都为， ∴； 综上，点的坐标为或或． 3．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． (1)写出点A，B，C，D的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)，，， (2)14 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形综合 【分析】（1）根据图形结合坐标系写出各点坐标即可； （2）利用长方形的面积减去四个顶点上三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得， ，，，． （2）解：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，四边形的面积等，结合网格特点以及平面直角坐标系的特征确定点的坐标是解题的关键． 4．如图，的三个顶点位置分别是，，，线段与y轴交于． (1)求的面积； (2)若点A、B的位置不变，当点P在坐标轴上什么位置时，使？ 【答案】(1)6 (2)或或或 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的特征及三角形的面积，掌握三角形的面积公式及点在平面直角坐标系中的位置是解题的关键． （1）根据点A，B，C三个点的坐标，求出的长、点B到的距离，利用三角形面积公式列式计算即可得解； （2）根据得到，然后分两种情况，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵、、， ∴，点B到的距离为3， ∴的面积是； （2）解：由题意得，， 当P点在x轴上， ∴ 解得， ∵ ∴点P坐标为或； 当点在轴上时，记线段与y轴交于， ∵ ∴ ∴， ∴点P坐标为或， 综上：点P坐标为或或或． 5．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解； （2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，． ∵点，，，， ∴，，，，， ∴ ． （2）解：设， ∵三角形的面积等于四边形面积的一半，， ∴， 解得：或， ∴或． 五、课堂小结：今天我们都学习了哪些知识？ 经历问题探究，理解与掌握了利用坐标描述简单几何图形的具体步骤与原则，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象、数学运算·重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 9.1.2用坐标描述简单几何图形 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：1课 时 日期：2026年5月13日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历问题探究，理解与掌握利用坐标描述简单几何图形的具体步骤与原则，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象、数学运算·重难点） 【学习过程】 1、 引言导入 几何图形都是由点组成的,坐标可以描述平面内点的位置，因而就可以利用坐标来描述一些几何图形. 2、 问题探究 （一）问题 如图9.1-6,正方形的边长为6,如果以点为原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,那么图中哪条线能作为轴?写出正方形的顶点的坐标. 请另建立一个平面直角坐标系,这时正方形的顶点的坐标又分别是什么?与同学交流一下. （2） 探究 由题意可知：这样建立的平面直角坐标系以 所在直线为轴，如下图所示 当取1个单位长度代表长度“1”时,正方形的顶点的坐标分别是 . 若以的中点为原点,所在在直线为轴,建立平面直角坐标系,如下图所示 当取1个单位长度代表长度“1”时,则正方形的顶点的坐标分别是 . 三、用坐标描述简单几何图形 一般地,可以建立 来描述一些简单几何图形.在用坐标描述简单几何图形时,只需用坐标描述这些图形上 的位置.这时,建立的平面直角坐标系不同,图形上点的 也不同.为了能方便地写出图形上点的坐标,在建立平面直角坐标系时,要考虑图形的形状特征. 类似地,在平面直角坐标系中,由简单几何图形的一些关键点(例如顶点)的坐标,可以确定这些关键点的位置,进而确定这个简单几何图形 注1：用坐标描述简单几何图形的具体步骤 （1）选 ; （2）作 ：画坐标轴； （3）定 ：轴和轴的正方向和单位长度. 注2：用坐标描述简单几何图形的原则 （1） 简单； （2）所得的 简单. 四、实例运用 例1.在平面直角坐标系中,长方形的顶点坐标分别为.画出长方形. 例2．试建立适当的平面直角坐标系，写出图中各顶点的坐标． 五、溯源 17世纪,法国数学家笛卡儿(Descartes,1596-1650)引入坐标系,用方程表示曲线,开了用代数方法解决几何问题的先河.从那以后,数学的面貌发生了划时代的变化,代数和几何两大领域更加密切地联系起来, 六、达标检测 1．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，，，已知，，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，求点的运动时间； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标． 3．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． (1)写出点A，B，C，D的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 4．如图，的三个顶点位置分别是，，，线段与y轴交于． (1)求的面积； (2)若点A、B的位置不变，当点P在坐标轴上什么位置时，使？ 5．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 五、课堂小结：今天我们都学习了哪些知识？ 经历问题探究，理解与掌握了利用坐标描述简单几何图形的具体步骤与原则，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象、数学运算·重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $