精品解析：北京师范大学燕化附属中学2025-2026学年第二学期期中学情检测高二年级数学

北师大燕化附中2025-2026学年第二学期期中学情检测 高二年级数学 2026年4月 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷与答题卡分别上交. 一、选择题共10小题，每题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 数列1，3，7，15，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由前4项得到，再利用累加法求解即得． 【详解】依题意得，，，由此可得， 所以． 又也符合上式，所以符合题意的一个通项公式是． 故选：A 2. 已知数列的通项公式为＝n2－n－50，则－8是该数列的(　　) A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 非任何一项 【答案】C 【解析】 【分析】令，解出正整数n即为数列的第几项. 【详解】由题意，令，解得或（舍），即为数列的第7项. 故选C. 【点睛】本题考查数列通项公式的应用，熟练掌握数列的基本性质，n为数列的项数. 3. 已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（ ） A. 3 B. 7 C. 13 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由及已知，即可求. 【详解】由. 故选：C 4. 用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数学归纳法相关步骤可得答案. 【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立. 故选：B 5. 学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件为研学团中男生人数多于女生， 事件为男生甲被选中，分别求出，再根据条件概率的公式求解即可. 【详解】事件为研学团中男生人数多于女生， 设事件为男生甲被选中， 则事件为男生甲被选中且研学团中男生人数多于女生. 所以，， 所以在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为 . 故选：B 6. 已知等比数列公比为，其前项和为，若、、成等差数列，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】因为、、成等差数列，所以，显然，代由等比数列的前项和公式化简即得所求 【详解】因为、、成等差数列，所以，显然， 由等比数列的前项和公式有， 化简得，又， 所以解得或（舍）， 故， 故选：B. 7. 一个人工智能语音识别系统有两个独立的模块用于识别命令．模块一正确识别命令的概率为0.9，模块二正确识别命令的概率为0.85．若两个模块同时识别某个命令，则至少有一个正确识别的概率为（ ） A. 0.985 B. 0.765 C. 0.220 D. 0.015 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式进行计算即可. 【详解】设模块一正确识别命令为事件，模块二正确识别命令为事件， 则，. 因为两个模块是独立的，所以至少有一个正确识别的概率为. 故选：A. 8. 已知是公比为的等比数列.则“，恒成立”是“是的一个最值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式结合恒成立，分析的范围，得到的单调性可判断充分性成立，当是的一个最值，假设是递减数列，取,可判断必要性不成立. 【详解】因为，恒成立， 所以，所以恒成立， 若，则可能为正，也可能为负，不等式不恒成立， 若，则，，显然， 当时，，此时为递增数列，所以是的一个最小值， 当时，，此时为递增数列，所以是的一个最小值， 故充分性成立， 当是的一个最值，假设是递减数列，是的最大值， 且，则，，， 则，，则，故必要性不成立， 故“，恒成立”是“是的一个最值”的充分不必要条件. 故选：A. 9. 如果函数满足：对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．在下列函数： ① ② ③ ④ 中是“保等比数列函数”的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项的性质，依次验证各个选项是否满足，则可得结果. 【详解】由等比数列性质知，且， 对于①，， ， 所以与不一定相等，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，，故③正确； 对于④，，故④错误； 故正确的有②③. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解“保等比数列函数”的定义，利用等比中项的性质判断. 10. 投掷一枚均匀的骰子6次，每次掷出的点数可能为1，2，3，4，5，6且概率相等，若存在k使得1到k次的点数之和为6的概率是p，则p的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点数之和为6的可能投法共有11种，分类计算后可得相应的概率，放缩后可得其范围. 【详解】点数之和为6的可能投法有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 于是所求概率． 一方面，， 另一方面， ， 故选：B. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在等差数列中，，则该数列前13项的和是__________. 【答案】26 【解析】 【分析】利用等差数列的性质结合已知可求得，再利用等差数列的性质可求得结果 【详解】因为在等差数列中，， 所以，所以， 所以该数列前13项的和为， 故答案为：26 12. 随机变量服从正态分布，若，则________ 【答案】0.2## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，若， 所以，. 所以. 13. 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则恰有一个人译出密码的概率__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式，独立事件的乘法公式，以及对立事件的概率公式计算. 【详解】记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，为相互独立事件，且，， 恰有1人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出和甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件， 所以恰有1个人译出密码的概率为. 故答案为：. 14. 在数列中，，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用递推公式求出数列的前4项，由此猜想．再用数学归纳法证明，由此能求出． 【详解】在数列中，，且， ， ， ， 由此猜想． 下面用数学归纳法证明： ①，成立， ②假设成立， 则成立， 由①②得， 则． 故答案为：． 15. 已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且．给出下列四个结论： ①； ②存在一个正数，使得对任意的，都有； ③数列单调递减； ④对任意的，，都有． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，赋值法得到，；对于②，判断出，故随着的增大，趋向于，②错误；对于③，计算出时，，故③正确；对于④，在③基础上，得到时，，从而④正确. 【详解】对于①，中， 令得，解得或0（舍去）， 令得，即， 故，解得，负值舍去，①正确； 对于②，因为是各项均为正数的无穷数列，所以， ，故， 故随着的增大，趋向于， 故不存在一个正数，使得对任意的，都有，②错误； 对于③，， 对任意的，， ， 因为是各项均为正数的无穷数列，所以， 所以，， 所以随着的增大而减小，数列单调递减，③正确； ④由以上分析可知，，随着的增大而减小且无限接近于1， 因为对任意的，，有， 所以， 所以 ， 因为，，，， 所以， 故，即， 对任意的，，都有，④正确. 故答案为；①③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小值 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． 【小问2详解】 因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 17. 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． （1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 （2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率． 【答案】（1） （2），，. 【解析】 【分析】（1）由频率估计概率可得结论； （2）先分别求甲校，乙校抽取一人选择正确和选择错误的概率，再利用独立事件概率乘法公式计算相应概率即可； 【小问1详解】 因为甲校所抽查的100名学生中选择正确的人数为80， 所以甲校所抽查的学生该题选择正确的频率为， 故估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率； 【小问2详解】 设事件为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设事件为“从乙校抽取1人做对”，则，， 依题意可知， ， . 18. 已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答. （1）求数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求数列的前项和. 条件①：；条件②：；条件③：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）若选择①②作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差d，代入公式即可求得答案； 若选择②③作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差，根据，即可求得，代入公式即可求得答案； （2）根据题干条件，结合（1）可求得，的值，代入公式，即可求导、q，进而可得，根据分组求和法，结合等差、等比的求和公式，即可得答案. 【详解】解：(不能选择①③作为已知条件) 若选择①②作为已知条件. 因为，， 所以数列是以为首项，公差的等差数列. 所以. 若选择②③作为已知条件. 因为， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列. 因为，所以. 所以，解得. 所以. （2）设等比数列的公比为，结合（1）可得，， 所以，所以. 所以等比数列的通项公式为. 所以 所以 . 19. 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题. （1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； （2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论） 【答案】（1） （2）的分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）由古典概型得到答案； （2）由二项分布得到分布列和数学期望； （3）由方差的计算公式得到答案. 【小问1详解】 由表格得，抽出的名学生中，男女生各有名，所以男女生各随机选取一人，共有种组合， 设“男生成绩高于女生成绩”为事件，则 ，共有种组合，所以， 即从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率为； 【小问2详解】 由表格知，在抽取的名学生中，成绩为优秀（分）的有人， 由频率估计概率，从该校的高一学生中，随机抽取人，该学生成绩优秀的概率为， 因此，从该校高一学生中随机抽取人，成绩优秀人数，的取值范围为， ， ， 所以的分布列为： 数学期望； 【小问3详解】 ，原因如下： 男生的平均成绩为， 则， 女生的平均成绩为， 则， 从参加活动的男生中抽取成绩为87分的男生与表中男生组成新的男生样本， 则， ， 所以. 20. 某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表： 性能评分 行业评级 公司数 5 10 4 3 2 20 1 10 （1）当时，在这100家公司中， （i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； （ii）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望； （2）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为．设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）（i）； （ii） 0 1 2 期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）当时，得到不低于80分的公司有家，行业评级为5级的公司有家，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （ii）根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）根据题意，求得，且，再求得行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家的概率，结合和的关系，分别求得和的值，即可得到答案. 【小问1详解】 解：（i）当时，可得性能评分不低于80分的公司有家， 其中行业评级为5级的公司有家， 所以从中随机抽取1家，其行业评级为5级的概率为； 由记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，则的可能取值为， 可得，， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 所以期望为. 【小问2详解】 解：由题意，可得，可得， 抽取100家公司的行业评级总和为， 所以，其取值范围为， 该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，用频率估计概率， 则两家的评级都为2级的概率为，此时 两家的评级一家为2级，一家为5级的概率为，平均级别为； 两家的评级都为5级的概率为，平均级别为， 因为，当且仅当时，满足，此时， 又因为且，当且仅当或，满足， 此时， 所以. 21. 设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，定义. （1）若，写出的值； （2）若，求； （3）设证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件确定的值，再求出对应，最后由计算. （2）先求出数列的前项和，再分为奇数和偶数讨论的正负，确定. （3）根据集合及数列正数项情况分类讨论，确定为常数列，为有限集时，，为无限集时，正数项有限时，，正数项无限时，. 【小问1详解】 由题意可得，， ， 【小问2详解】 由题意，在数列中， 若为奇数，则.所以. 若为偶数，则当时， .所以. 所以. 【小问3详解】 在 若为有限集，设其最大元素为（若为空集，取）， 则当时，存在满足. 令， 则.所以； 若为无限集，设，其中，记，则. ①若数列中只有有限项为正数，记（若中没有正数项，取，则， 令，则 所以， ②若数列中有无穷项为正数，将这些项依次记为，其中， 令，则. 所以. 综上所述，对任意的无穷数列都存在数列，使得为常数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大燕化附中2025-2026学年第二学期期中学情检测 高二年级数学 2026年4月 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷与答题卡分别上交. 一、选择题共10小题，每题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 数列1，3，7，15，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的通项公式为＝n2－n－50，则－8是该数列的(　　) A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 非任何一项 3. 已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（ ） A. 3 B. 7 C. 13 D. 2 4. 用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（ ） A. B. C. D. 5. 学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列公比为，其前项和为，若、、成等差数列，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 一个人工智能语音识别系统有两个独立的模块用于识别命令．模块一正确识别命令的概率为0.9，模块二正确识别命令的概率为0.85．若两个模块同时识别某个命令，则至少有一个正确识别的概率为（ ） A. 0.985 B. 0.765 C. 0.220 D. 0.015 8. 已知是公比为的等比数列.则“，恒成立”是“是的一个最值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 9. 如果函数满足：对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．在下列函数： ① ② ③ ④ 中是“保等比数列函数”的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 投掷一枚均匀的骰子6次，每次掷出的点数可能为1，2，3，4，5，6且概率相等，若存在k使得1到k次的点数之和为6的概率是p，则p的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在等差数列中，，则该数列前13项的和是__________. 12. 随机变量服从正态分布，若，则________ 13. 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则恰有一个人译出密码的概率__________. 14. 在数列中，，且，则________． 15. 已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且．给出下列四个结论： ①； ②存在一个正数，使得对任意的，都有； ③数列单调递减； ④对任意的，，都有． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 17. 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． （1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 （2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率． 18. 已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答. （1）求数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求数列的前项和. 条件①：；条件②：；条件③：. 19. 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题. （1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； （2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论） 20. 某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表： 性能评分 行业评级 公司数 5 10 4 3 2 20 1 10 （1）当时，在这100家公司中， （i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； （ii）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望； （2）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为．设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明） 21. 设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，定义. （1）若，写出的值； （2）若，求； （3）设证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $