精品解析：河北沧州地区2025-2026学年九年级上学期期末测试数学试题

青县2025---2026学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试题 一、选择题（12*3=36分） 1. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 3. 下列说法正确的是（     ） A. “打开电视机，正在播放新闻联播”是必然事件． B. “明天下雨概率为0.5”，是指明天一天有半天的时间下雨． C. 方程有两个不相等的实数根． D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定． 4. 把函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移6个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　） A. y=﹣2（x﹣1）2+6 B. y=﹣2（x﹣1）2﹣6 C. y=﹣2（x+1）2+6 D. y=﹣2（x+1）2﹣6 5. 某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，若矩形的面积为6，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 已知一个圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为4，，将绕点按顺时针方向旋转得到．若，则的长为( ) A. 3 B. C. D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，分别与相切于A，B两点，点C在优弧上，点D在劣弧上，且，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（3*4=12分） 13. 点关于原点对称的点是，则__________． 14. 如图，．若 ，，则 的长为____． 15. 如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为__________． 16. 如图，点A、B在直线l上，AB=10cm，⊙B的半径为1cm，点C在直线l上，过点C作直线CD且∠DCB=30°，直线CD从A点出发以每秒4cm的速度自左向右平行运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0），当直线CD出发 ________秒直线CD恰好与⊙B相切． 三、解答题（72分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求m的值； （2）设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 18. 中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． （1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； （2）求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 19. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示： 某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． （1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 ． （2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率． 20. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若给水温为的水进行加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示. （1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （2）在该过程中，水温不低于的时间有多长? 21. 【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． （1）如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为__________． （2）如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和，和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为__________． 【分析】观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转移，从而解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就变换到中． （3）如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为__________． 22. 音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图），图为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点，点在上，两木块之间的距离． （1）直接写出的度数； （2）求长方体木块的高； （3）如图，弦交于，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图中的型塑料管，将拨弦线与型截面平行，并套在型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 23. 要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，但不影响抛物线的形状，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高米，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，高度为3米．以O为原点，所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系． （1）求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式； （2）求水柱落地点A到水池中心O的距离． （3）受场地的限时，喷水池的最大半径为2.5米，为了不让水喷到外面，喷头高度至少降低多少米？ 24. 嘉嘉和淇淇将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 嘉嘉的方案 淇淇的方案 请根据以上信息，完成下列问题： （1）嘉嘉的方案中拼成的正方形边长是 ； （2）求出淇淇的方案中拼成的正方形的边； （3）请你设计一个方案，使拼成的正方形的边长比嘉嘉和淇淇拼成的正方形都大．（要求：在一个三角形中画出裁剪线，并直接写出这个正方形的边长） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青县2025---2026学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试题 一、选择题（12*3=36分） 1. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形概念和中心对称图形的概念即可得到正确选项． 【详解】解：项是中心对称图形，不是轴对称图形，故项符合题意； 项不是中心对称图形，是轴对称图形，故项不符合题意； 项不是中心对称图形，不是轴对称图形，故项不符合题意； 项不是中心对称图形，不是轴对称图形，故项不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，理解轴对称图形概念和中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 计算的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 下列说法正确的是（     ） A. “打开电视机，正在播放新闻联播”是必然事件． B. “明天下雨概率为0.5”，是指明天一天有半天的时间下雨． C. 方程有两个不相等的实数根． D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定． 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，概率的意义，一元二次方程根的判别式，方差的意义，逐项判断即可得到答案． 【详解】A、“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，此项说法错误； B、“明天下雨概率为”，是指明天下雨的可能性有，此项说法错误； C、∵， ∴， ∴方程没有实数根，原说法错误； D、因为，所以甲的成绩更稳定，此项说法正确． 4. 把函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移6个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　） A. y=﹣2（x﹣1）2+6 B. y=﹣2（x﹣1）2﹣6 C. y=﹣2（x+1）2+6 D. y=﹣2（x+1）2﹣6 【答案】C 【解析】 【详解】原抛物线的顶点坐标为(1,3),向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为(−1,6).可设新抛物线的解析式为：y=−2(x−h) ²+k,代入得：y=−2(x+1) ²+6. 故选C. 5. 某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，若矩形的面积为6，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数在其他学科中的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．由矩形的面积可得反比例函数的系数，即可得到答案． 【详解】解：矩形的面积为6， ， ， 故选：C 6. 已知一个圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆锥主视图和左视图的信息得到圆锥的母线长和底面直径，再利用圆锥侧面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：∵圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形， ∴圆锥的母线长，底面圆的直径为， 可得底面圆的周长 ， ∵， ∴ . 7. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ． 8. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 9. 如图，正方形的边长为4，，将绕点按顺时针方向旋转得到．若，则的长为( ) A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理及全等三角形的判定与性质．利用三角形全等得出，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：由旋转可知， ， ，，，． 又四边形是正方形， ，， ， 则． 在和中， ， ， ． 令， 则，，． 在中， ， 即， 解得， 即． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 11. 如图，，分别与相切于A，B两点，点C在优弧上，点D在劣弧上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，利用圆内接四边形的对角互补，求出，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出，再由切线的定义得出，最后利用四边形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接，， 圆内接四边形的对角互补，， ， ， ，分别与相切于点A，B， ， ． 12. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④． 【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ，两个函数的对称轴均为直线， 即， 解得：，故①正确； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ， 由函数的对称性可知， 在和中， ， ， ，故正确②； ③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为， 由①可知两个函数的解析式分别为，， ，， ， 点， ， ， 由， 此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确； ④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为，故正确④； 故选：D． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 二、填空题（3*4=12分） 13. 点关于原点对称的点是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，求出的值，再求和即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故答案为：． 14. 如图，．若 ，，则 的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入计算即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为:． 15. 如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用． 建立坐标系，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，又知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题． 【详解】解：如图，根据题意抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴， 把代入， 解得， 两壁灯之间的距离为， 故答案为：． 16. 如图，点A、B在直线l上，AB=10cm，⊙B的半径为1cm，点C在直线l上，过点C作直线CD且∠DCB=30°，直线CD从A点出发以每秒4cm的速度自左向右平行运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0），当直线CD出发 ________秒直线CD恰好与⊙B相切． 【答案】或6 【解析】 【分析】根据直线与圆相切和勾股定理，圆的半径与BC的关系，注意有2种情况解答即可． 【详解】当直线与圆相切时，点C在圆的左侧， ∵∠DCB=30°，直线CD与⊙B相切， ∴2DB=BC， 即2（1+t）=10-4t， 解得：t=， 当直线与圆相切时，点C在圆的右侧， ∵∠DCB=30°，直线CD与⊙B相切， ∴2DB=BC， 即2（1+t）=4t-10， 解得：t=6， 故答案为或6． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，关键是根据含30°的直角三角形中30°所对的边是斜边的一半进行分析． 三、解答题（72分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求m的值； （2）设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，则原方程变为， 设这个方程的两个根是，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 18. 中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． （1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； （2）求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到，由垂径定理、勾股定理列出关于的方程． （1）由垂径定理，即可得到答案； （2）由勾股定理得到，求出即可得到这个月亮门的最大宽度． 【小问1详解】 解：经过圆心O，且弦， ； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， 设的半径为m，则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴这个月亮门的最大宽度为． 19. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示： 某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． （1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 ． （2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从4种邮票任取一张共有4种情况，其中“冬季两项”只有1种情况， 恰好抽到“冬季两项”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：直接使用图中的序号代表四枚邮票，由题意画出树状图，如图所示： 由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相等．其中，恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的结果有2种， ∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：． 【点睛】本题主要考查的是概率公式，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若给水温为的水进行加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示. （1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （2）在该过程中，水温不低于的时间有多长? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用热量差每分钟加热的温度可得加热时间为4分钟，进而得到，点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （2）分类讨论，加热过程中水温不低于的时间+降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用（1）中的函数解析式即可求得． 【小问1详解】 解：开始加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中，y与x的函数关系式是； 【小问2详解】 解：在加热过程中，水温为时，所需时间为， 即温度都高于； 在降温过程中，水温为时，， 解得：， 即内温度都高于， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 21. 【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． （1）如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为__________． （2）如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和，和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为__________． 【分析】观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转移，从而解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就变换到中． （3）如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为__________． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，交延长线于点，由图可知点在格点上，由勾股定理可得，然后在中计算即可； （2）由平行线的性质可得，即有，再在中，由求解可获答案； （3）取格点，连接，由平行线的性质可得，由图易知为等腰直角三角形，即有，由即可获得答案． 【小问1详解】 解：如下图，过点作，交延长线于点， 由图可知点在格点上，， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2； 【小问3详解】 如下图，取格点，连接， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了格点三角形、平行线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题关键是运用转化思想和数形结合的思想分析问题． 22. 音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图），图为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点，点在上，两木块之间的距离． （1）直接写出的度数； （2）求长方体木块的高； （3）如图，弦交于，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图中的型塑料管，将拨弦线与型截面平行，并套在型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用切线的性质解答即可； （）过点作于，连接，可证四边形是矩形，得到，进而可证明四边形是矩形，得到，即得点在同一直线上，得到四边形是矩形，即得到，，得到，最后利用勾股定理求出即可求解； （）由弦交于，可得，即得，，又由等腰三角形的性质可得，即得，进而求出线段和的长，再相加即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的切线，切点为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于，连接，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点在同一直线上， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：长方体木块的高为； 【小问3详解】 解：∵弦交于，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴， 又∵的长， ∴每一根拨弦线的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，弧长公式，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，但不影响抛物线的形状，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高米，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，高度为3米．以O为原点，所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系． （1）求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式； （2）求水柱落地点A到水池中心O的距离． （3）受场地的限时，喷水池的最大半径为2.5米，为了不让水喷到外面，喷头高度至少降低多少米？ 【答案】（1）水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为 （2）水柱落地点A到水池中心O的距离为3米 （3）喷头高度至少降低米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意知，设抛物线解析式为，把代入解析式求出a即可； （2）令，解方程即可； （3）令，求出y即可； 【小问1详解】 根据题意知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入解析式得， 解得， ∴水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为； 【小问2详解】 令，得，解得，(舍去)， ∴， ∴， ∴水柱落地点A到水池中心O的距离为3米； 【小问3详解】 令时，， 为了不让水喷到外面，喷头高度至少降低米． 24. 嘉嘉和淇淇将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 嘉嘉的方案 淇淇的方案 请根据以上信息，完成下列问题： （1）嘉嘉的方案中拼成的正方形边长是 ； （2）求出淇淇的方案中拼成的正方形的边； （3）请你设计一个方案，使拼成的正方形的边长比嘉嘉和淇淇拼成的正方形都大．（要求：在一个三角形中画出裁剪线，并直接写出这个正方形的边长） 【答案】（1） （2） （3）满足要求的正方形边长为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的最短边可得嘉嘉的方案拼成的正方形边长； （2）根据勾股定理，得，证，，得，设，则，，求解得淇淇的方案中拼成的正方形边长为； （3）根据全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质设计即可得解． 【小问1详解】 解：嘉嘉的方案中拼成的正方形边长为； 【小问2详解】 解：如图，由拼成条件可得， 记直角三角形为，根据勾股定理，得 ． ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得，，， ∴淇淇的方案中拼成的正方形边长为； 【小问3详解】 解：其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下： 边长计算如下： 如图，过点B作于点H， ∴， ∴， 根据拼接要求，为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得． ∴根据勾股定理，得，即满足要求的正方形边长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $