9.1.2 用坐标描述简单几何图形 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数 9.1.2 用坐标描述简单几何图形本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解平面直角坐标系的概念，掌握横轴、纵轴、原点、坐标的定义，能准确识别点的坐标并在坐标系中描出对应点，培养学生的数形结合意识和抽象思维能力。教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展应用—总结收获”五个环节展开，注重直观演示、师生互动和分层教学，突出概念的逻辑性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求，确保学生能扎实掌握平面直角坐标系的核心概念。 一、复习铺垫，导入新课（5分钟） 1. 师生互动：教师提问“我们之前学过如何表示数轴上的点？”，引导学生回忆数轴的定义——规定了原点、正方向和单位长度的直线，随后板书一条数轴，标注原点O、正方向（向右）和单位长度1，让学生说出数轴上标注的3、-2、0对应的点，唤醒旧知，强调“数轴上的点可以用一个数（坐标）来表示，实现了数与点的对应”。2. 情境导入：展示问题“在教室里，如何准确描述你的座位位置？”，引导学生思考“需要两个数据，比如第几排、第几列”，进而引出课题——平面直角坐标系的概念，明确本节课学习任务：理解平面直角坐标系的组成，掌握点的坐标表示方法，能在坐标系中描点，学会用坐标描述平面内点的位置。 二、探究新知，突破核心（15分钟） 本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究平面直角坐标系的概念，注重直观演示、概念拆解和易错点强调，贴合七年级学生认知特点，避免抽象难懂。 1. 平面直角坐标系的组成：教师用直尺在黑板上绘制平面直角坐标系，边画边讲解组成部分：① 横轴：水平放置的数轴，叫做x轴（或横轴），规定向右为正方向；② 纵轴：垂直放置的数轴，叫做y轴（或纵轴），规定向上为正方向；③ 原点：x轴和y轴的交点，记作O，原点对应的数为0；④ 单位长度：x轴和y轴上统一的单位长度（可根据实际情况设定，如1个单位长度代表1cm），强调“x轴和y轴互相垂直，且单位长度要统一，共同组成平面直角坐标系”，明确平面直角坐标系也叫做笛卡尔坐标系。 2. 点的坐标概念：结合绘制的坐标系，讲解点的坐标表示方法：① 对于平面内任意一点P，过点P作x轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的横坐标（记作x）；过点P作y轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的纵坐标（记作y）；② 点的坐标用有序数对（x，y）表示，先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，外面加小括号，举例说明：在坐标系中，过点A作x轴垂线垂足为2，作y轴垂线垂足为3，则点A的坐标为（2，3），其中2是横坐标，3是纵坐标；特别强调“有序”，说明（2，3）和（3，2）是两个不同的点，因为横坐标和纵坐标的顺序不同，对应平面内不同的位置。 3. 象限与特殊点的坐标：简单介绍象限概念（为后续学习铺垫）：x轴和y轴将平面分成四个部分，从右上开始依次为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限；重点讲解特殊点的坐标：① 原点O的坐标为（0，0）；② x轴上的点，纵坐标为0，如（5，0）、（-3，0）；③ y轴上的点，横坐标为0，如（0，4）、（0，-2），结合实例让学生快速区分，避免混淆。 4. 初步尝试：教师在坐标系中标出3个点，让学生尝试说出它们的坐标；再给出3个有序数对，让学生尝试在坐标系中指出对应点，教师巡视指导，对坐标表示不规范、描点错误的学生进行个别纠正，完成后邀请2-3名学生上台展示，师生共同点评，巩固概念和操作方法。 三、实操巩固，强化技能（10分钟） 本环节通过分层练习，让学生巩固平面直角坐标系的组成、点的坐标表示和描点方法，提升实操熟练度，兼顾基础和提升，落实教学目标。 1. 基础练习：让学生完成下列题目：① 说出平面直角坐标系的组成部分，标注出x轴、y轴、原点和单位长度；② 写出坐标系中给定的5个点（包含x轴、y轴上的点和象限内的点）的坐标；③ 根据给定的5个有序数对（包含原点、x轴、y轴上的点），在坐标系中准确描出对应点。教师巡视，检查学生的表述和描点规范性，及时纠正错误，如坐标顺序颠倒、描点时未作垂线、单位长度不统一等问题，确保基础技能落实。 2. 提升练习：给出题目：① 已知点A（m，0）在x轴上，求m的值；② 已知点B（0，n）在y轴上，求n的值；③ 判断点（-2，3）、（4，-1）、（0，0）分别在哪个象限或坐标轴上，引导学生思考特殊点的坐标特征，培养学生的逻辑推理能力，深化对概念的理解。 3. 小组合作：将学生分成4-6人小组，每组发放练习纸（印有平面直角坐标系），小组内合作完成练习，互相检查描点准确性和坐标书写规范性，讨论易错点（如坐标顺序、特殊点的坐标特征），教师巡视各小组，对有困难的小组进行指导，培养学生的合作意识和互助能力。 四、拓展应用，深化理解（10分钟） 本环节将平面直角坐标系的概念与生活实际结合，通过实际问题拓展学生思维，实现“学用结合”，让学生体会数学与生活的联系，深化对概念的理解。 1. 实例应用：展示实际问题：在校园平面图中，以教学楼为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，1个单位长度代表10米，已知图书馆在教学楼的右上方，横坐标为3，纵坐标为2，写出图书馆的坐标，并说明它距离教学楼的水平距离和竖直距离分别是多少。引导学生思考：坐标（3，2）中，横坐标3代表水平距离3×10=30米，纵坐标2代表竖直距离2×10=20米，让学生明白平面直角坐标系在描述位置中的应用，体会数形结合的优势。 2. 拓展思考：提问“平面内任意一个点，都能找到唯一的有序数对与之对应吗？反过来，任意一个有序数对，都能在平面内找到唯一的点与之对应吗？”，引导学生自主思考、讨论，得出“平面内的点与有序数对是一一对应的”这一结论，培养学生的抽象思维能力和深度思考能力。 3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程和思路，师生共同评价，肯定优点，指出不足，对思路清晰、表述规范的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固所学知识，体会平面直角坐标系的应用价值。 五、总结提升，梳理收获（5分钟） 1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了什么？”，让学生自主发言，梳理平面直角坐标系的组成（x轴、y轴、原点、单位长度）、点的坐标表示方法（有序数对（x，y））、特殊点的坐标特征，强调易错点（坐标的有序性、坐标轴上的点不属于任何象限）。 2. 梳理收获：教师补充总结，强调“平面直角坐标系的核心是实现了平面内点与有序数对的一一对应，是数形结合的重要工具”，引导学生明白，有了平面直角坐标系，我们可以用数来描述平面内点的位置，为后续学习函数、图形的平移等知识打下基础，鼓励学生课后多练习描点和写坐标，熟练掌握概念和操作方法。 3. 布置作业：让学生课后巩固平面直角坐标系的概念，在练习本上绘制一个平面直角坐标系，标注出各部分名称，写出5个不同位置点的坐标（包含象限内、x轴、y轴上的点），并根据给定的5个有序数对描出对应点，下节课上台展示，进一步强化技能，深化对概念的理解。 整个教学过程注重直观性和实操性，层层递进，从概念探究到实操练习，再到拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点，确保学生能理解平面直角坐标系的概念，掌握点的坐标表示和描点方法，能解决简单的坐标相关问题，同时培养学生的数形结合意识和抽象思维能力。 【学习目标】 1. 在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形的其他顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. 2. 在平面直角坐标系中，能根据几何图形的一些关键点的坐标，确定这个简单几何图形. 3. 能根据图形的特征建立合适的平面直角坐标系，并写出对应的点的坐标. 【学习重点】能建立坐标点与几何图形之间的联系. 【学习难点】建立合适的坐标系来确定简单的几何图形. 【自主学习】 上堂课我们学习了坐标可以描述平面内点的位置，所有的几何图形都是由点组成的，是否可以用坐标来描述一些简单的几何图形? 【合作探究】 探究点一：有序数对的定义 活动 1：阅读教材 P67 的“探究”内容，与同桌讨论并解决下列问题. 问题1：以 AB 所在直线为 x 轴，选择合适的直线作为 y 轴，试着写出点 A，B，C，D 的坐标. 试着比较一下你与同桌的答案，有什么不同. 问题 2：请另建一个坐标系，试着写出点 A，B，C，D 的坐标，你有什么发现? [归纳总结] 建立平面直角坐标系的基本步骤： [思考] 怎样建立平面直角坐标系比较适当？ [典型例题] 例1 （教材P67例2） 在平面直角坐标系中，长方形 ABCD 的顶点坐标分别为点 A(-3，2)，B(-3，-3)，C(3，-3)，D(3，2). 画出长方形ABCD. 例2 如图，请建立平面直角坐标系，使点 B，C 的坐标分别为 (0，0) 和 (4，0)，写出点 A，D，E，F，G 的坐标，并指出它们所在的象限. 【练一练】 1. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，请在正方形ABCD 所在的平面内，建立两个适当且不同的平面直角坐标系，并分别说一说所建立的两个不同的平面直角坐标系中正方形 ABCD 各顶点的坐标. 2. 右图是一个围棋棋盘(局部)，把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋 ① 的坐标是(－2，－1)，白棋 ③ 的坐标是(－1，－3)，则黑棋❷的坐标 是__________. 探究点二：坐标系中几何图形的面积 活动 2：在如图的平面直角坐标系中描出下列各坐标表示的点，并将各点用线段依次连接起来.(2，1)，(6，1)，(6，3)，(7，3)，(4，6)，(1，3)，(2，3). 问题 1：若A(2,3), B(6,3).画直线 AB. 若点 D 为直线 AB 上的任意一点，则点 D 的纵坐标是多少? 问题 2：在问题1 下，点C(6,1),画直线 BC. 若点E 为直线 BC 上的任意一点，则点 E 的横坐标是多少? 问题3：如果一些点在平行于 x 轴的直线上，那么这些点的纵坐标有什么特点? 如果这些点在平行于 y 轴的直线上，那么这些点的横坐标有什么特点? 问题 4：请计算这个图形的面积. [练一练] 3. 如图所示，已知点 A(-4，2)，B(3，0)，点 C 在 x 轴上，且△ABC 的面积为 9，求点 C 的坐标. 课堂检测 1. 教材P68练习T1改编在方格纸上有A，B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，－7)，若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为(　　) A. (－3，7) B. (－3，－7) C. (3，7) D. (3，－7) 2. 三角形ABC中，点B和点C的坐标如图所示，则点A的坐标是(　　) A. (5，3) B. (9，5) C. (3，5) D. (2，2) 第2题图 第3题图 3. 如图，已知长方形的边与分别坐标轴平行，如果点A的坐标是(4，2)， 点B的坐标是(6，5)，那么点C的坐标是(　　) A. (4，5) B. (6，2) C. (4，2) D. (5，2) 参考答案 【合作探究】 探究点一：有序数对的定义 问题1 以AD所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系.当取 1 个单位长度代表长度“1”时，正方形的顶点 A，B，C，D 的坐标分别是(0，0)，(6，0)，(6，6)，(0，6). 问题1示意图 问题2示意图 问题2 若以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系.当取 1 个单位长度代表长度“1”时，则正方形的顶点 A，B，C，D 的坐标分别是(-3，0)，(3，0)，(3，6)，(-3，6). 【典型例题】例1 分析：一个长方形四个顶点的位置确定了，这个长方形就确定了.在平面直角坐标系中，由顶点坐标描出长方形ABCD 的四个顶点，就可以画出这个长方形. 例1作图 例2作图 例2 解：建立平面直角坐标系如图：点 A(-2，3) 在第二象限，点 D(6，1) 在第一象限，点 E(5，3) 在第一象限，点 F(3，2) 在第一象限，点 G(1，5) 在第一象限. 总结归纳 顶点 边 【练一练】 示例1 示例2 (1) A.(-2，-2) B.(2，-2) C.(2，2) D.(-2，2) (2) A.(0，0) B.(4，0) C.(4，4) D.( 0，4) 2.(1，－2) 探究点二：坐标系中几何图形的面积 问题1 点D 的纵坐标是3. 问题2 点E 的横坐标是6. 问题3 点在平行于 x 轴的直线上，那么这些点的纵坐标相同；点在平行于 y 轴的直线上，那么这些点的横坐标相同. 问题4 S＝S△PEF＋S矩形ABCQ＝×(7-1)×(6-3)＋(6-2)×(3-1) ＝×6×3＋4×2＝17. [练一练] 3. 解：∵点 A 的坐标为(-4，2)，∴点 A 到 x 轴的距离为 2. ∵ S△ABC＝9，点 C 在 x 轴上， ∴ BC×2＝9，BC＝9. ∵点 B 的坐标为(3，0)， ∴当点 C 在点 B 右侧时，3 + 9 = 12， 此时点 C 的坐标为(12，0)； 当点 C 在点 B左侧时，3 - 9 = -6， 此时点 C 的坐标为 (-6，0). 故点 C 的坐标为 (12，0) 或 (-6，0). 课堂检测 1.A 2.A 3.B 学科网（北京）股份有限公司 $