10.2分式的基本性质（5知识点+8题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

10.2分式的基本性质 （5知识点+8题型+过关检测） 【题型1 判断分式变形是否正确】 2 【题型2 求使分式变形成立的条件】 4 【题型3 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 6 【题型4 将分式的分子分母各项系数化为整数】 7 【题型5 约分】 10 【题型6 最简分式】 11 【题型7 最简公分母】 13 【题型8 通分】 14 （1）理解并掌握分式的基本性质，明确分式变形的依据和限制条件，能区分分式恒等变形与错误变形。 （2）掌握分式约分、通分的概念与操作方法，能准确识别最简分式、正确寻找最简公分母。 （3）熟练掌握分式系数化整、分式变形判定、分式值变化判断等基础技能。 （4）能运用分式基本性质解决各类基础题型，为后续分式加减乘除运算、分式化简求值奠定基础。 03 知识•梳理 知识点1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 公式表示：，（其中 是不等于0的整式）。 核心三要素（缺一不可） ① 同乘同除：分子、分母必须进行完全相同的运算； ② 同一个式：乘、除的必须是同一个整式； ③ 不为零：所乘（除）的整式 ，这是分式变形成立的关键条件。 知识点2. 分式的符号法则（拓展性质） 分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 常用变形：、、。 知识点3. 约分 （1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 （2）约分原则：只约分子分母的公因式，不单独约分子或分母中的加减项。 （3）约分结果：约分后分式比原式更简洁，分式的值保持不变。 知识点4. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 核心判定：分子、分母的因式完全互质，无法继续约分，分式化简的最终标准即为化为最简分式。 知识点5. 通分与最简公分母 （1）通分定义：根据分式的基本性质，把几个异分母分式化为同分母分式，且分式值不变，这个过程叫做通分。 （2）最简公分母：几个分式分母的所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。 （3）通分核心：通分前后分式值不变，公分母优先选择最简公分母，保证通分后分式最简洁。 04 题型•汇总 【题型1 判断分式变形是否正确】 题型特征：给出分式变形等式，判断变形过程、结果是否正确，基础辨析题型。 解题方法：对照分式基本性质三点要求逐一验证：①分子分母是否同步变形；②是否为同一个整式；③是否排除为0的情况；同时检查是否存在加减约分、符号错误等问题。 高频错误：分子乘整式、分母不乘；局部约分；忽略整式可能为0的情况。 【典例1】．下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的分子分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，根据性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵分子分母不是同时乘或除以同一个整式，∴与不一定相等，本选项不符合题意； B选项，∵，∴本选项不符合题意； C选项，∵变形为时，分子乘分母乘，乘的不是同一个数，∴与不一定相等，本选项不符合题意； D选项，，变形正确，本选项符合题意； 【变式1】．根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、当，时，，，则，故选项不符合题意； B、由分式有意义可得，则，故选项符合题意； C、分式的分子与分母同时减去，分式的值不一定不变，等式不一定成立，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 【变式2】．填空：若，则等式右边的分子为_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据，得分母，故等式右边的分子为，即可作答． 【详解】解：∵， ∴分母， 即等式右边的分子为， 故答案为：． 【变式3】．下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 【题型2 求使分式变形成立的条件】 题型特征：已知分式变形等式成立，求字母的取值范围。 解题方法：①分析变形过程，确定分子分母同除（同乘）的整式；②令该整式不等于0；③结合原分式有意义条件（分母≠0），取公共取值范围。 核心要点：变形成立的核心限制是“所除整式不为0”，不可遗漏。【典例2】．已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据题意两边同乘，得，即可求解． 【详解】解：∵，且保证， ∴两边同乘，得， ∴. 故选：C． 【变式1】．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 【变式2】．填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 【答案】 【分析】根据分式左右两边分母或分子的变化，依据分式的基本性质对分子或分母做相同的运算，结合因式分解即可求解． 【详解】解：（1）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （2）对分母因式分解，得，，故， 分子分母同除以，得； （3）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （4）对左边分子因式分解，得，，约分左边得 ， 对右边分子因式分解得，因此，可得括号内应填． 【变式3】．已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：∵，均为非0常数， ∴， 故答案为：． 【题型3 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 题型特征：将分式中字母扩大、缩小倍数，判断分式值的变化情况。 解题方法：①将原字母替换为变化后的字母；②整理新分式，与原分式对比；③约分后得出倍数关系，判断分式值变大、变小或不变。 技巧：整体代入对比，无需单独计算数值，直接化简对比原式即可。 【典例3】．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．缩小3倍 【答案】A 【分析】将x，y扩大3倍后代入原分式，化简后与原分式比较，即可得到分式值的变化． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，变为，， 则新分式为， 所以新分式与原分式相等，分式的值不变． 【变式1】．如果把分式中的同时缩小到原来的，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的4倍 【答案】B 【分析】根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：把分式中的a，b同时缩小到原来的，可得，即该分式的值缩小到原来的， 故选：B． 【变式2】．根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【答案】 b 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键，根据分式的变化，利用分式基本性质即可求解． 【详解】解：（1）已知等式右边分母 ，且，根据分式的基本性质，给分子分母同乘，得 因此括号内应填入． （2）对等式左边分子因式分解得，变形后分子为，即分子除以，且，根据分式的基本性质，给分子分母同除以，得 因此括号内应填入． 【变式3】．将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 【答案】10倍 【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，求出变化后的分式的值，进行判断即可． 【详解】解：将x和y都扩大10倍后，新分式为， 故新分式的值是原分式的10倍． 故答案为：10倍． 【题型4 将分式的分子分母各项系数化为整数】 题型特征：分式分子、分母含有小数或分数系数，要求化为整数系数且分式值不变。 解题方法：①分数系数：找所有分母的最小公倍数，分子分母同乘该数；②小数系数：根据小数位数乘10、100、1000；③乘完后整理化简，保证所有系数为整数。 易错点：只乘部分项、分子分母乘数不一致，导致分式值改变。 【典例4】．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 【变式1】．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，分式的化简等知识，逐项计算验证，A、B、C均不成立，D选项化简后成立． 【详解】解：A：∵，， ∴ ，而， ∴，A错误． B：∵， ∴，而， ∴，B错误． C：左边分式分子分母同乘10，得 ，右边为， ∵分母不同， ∴除非，否则不相等，C错误． D：， ∵左边右边， ∴D正确． 故选：D． 【变式2】．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质的应用．根据分式的基本性质，给分子与分母同乘一个合适的非零整数，将分子、分母中各项系数化为整数，第一问选择乘10，第二问选择乘100后再约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． 【变式3】．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 【题型5 约分】 题型特征：给出可化简分式，要求规范约分，化为最简形式。 解题步骤：①对分子、分母分别进行因式分解（多项式优先分解）；②找出分子、分母的全部公因式；③分子分母同时约去公因式；④整理剩余部分。 严禁操作：不能对加减结构的式子直接约分，如 不可约分。 【典例5】．化简分式 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用到平方差公式对分子因式分解后约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【变式1】．在等式中，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质，给等式右边的分子分母同乘，即可求出被遮挡部分的式子. 【详解】解：设*部分的式子为，，且， 根据分式的基本性质， 给等式的分子分母同乘得：， ， 即*部分的式子为， 故选B. 【变式2】．化简：______． 【答案】 【分析】对分子和分母分别进行因式分解，再约去分子分母的公因式，得到最简分式． 【详解】解：． 【变式3】．化简：______． 【答案】 【分析】先分别将分子分母因式分解，再约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【题型6 最简分式】 题型特征：判断分式是否为最简分式，或从一组分式中选出最简分式。 解题方法：①因式分解分子、分母；②检查是否存在公共因式；③无公因式即为最简分式，有公因式则不是。 判定口诀：分解因式看公因，无公即为最简式。 【典例6】．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式，判断每个选项是否存在公因式，即可得到答案. 【详解】解：对于A，，分子分母有公因式，A不是最简分式； 对于B，，分子分母有公因式，B不是最简分式； 对于C，无法分解因式，分子分母没有公因式，C是最简分式； 对于D，，分子分母有公因式，D不是最简分式. 【变式1】．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义：分子分母不存在公因式，无法约分的分式是最简分式，将各选项整理变形，判断能否约分即可得到结果； 【详解】解：A、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； B、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； C、中，无法分解因式，分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意； D、，可以约分，不是最简分式，不符合题意． 【变式2】．在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 【变式3】．在分式、、中，最简分式有______个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义．根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式，逐一判断各分式即可． 【详解】解：对于分式，分子和分母有公因式2，可约分为，故不是最简分式； 对于分式，分子和分母无公因式，故是最简分式； 对于分式，分子可因式分解为，分母可因式分解为， 故，故不是最简分式． 因此最简分式有1个． 故答案为1． 【题型7 最简公分母】 题型特征：给出多个异分母分式，求最简公分母，是通分的前置基础题型。 解题步骤：①将所有分母因式分解；②列出所有出现的因式；③相同因式取最高次幂；④所有因式相乘，结果即为最简公分母。 注意：分母为多项式时必须先分解，不可直接套用单项式公分母规则。 【典例7】．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数与各字母的最高次幂，再将二者相乘得到最简公分母． 【详解】解：两个分式分母的系数分别为和，和的最小公倍数是， 最简公分母的系数取； 对于字母部分，的最高次幂是，的最高次幂是，第二个分式含有单独字母，需要将纳入公分母， 将系数与各字母最高次幂相乘，可得最简公分母为． 【变式1】．分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和，和的最小公倍数为，的最高次为，的最高次为， ∴最简公分母为因式． 【变式2】．分式，的最简公分母是______． 【答案】 【分析】根据最简公分母的定义，分别确定系数部分与各字母因式的最高次幂，计算得到结果即可． 【详解】解：确定最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作为公分母. 两个分式的分母分别为和，系数部分的最小公倍数为，的最高次幂为，的最高次幂为，因此最简公分母为 ． 【变式3】．分式，，的最简公分母是____________． 【答案】 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 【题型8 通分】 题型特征：对一组异分母分式进行通分，化为同分母分式。 解题步骤：①求出所有分式的最简公分母；②对比原分母与公分母的差异，确定各分式需要乘的整式；③分子分母同步乘对应整式，化为同分母分式；④保持分子完整展开，不提前约分。 核心要求：通分后分母统一为最简公分母，分式值与原式相等。 【典例8】．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 【变式1】．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 【变式2】．若，则_____． 【答案】/ 【分析】先根据题意求出，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 ∴． 【变式3】．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为___________ ． 【答案】，， 【分析】本题主要考查分式的通分，先确定三个分式的最简公分母，然后利用最简公分母除以各自的分母，得到每个分母需乘的单项式． 【详解】分式, , 的分母分别为, , , 最简公分母为． , , ，故分母所乘的单项式依次为, , ． 故答案为：, , 05 过关•检测 1．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设比例系数法，结合比例性质逐一验证，即可得出． 【详解】解：设， ∴，， 对选项A： ∵，， ∴，A成立； 对选项B： ∵，， ∴，B成立； 对选项C： ∵，， ∴，， ∴，C成立； 对选项D： 举反例，令，，，，，满足， 此时左边，右边，， ∴D不一定成立． 2．将分式中的a、b都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的6倍 D．扩大到原来的3倍 【答案】D 【分析】根据要求变换后，再根据分式的基本性质化简，和原分式比较即可得到结果. 【详解】解：将分式中的a、b都扩大到原来的3倍，即， 故分式的值扩大到原来的3倍. 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方，合并同类项法则，同底数幂乘法，进行计算即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C符合题意； D．，故D不符合题意． 4．下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质可判断A；根据当时，式子无意义可判断B；根据当时，，可判断C、D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、当时，式子无意义，故此选项不符合题意； C、当时，，，此时，故此选项不符合题意； D、当时，，，此时，故此选项不符合题意； 5．将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，找出分子分母的公因式，约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 6．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式的定义判断，即分子与分母没有公因式的分式为最简分式，对各选项因式分解约分后即可得到结果． 【详解】解：∵ 分子与分母没有公因式的分式是最简分式． 对选项A：，分子分母有公因子，不是最简分式． 对选项B：，分子可变形为，与分母没有公因式，无法约分，是最简分式． 对选项C： ， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 对选项D：， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 7．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 【答案】C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 8．若把分式中的，同时扩大到原来的倍，则分式的值也扩大到原来的倍，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，同时扩大为原来的倍后代入分式，根据分式值扩大为原来的倍，推得分母替换后应为原来的倍，验证选项即可得到答案． 【详解】解：设原分母为，则原分式为​，新分式为，根据题意： ​， 化简得：​，即， A选项：，扩大后，，不符合，故A错误； B选项：，扩大后，符合，故B正确； C选项：，扩大后，不符合，故C错误； D选项：，扩大后，不符合，故D错误． 9．关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可． 【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确． 故选：D． 10．已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果． 【详解】解：∵， ∴括号中应填． 11．分式和的最简公分母为______． 【答案】 【分析】最简公分母是取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，按照定义计算即可． 【详解】解：分式和的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母的最高次幂是， 因此两个分式的最简公分母为． 12．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 13．如图①，某玻璃瓶内装有高的墨水，将瓶盖盖好后倒立放置（如图②），此时有墨水的部分高为，没有墨水的部分高为，则瓶内墨水的体积约占玻璃瓶容积的______． 【答案】 【分析】本题考查了约分，圆柱的体积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据圆柱的体积公式，列出分式，再约分． 【详解】解：设玻璃瓶的底面积为， 倒立放置时，没有墨水的部分的体积为， 正立放置时，有墨水的部分的体积是， ∴瓶内墨水的体积约占玻璃瓶容积的， 故答案为：． 14．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填：______； （2）括号内填：______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子和分母的各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）将分子和分母同乘以10，使系数化为整数； （2）将分子和分母同乘以20，消除分数系数，得到整数系数分式． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：． 15．若一个四位数各位数字均不为0，且个位数字的平方与十位数字的平方之差恰好是去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“去尾数”．例如，四位数1367，因为，所以1367是“去尾数”．按照这个规定，2146、1224两个数中，_____是“去尾数”．一个“去尾数”的个位数字为，十位数字为，百位数字为，千位数字为，记，若均是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为_____． 【答案】 1224 3624 【分析】本题考查了“去尾数”的定义，整式加减的应用，分式的运算，理解题意推导出是解题的关键． ①根据定义直接判断即可； ②依题意可得，，即，然后根据均是整数，得到b整除a，，代入得，设，则，推出b整除k，k整除，进而推导出，得到，进而得到b的取值范围为2、3、4，即可求得满足条件的N的值，即可解答． 【详解】解：①对于2146：个位数字的平方与十位数字的平方之差为，去掉个位和十位后为21， ∵， ∴2146不是“去尾数”； 对于1224：个位数字的平方与十位数字的平方之差为，去掉个位和十位后为12， ∵， ∴1224是“去尾数”； ②依题意可得，，即， ∵为整数， ∴b整除a； ∵为整数，且， 代入，得， ∴， 设，则， ∴，且为整数， ∴b整除k， 又∵中为整数， ∴k整除， ∴或， 当时，， ∵，， ∴，即， 当时， ∴， 把，代入， 得， ∵时，， ∴、3、4， 当时，，则，，，此时； 当时，，则，，，此时； 当时，，则，，，此时， 综上，满足条件的N为1224、2736、4848， ∴最大值与最小值的差． 故答案为：1224；3624． 16．不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握基本性质是解题关键．直接利用分式的基本性质将分子与分母分别乘以，进而得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 17．将下列分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）约去分子，分母的最大公因式即可； （2）先分解因式，然后约分计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 18．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 19．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【答案】(1)①③ (2)， 【分析】（1）逐一判断是否符合“巧分式”的定义即可； （2）根据定义可知，计算的值，进而作答即可． 【详解】（1）解：①；②无法进一步约分；③， ∴是“巧分式”的有①③； （2）解：由题意，得， ∵ ， ∴， ∴，， ∴，． 20．阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 21．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对等式进行变形，再对分式进行约分，最后代入求值即可． 【详解】解：由得，， 将代入上式得， 原式． 22．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）； (2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势； (3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________． 【答案】(1)减小；增大；减小 (2)，当时，随着的增大，的值随之增大 (3)2 (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． （1）根据的值随x的变化趋势，可判断的值和的值随x的变化趋势，仿照题意可得，求出的值随x的变化趋势即可得到对应的答案； （2）仿照题意可求出，根据的值随x的变化趋势可得的值随x的变化趋势，进而可得的值随x的变化趋势； （3）可求出，当x无限增大时，则无限接近于0，则此时的值无限接近2； （4）可求出当时，随着的增大，的值随之增大，据此分别求出和时分式的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，的值随之增大； ， ∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小； （2）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大； （3）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小， 当x无限增大时，则无限接近于0， ∴此时的值无限接近2； （4）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大， 当时，，当时，， ∴当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2分式的基本性质 （5知识点+8题型+过关检测） 【题型1 判断分式变形是否正确】 2 【题型2 求使分式变形成立的条件】 4 【题型3 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 6 【题型4 将分式的分子分母各项系数化为整数】 7 【题型5 约分】 10 【题型6 最简分式】 11 【题型7 最简公分母】 13 【题型8 通分】 14 （1）理解并掌握分式的基本性质，明确分式变形的依据和限制条件，能区分分式恒等变形与错误变形。 （2）掌握分式约分、通分的概念与操作方法，能准确识别最简分式、正确寻找最简公分母。 （3）熟练掌握分式系数化整、分式变形判定、分式值变化判断等基础技能。 （4）能运用分式基本性质解决各类基础题型，为后续分式加减乘除运算、分式化简求值奠定基础。 03 知识•梳理 知识点1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 公式表示：，（其中 是不等于0的整式）。 核心三要素（缺一不可） ① 同乘同除：分子、分母必须进行完全相同的运算； ② 同一个式：乘、除的必须是同一个整式； ③ 不为零：所乘（除）的整式 ，这是分式变形成立的关键条件。 知识点2. 分式的符号法则（拓展性质） 分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 常用变形：、、。 知识点3. 约分 （1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 （2）约分原则：只约分子分母的公因式，不单独约分子或分母中的加减项。 （3）约分结果：约分后分式比原式更简洁，分式的值保持不变。 知识点4. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 核心判定：分子、分母的因式完全互质，无法继续约分，分式化简的最终标准即为化为最简分式。 知识点5. 通分与最简公分母 （1）通分定义：根据分式的基本性质，把几个异分母分式化为同分母分式，且分式值不变，这个过程叫做通分。 （2）最简公分母：几个分式分母的所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。 （3）通分核心：通分前后分式值不变，公分母优先选择最简公分母，保证通分后分式最简洁。 04 题型•汇总 【题型1 判断分式变形是否正确】 题型特征：给出分式变形等式，判断变形过程、结果是否正确，基础辨析题型。 解题方法：对照分式基本性质三点要求逐一验证：①分子分母是否同步变形；②是否为同一个整式；③是否排除为0的情况；同时检查是否存在加减约分、符号错误等问题。 高频错误：分子乘整式、分母不乘；局部约分；忽略整式可能为0的情况。 【典例1】．下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．填空：若，则等式右边的分子为_____． 【变式3】．下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【题型2 求使分式变形成立的条件】 题型特征：已知分式变形等式成立，求字母的取值范围。 解题方法：①分析变形过程，确定分子分母同除（同乘）的整式；②令该整式不等于0；③结合原分式有意义条件（分母≠0），取公共取值范围。 核心要点：变形成立的核心限制是“所除整式不为0”，不可遗漏。【典例2】．已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【变式1】．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 【变式3】．已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入_____． 【题型3 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 题型特征：将分式中字母扩大、缩小倍数，判断分式值的变化情况。 解题方法：①将原字母替换为变化后的字母；②整理新分式，与原分式对比；③约分后得出倍数关系，判断分式值变大、变小或不变。 技巧：整体代入对比，无需单独计算数值，直接化简对比原式即可。 【典例3】．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．缩小3倍 【变式1】．如果把分式中的同时缩小到原来的，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的4倍 【变式2】．根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【变式3】．将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 【题型4 将分式的分子分母各项系数化为整数】 题型特征：分式分子、分母含有小数或分数系数，要求化为整数系数且分式值不变。 解题方法：①分数系数：找所有分母的最小公倍数，分子分母同乘该数；②小数系数：根据小数位数乘10、100、1000；③乘完后整理化简，保证所有系数为整数。 易错点：只乘部分项、分子分母乘数不一致，导致分式值改变。 【典例4】．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【变式3】．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【题型5 约分】 题型特征：给出可化简分式，要求规范约分，化为最简形式。 解题步骤：①对分子、分母分别进行因式分解（多项式优先分解）；②找出分子、分母的全部公因式；③分子分母同时约去公因式；④整理剩余部分。 严禁操作：不能对加减结构的式子直接约分，如 不可约分。 【典例5】．化简分式 的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．在等式中，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．化简：______． 【变式3】．化简：______． 【题型6 最简分式】 题型特征：判断分式是否为最简分式，或从一组分式中选出最简分式。 解题方法：①因式分解分子、分母；②检查是否存在公共因式；③无公因式即为最简分式，有公因式则不是。 判定口诀：分解因式看公因，无公即为最简式。 【典例6】．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．在分式，，，，中，最简分式有__个． 【变式3】．在分式、、中，最简分式有______个． 【题型7 最简公分母】 题型特征：给出多个异分母分式，求最简公分母，是通分的前置基础题型。 解题步骤：①将所有分母因式分解；②列出所有出现的因式；③相同因式取最高次幂；④所有因式相乘，结果即为最简公分母。 注意：分母为多项式时必须先分解，不可直接套用单项式公分母规则。 【典例7】．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 【变式2】．分式，的最简公分母是______． 【变式3】．分式，，的最简公分母是____________． 【题型8 通分】 题型特征：对一组异分母分式进行通分，化为同分母分式。 解题步骤：①求出所有分式的最简公分母；②对比原分母与公分母的差异，确定各分式需要乘的整式；③分子分母同步乘对应整式，化为同分母分式；④保持分子完整展开，不提前约分。 核心要求：通分后分母统一为最简公分母，分式值与原式相等。 【典例8】．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【变式1】．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．若，则_____． 【变式3】．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为___________ ． 05 过关•检测 1．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．将分式中的a、b都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的6倍 D．扩大到原来的3倍 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 5．将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 8．若把分式中的，同时扩大到原来的倍，则分式的值也扩大到原来的倍，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 9．关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 10．已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 11．分式和的最简公分母为______． 12．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 13．如图①，某玻璃瓶内装有高的墨水，将瓶盖盖好后倒立放置（如图②），此时有墨水的部分高为，没有墨水的部分高为，则瓶内墨水的体积约占玻璃瓶容积的______． 14．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填：______； （2）括号内填：______． 15．若一个四位数各位数字均不为0，且个位数字的平方与十位数字的平方之差恰好是去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“去尾数”．例如，四位数1367，因为，所以1367是“去尾数”．按照这个规定，2146、1224两个数中，_____是“去尾数”．一个“去尾数”的个位数字为，十位数字为，百位数字为，千位数字为，记，若均是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为_____． 16．不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________． 17．将下列分式化简 (1) (2) 18．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 19．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 20．阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 21．已知，求代数式的值． 22．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）； (2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势； (3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $