专题03 分式的加减乘除运算重难点题型专训（4个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题03分式的加减乘除运算重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 同分母分式加减法 题型二 异分母分式加减法 题型三 整式与分式相加减 题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型五 分式加减混合运算 题型六 分式乘法 题型七 分式除法 题型八 分式乘除混合运算 题型九 分式乘方 题型十 分式化简求值 题型十一 分式最值 拓展训练一 分式加减乘除混合运算 拓展训练二 含乘方的分式乘除混合运算 拓展训练三 分式加减的实际应用 知识点一：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·贵州遵义·月考）计算的结果为（    ） A． B． C． D．1 2．（2026·广东深圳·一模）计算：________． 知识点二：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【即时训练】 1．（2025·广东东莞·模拟预测）化简 的结果为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）计算的结果是______． 知识点三：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 【即时训练】 1．（25-26八年级下·江苏苏州·课后作业）化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25八年级下·江苏常州·课堂例题）计算：＝____·____÷____=____·____=_______． 知识点四：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若，则“？”表示的是（    ） A． B． C． D．8 2．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）计算：_______． 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有____（只填序号）． 1．（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 3．（25-26九年级上·江苏·期末）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值． 【经典例题二 异分母分式加减法】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·广东江门·开学考试）化简的结果是______． 1．（2026八年级下·江苏常州·专题练习）学完分式运算后，老师出了一道题：化简． 小明的做法：原式． 小亮的做法：原式． 小芳的做法：原式． 对于这三名同学的做法，下列说法正确的是（    ） A．小明的做法正确 B．小亮的做法正确 C．小芳的做法正确 D．三名同学的做法都不正确 2．（25-26八年级下·上海·月考）小马虎在计算时把整式抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的比原来大，则正确的化简结果应该是______． 3．（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：___________________________________； (2)写出你猜想的第个等式：_______________（用含的等式表示），并证明． 【经典例题三 整式与分式相加减】 【例1】（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·安徽·期末）计算的结果是___________． 1．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）已知，用a表示c的代数式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【经典例题四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例1】（24-25八年级下·江苏常州·单元测试）如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【例2】（24-25八年级下·上海·月考）已知，其中为常数，则______． 1．（24-25八年级下·重庆北碚·月考）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）若，且A，B均为常数，则________． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·单元测试）课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 【经典例题五 分式加减混合运算】 【例1】（24-25八年级下·山东济南·期中）对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级下·江苏常州·专题练习）如果，那么________，________． 1．（24-25八年级下·重庆万州·期末）对分式（）进行如下操作：将与1相加，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与相加，结果记为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与2相加，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与相加，结果记为，称为第四次操作；将第四次操作的结果与3相加，结果记为，称为第五次操作；将第五次操作的结果与相加，结果记为，称为第六次操作，…，以此类推，下列三个说法：①第七次操作的结果；②；③第二十次操作的结果．其中正确的说法有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级下·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则________． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）观察下列各式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ________； (2)写出你猜想的第（为正整数）个等式： ________，并证明． 【经典例题六 分式乘法】 【例1】（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）计算：__________． 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·江苏常州·模拟预测）警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是________ 3．（25-26八年级下·江苏连云港·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题七 分式除法】 【例1】（2026·河北邯郸·一模）化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种颗花种，则甲花坛的撒播密度是乙花坛撒播密度的_____倍．（注：，结果保留） 3．（25-26八年级上·广东东莞·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”． (1)下列分式中，属于“美好分式”的是___________；（只填序号） ①；②；③． (2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由． 【经典例题八 分式乘除混合运算】 【例1】（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江苏常州·单元测试）小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为______ ． 1．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是_______（填序号）． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）（1）先化简，再求值：，其中． （2）化简：，然后选取一个你喜欢的的值代入求值． 【经典例题九 分式乘方】 【例1】（24-25八年级下·江苏常州·单元测试）计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【例2】（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）计算： (1)____________； (2)________________________． 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是_____． 3．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题十 分式化简求值】 【例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知分式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·新疆省直辖县级单位·开学考试）对于任意正有理数a，规定，例如：，．．．，利用以上规律计算：___________． 1．（25-26八年级下·江苏常州·期末）对于正数x，规定如：则的值为（  ） A． B． C． D．1 2．（25-26八年级下·上海宝山·月考）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式． 材料：如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如：； 又如：． 请你用上述材料，解决下列问题：若分式是整数，则正整数的值是___________． 3．（2026·浙江衢州·一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式=……………………① ……………………② ……………………③ 当时，原式． (1)请指出第一次出现错误步骤的序号：________________． (2)写出正确的解答过程． 【经典例题十一 分式最值】 【例1】（25-26九年级上·北京顺义·期末）已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 1．（25-26八年级上·山东威海·期末）分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【拓展训练一 分式加减乘除混合运算】 【例1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）计算的结果是___________． 1．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）张华和李明同时从甲地沿着同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；李明全程的平均行走速度是．如果，那么关于两人中谁先到达乙地的说法正确的是（    ） A．张华先到达 B．李明先到达 C．两人同时到达 D．谁先到达无法确定 2．（24-25八年级上·山东东营·期末）对于，规定，例如，，那么________． 3．（2026·宁夏银川·一模）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： (1)甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【拓展训练二 含乘方的分式乘除混合运算】 【例1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）（1）________；              （2）________； （3）________；   （4）________； （5）________． 1．（24-25八年级上·山东威海·月考）下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）化简：______． 3．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）（1）你发现了吗？，．由上述计算，我们发现 （填“>”“<”或“=”）． （2）比较与的大小． （3）我们可以发现： （，填“>”“<”或“=”）． （4）利用以上的发现计算：． 【拓展训练三 分式加减的实际应用】 【例1】（2025八年级下·甘肃平凉·模拟预测），，，这四个数从小到大的排列顺序是（  　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，而不管购买多少面粉．设两次购买的面粉单价分别为元/kg和元/kg（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是______元，在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为______．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   ） A． B．26 C． D．3 2．（25-26八年级上·北京丰台·期末）甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）； （2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 3．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． A基础训练 1．（25-26九年级上·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级·陕西·专题练习）的结果是（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25八年级上·北京平谷·期中）当分别取2024，2023，2022，…，2，1，0，1，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（        ） A． B．1 C． D． 4．（2025·山东济宁·三模）有一组数据：．记，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了200千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 B 提高训练 6．（2026·湖北鄂州·模拟预测）化简分式的结果是___________． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）已知，其中，，，为常数，则______． 8．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）已知被除式和商求除式已知被除式和商求除式中的某一项 若，则m的值为________． 9．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）试卷上一个正确的式子，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为_______． 10．（2025·河北保定·三模）图1中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形）．图2中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长方形），，设，则k的取值范围为___________． C 培优训练 11．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 12．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）已知，其中、为常数，求的值． 13．（25-26八年级下·广东中山·月考）先化简，再求值： 再从、、1、2四个数中选一个适当的数作为x的值代入求值． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）小丽和小明在做一道练习题：已知，试比较与的大小． 小丽说：“当，时，有，；因为，所以”． 小明说：“小丽的做法不正确，因为，只是一个特例，不具有一般性．可以……”，请你将小明的做法补充完整． 15．（24-25八年级上·福建莆田·期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03分式的加减乘除运算重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 同分母分式加减法 题型二 异分母分式加减法 题型三 整式与分式相加减 题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型五 分式加减混合运算 题型六 分式乘法 题型七 分式除法 题型八 分式乘除混合运算 题型九 分式乘方 题型十 分式化简求值 题型十一 分式最值 拓展训练一 分式加减乘除混合运算 拓展训练二 含乘方的分式乘除混合运算 拓展训练三 分式加减的实际应用 知识点一：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·贵州遵义·月考）计算的结果为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查分式的减法，根据同分母的分式的减法法则，分母不变，分子相减，进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 2．（2026·广东深圳·一模）计算：________． 【答案】 3 【分析】根据同分母分式加法法则计算后，对结果约分即可得到答案． 【详解】解： ∵， ∴原式． 知识点二：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【即时训练】 1．（2025·广东东莞·模拟预测）化简 的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的加法． 先将两分式通分，再相加即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025·湖北·模拟预测）计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 知识点三：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 【即时训练】 1．（25-26八年级下·江苏苏州·课后作业）化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握乘除混合运算按从左到右顺序进行，除法转化为乘法后再计算是解题的关键． 根据运算顺序从左到右计算，除以分数相当于乘以倒数． 【详解】解：, ∴最后结果为 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏常州·课堂例题）计算：＝____·____÷____=____·____=_______． 【答案】 【分析】先算分式的乘方，再算乘除法即可求解． 【详解】解： 故答案为：；；；；； 【点睛】本题考查分式的乘方和乘除法运算．掌握相关运算法则是解题关键． 知识点四：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若，则“？”表示的是（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：； 故“？”表示的是； 故选C． 2．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方运算以及分式的乘法运算，解题的关键是掌握分式的乘方运算法则和乘法运算法则． 先计算，再与相乘并约分即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式加减法的知识，掌握以上知识是解答本题本题的关键； 本题根据同分母分式加减法的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有____（只填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了分式的减法运算． 根据“友好分式组”的定义，计算每组分式的差，判断是否等于2． 【详解】解：①； ②； ③． 因此，属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③． 1．（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对已知的三个等式的左边通分，再进行适当地变形，可分别求得，，，再将这三个式子相加，即可求出的值． 本题主要考查了分式的通分、约分等知识，熟练掌握分式的加法，将原来三个式子变形成同分母的式子是解题的关键． 【详解】解：由得，， ∴①； 由得， ， ②； 由得， ∴③； ，得， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 【答案】1，3，4 【分析】本题考查分式的加法运算，分式的求值，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，为正整数，， ∴能被2整除，且（此时） ∴ ∴或或； 故答案为：1，3，4． 3．（25-26九年级上·江苏·期末）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)1 (2)或． 【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）只需要计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论即可． 【详解】（1）解；∵， ∴分式是分式的“1阶差分式”； 故答案为：1； （2）解：∵分式是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵是正整数，且x取正整数， ∴也是正整数， ∴或． 【经典例题二 异分母分式加减法】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．先统一分母符号，再通过通分将分式化为同分母分式，最后合并分子并化简得到结果即可解答． 【详解】解：原式可变形为， 确定最简公分母为，通分后得： ， 合并分子并展开得：， 化简分子：， 原式， 故选：． 【例2】（25-26八年级下·广东江门·开学考试）化简的结果是______． 【答案】 / 【分析】先利用平方差公式分解原式分母，对异分母分式变形后通分，再根据分式加减法法则计算，最后约分化简得到结果． 【详解】解： ． 1．（2026八年级下·江苏常州·专题练习）学完分式运算后，老师出了一道题：化简． 小明的做法：原式． 小亮的做法：原式． 小芳的做法：原式． 对于这三名同学的做法，下列说法正确的是（    ） A．小明的做法正确 B．小亮的做法正确 C．小芳的做法正确 D．三名同学的做法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，需依据先通分、再加减、最后约分的法则判断三名同学的做法正误． 【详解】解：小明的做法：第一步通分变形正确，但在第二步合并分子时，将错误地计算为，正确的应为 ，因此结果错误． 小亮的做法：直接去掉分式分母，违背分式运算规则，结果错误． 小芳的做法： 原式 步骤符合异分母分式加减运算规则，结果正确． ∴小芳的做法正确， 故选：C． 2．（25-26八年级下·上海·月考）小马虎在计算时把整式抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的比原来大，则正确的化简结果应该是______． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的加减法，掌握异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式加减法的法则进行计算是正确解答的前提．由抄错时的化简结果求出抄错的M为，再根据抄写的M比原来大，得正确的M为，最后代入原式计算正确结果． 【详解】解：抄错时，有， 则， 所以． 由于抄写的M比原来大， 故正确的M为．代入原式， 正确结果为． 故答案为：． 3．（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：___________________________________； (2)写出你猜想的第个等式：_______________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)；见解析 【分析】（1）根据前4个等式即可写出第5个等式； （2）由（1）中规律得：第个等式：，根据分式的加减运算分别计算左右两边，即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式： （2）解：由（1）中规律得：第个等式：，证明如下： 左边 右边 ， ∴左边右边． 【经典例题三 整式与分式相加减】 【例1】（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 【例2】（24-25八年级下·安徽·期末）计算的结果是___________． 【答案】 【分析】先通分再化简即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母的分式，再相减，最后结果能约分的要约分． 1．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）已知，用a表示c的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入消去b，进行化简即可得到结果． 【详解】解：把代入，得 ， ， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，列代数式．熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否 (2)2或8 (3)或 【分析】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）①根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； ②根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）设，则，且a为整数，，则有，然后根据或解方程，进而可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得：，①正确， 故答案为：是； ② ，②错误， 故答案为：否； （2）解：， ∵该分式的值为整数， ∴的值可为，， 又∵a为正整数， ∴a的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数， ∴设，则，且a为整数，， ∴ ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴或． 【经典例题四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例1】（24-25八年级下·江苏常州·单元测试）如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【答案】A 【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵， ∴原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·上海·月考）已知，其中为常数，则______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，将等式的右边先通分，再与左式比较，根据分子对应项的系数相等即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·重庆北碚·月考）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）若，且A，B均为常数，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，根据分式的加减运算法则求出，则可得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，且A，B均为常数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·单元测试）课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出、的二元一次方程组是解答此题的关键．先把分式右边通分，再根据题意得出关于的方程组，求出、的值即可． 【详解】解：原分式可化为， ，即， ， 解得． 【经典例题五 分式加减混合运算】 【例1】（24-25八年级下·山东济南·期中）对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解新定义的运算方法是解题的关键．根据，可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【例2】（2025八年级下·江苏常州·专题练习）如果，那么________，________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 1．（24-25八年级下·重庆万州·期末）对分式（）进行如下操作：将与1相加，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与相加，结果记为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与2相加，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与相加，结果记为，称为第四次操作；将第四次操作的结果与3相加，结果记为，称为第五次操作；将第五次操作的结果与相加，结果记为，称为第六次操作，…，以此类推，下列三个说法：①第七次操作的结果；②；③第二十次操作的结果．其中正确的说法有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据题意找规律，再进行分式的运算求解． 【详解】解：①根据题意得：第七次操作的结果为，故①正确； ②根据题意得：， ∴，故②正确； 根据题意得：， ， ， ， …… 由此发现，，故③正确， ∴正确的说法有3个． 故选：D 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，根据题意找出数字的变化规律式解题的关键． 2．（24-25八年级下·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）观察下列各式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ________； (2)写出你猜想的第（为正整数）个等式： ________，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字规律探究，分式的运算与通分，掌握裂项相消是解题关键． （1）根据前个等式的规律，直接写出第个等式； （2）先归纳出第个等式的猜想形式，再通过分式通分计算，验证等式左右两边相等． 【详解】（1）解：由题可知，． 答：． （2）解：，证明如下： ， ， ． 【经典例题六 分式乘法】 【例1】（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘法，先根据分式的乘法法则进行计算，然后利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴； 故选C． 【例2】（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）计算：__________． 【答案】 【分析】先确定积的符号，再依据分式乘法法则，将分子、分母分别相乘后约分得到最简结果． 【详解】解： ． 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：B． 2．（2025八年级下·江苏常州·模拟预测）警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是________ 【答案】120米/分 【分析】本题考查了分式乘法的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设上山的路程为S，则上、下山的总路程为，可逐步求得上下山的总时间，最后利用平均速度等于上、下山的总路程除以总时间，计算即得答案． 【详解】解：设上山的路程为， 则由题意得，平均速度为(米/分)， 故答案为：120米/分． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题的关键： （1）先进行因式分解，再约分化简即可； （2）先进行因式分解，再约分化简即可； （3）先进行因式分解，再约分化简即可； （4）先进行因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【经典例题七 分式除法】 【例1】（2026·河北邯郸·一模）化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例2】（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 【答案】 【分析】本题为新定义运算题，先根据给定的两种运算定义，将目标式中的新运算转化为常规分式，再依据分式除法法则及平方差公式进行化简计算即可． 【详解】解：根据新定义运算：，，则， ∴ ． 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的除法运算，将原分式除法运算转化为乘法，并分解因式后约分，根据结果为整式的条件确定“■”代表的式子． 【详解】解：∵原式， 又∵， ∴原式 . 要求结果为整式，则的分母中不能含字母，即必须提供因式以约分，去掉分母中的. 所以只有A选项符合题 意，B、C、D选项不符合题 意． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种颗花种，则甲花坛的撒播密度是乙花坛撒播密度的_____倍．（注：，结果保留） 【答案】 【分析】本题考查分式除法的应用，列代数式，根据正方形和圆的面积公式分别表示出甲、乙两个花坛（阴影部分）的种花面积，再根据“”得到它们的撒播密度，然后将甲花坛的撒播密度除以乙花坛撒播密度即可解答． 【详解】解：∵，， ∴甲花坛的撒播密度为：， 乙花坛的撒播密度为：， ∴， 即甲花坛的撒播密度是乙花坛撒播密度的倍． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·广东东莞·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”． (1)下列分式中，属于“美好分式”的是___________；（只填序号） ①；②；③． (2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)是美好分式，理由见解析 【分析】本题考查“美好分式”的定义，分式的计算和化简，掌握分式的化简是解题的关键． （1）根据“美好分式”的定义，逐一转化判断即可； （2）根据题意，将分式转化即可； （3）先根据分式的运算法则，计算的结果，再根据“美好分式”的定义，转化判断即可． 【详解】（1）解：， 是“美好分式”； ， 不是“美好分式”； ， 是“美好分式”； 故选：① ③； （2）解：； （3）是美好分式，理由如下， ， 则原式， 故的结果为“美好分式”． 【经典例题八 分式乘除混合运算】 【例1】（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·江苏常州·单元测试）小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是_______（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则依次计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：①， 故①计算结果错误； ②， 故②计算结果错误； ③， 故③计算正确； ④， 故④计算结果错误． 故答案为：③． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）（1）先化简，再求值：，其中． （2）化简：，然后选取一个你喜欢的的值代入求值． 【答案】（1），（2），当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值： （1）除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可； （2）除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； ∵， ∴原式； （2）原式， ∵， ∴， ∴当时，原式． 【经典例题九 分式乘方】 【例1】（24-25八年级下·江苏常州·单元测试）计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别根据分式的乘方法则计算出结果，再判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）计算： (1)____________； (2)________________________． 【答案】(1)，， (2)，，， 【分析】运用分式乘方法则、积的乘方法则与幂的乘方法则分步计算，先将分式的分子、分母分别乘方，再通过幂的相关运算法则化简得到最终结果． 【详解】（1）解：； （2）解：． 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把四个选项分别先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，再利用幂与积的乘方法则分别进行运算即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项正确，符合题意； D、，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘方法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式等知识，掌握这些法则以及乘法公式是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是_____． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：由可知， 展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是4038． 故答案为4038． 3．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）先计算分式乘方运算，再计算分式乘法运算即可得到结果； （）先利用分式除法法则变形，约分后再计算分式乘法运算即可得到结果； 本题考查了分式的乘除运算，分式乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【经典例题十 分式化简求值】 【例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知分式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键． 将转化为，通过提取公因式法化简所求分式即可． 【详解】解： ． 【例2】（25-26八年级下·新疆省直辖县级单位·开学考试）对于任意正有理数a，规定，例如：，．．．，利用以上规律计算：___________． 【答案】4047 【分析】本题考查了定义新运算以及探索规律，探究出是解题的关键．先计算，再计算，从而将原式按规律重新排列为，最后计算出式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：4047． 1．（25-26八年级下·江苏常州·期末）对于正数x，规定如：则的值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的规律，分式的化简与求值，掌握分式的化简和找出规律是解题的关键． 根据分式的运算法则可得，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ∴ ． 故选：B． 2．（25-26八年级下·上海宝山·月考）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式． 材料：如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如：； 又如：． 请你用上述材料，解决下列问题：若分式是整数，则正整数的值是___________． 【答案】2或8 【分析】本题主要考查分式的化简求值，根据题意将分式拆分为整式与“真分式”的和的形式是解题的关键． 首先将分式化为整式与真分式的和，根据真分式为整数确定分母的取值即可． 【详解】解： ∴为整式，为真分式， ∵分式是整数， ∴为整数， ∴当时，；当时，； ∵当时，分式值为； 当时，分式值为；均为整数， ∴正整数的值为2或8， 故答案为：2或8． 3．（2026·浙江衢州·一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式=……………………① ……………………② ……………………③ 当时，原式． (1)请指出第一次出现错误步骤的序号：________________． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)； 【分析】（1）观察解题过程，可得出结论； （2）根据异分母分式加减法法则进行解答即可． 【详解】（1）解：出现错误步骤的序号为① （2）解： ； 当时，原式． 【经典例题十一 分式最值】 【例1】（25-26九年级上·北京顺义·期末）已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 【例2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 1．（25-26八年级上·山东威海·期末）分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)小滨的说法正确，理由见解析 (2)（i）①②④；；（ii）有最小值，没有最大值 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）把所求分式变形为，再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论； （2）（i）把①变形为，再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为，再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出和时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论． 【详解】（1）解：小滨的说法正确，理由如下： ∵， ∴ ， ∴小滨的说法正确； （2）解：（i）①∵， ∴ ； ② ； ③当时，， 当时，， ∴的值不是定值； ④ ； ∴①②④是定值，③不是定值； 满足题意的式子可以为，证明如下： ； （ii） ； ， ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值． 【拓展训练一 分式加减乘除混合运算】 【例1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为． ． 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）计算的结果是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的减法运算、平方差公式的应用以及因式分解，熟练掌握分式通分、约分的方法和平方差公式是解题的关键． 先对分母进行因式分解，找到最简公分母，再对两个分式进行通分，然后合并分子并化简，最后约分得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）张华和李明同时从甲地沿着同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；李明全程的平均行走速度是．如果，那么关于两人中谁先到达乙地的说法正确的是（    ） A．张华先到达 B．李明先到达 C．两人同时到达 D．谁先到达无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算的实际应用，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则．设甲乙两地路程为，分别计算张华和李明从甲地到乙地的步行时间，再比较时间长短判断谁先到达即可． 【详解】解：设甲乙两地之间的路程为， ∵张华前半段路程速度为，后半段为， ∴张华从甲地到乙地的总时间， ∵李明全程平均速度为， ∴李明从甲地到乙地的总时间， ， ∵，且，，， ∴，， ∴，即， ∴李明用的时间更短，先到达乙地． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东东营·期末）对于，规定，例如，，那么________． 【答案】 【分析】根据给定的的定义，推导得出，将原式两两分组结合后，即可计算出最终结果． 【详解】解：，， ， 即，且． 原式 ． 3．（2026·宁夏银川·一模）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： (1)甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③； (2)见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据两位同学的解答步骤，结合分式的基本性质和乘法运算律进行分析，即可解答； （2）根据分式的运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：甲同学解法的依据是：分式的基本性质；乙同学解法的依据是乘法分配律； 故答案为：②，③； （2）解：选择甲同学： ； 选择乙同学： ． 【拓展训练二 含乘方的分式乘除混合运算】 【例1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）（1）________；              （2）________； （3）________；   （4）________； （5）________． 【答案】 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除法即可； （5）先算乘方，再算除法即可； 【详解】解：（1） （2）； （3）原式=； （4）原式=； （5）； 故答案为：，，，， 【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 1．（24-25八年级上·山东威海·月考）下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 2．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除运算，掌握分式的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则，对原式逐步进行乘方、化简和约分计算，得到最简分式的结论，即可解决分式的乘方与乘除混合运算化简问题． 【详解】解：原式， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）（1）你发现了吗？，．由上述计算，我们发现 （填“>”“<”或“=”）． （2）比较与的大小． （3）我们可以发现： （，填“>”“<”或“=”）． （4）利用以上的发现计算：． 【答案】（1）=；（2）；（3）=；（4） 【分析】本题考查了负整数指数幂的性质和幂的运算法则，掌握将分数的负指数幂转化为其倒数的正指数幂是解题的关键． （1）分别计算两个幂的值，再比较大小，通过负指数幂的性质，发现二者相等； （2）利用负指数幂的性质，将负指数幂转化为正指数幂，直接得出二者相等的结论； （3）通过前两小问的具体例子，归纳出一般规律：一个分数的负指数幂等于其倒数的正指数幂； （4）先利用负指数幂的性质将转化为，再结合积的乘方逆运算，对进行化简，最后完成计算． 【详解】解：（1）∵， ∴，应填“=”． （2）∵，， ∴． （3）根据(1)(2)的发现，我们可以总结出规律： (其中) （4）原式 ． 【拓展训练三 分式加减的实际应用】 【例1】（2025八年级下·甘肃平凉·模拟预测），，，这四个数从小到大的排列顺序是（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式加减的应用．根据分式的加减求出是解题的关键；设为真分数，，通过计算可得，据此即可得到答案． 【详解】解：设为真分数，，则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，而不管购买多少面粉．设两次购买的面粉单价分别为元/kg和元/kg（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是______元，在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为______．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 【答案】 【分析】根据题意可用含的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值． 【详解】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是： ， 乙购买面粉的平均单价是： 在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为： 高的平均单价与低的平均单价的差值为：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了列代数式，分式的减法运算，理解题意列出代数式是解题的关键． 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   ） A． B．26 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的运算． 根据“互助数”的定义，结合已知条件建立方程，通过代数变形和不等式求解确定p的取值范围，并验证选项中的可能值． 【详解】解：∵和为“互助数”， ∴， 整理得 ∵ ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ 解得或， ∴或 四个选项中只有3和26符合题意， 当时，，此时，，分母无意义，舍去． 当时，，满足，且， 故选：B． 2．（25-26八年级上·北京丰台·期末）甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）； （2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 【答案】 乙 【分析】本题主要考查了分式减法的应用，正确表示出是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求出甲两段路程的时间，求和可得，先求出乙的平均速度，进而求出，再作差即可得到答案； （2）根据（1）的结果结合即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得， ， ∴ ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴当时，，，即，则乙先到． 故答案为：乙． 3．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 【答案】(1)； (2)宁宁先返回云中湖；理由见解析 【分析】代数式比大小一般使用作差法或者作商法，掌握好分式的性质和因式分解是关键． （1）根据速度、路程和时间之间的关系分别计算即可； （2）利用作差法比较两个分式的大小，从而得出结论． 【详解】（1）解：安安往返所需时长：（小时）， 宁宁往返所需时长：（小时）． （2）解：宁宁先返回云中湖，理由如下： ∵，，且， ∴ ∴ ∴宁宁先返回云中湖． A基础训练 1．（25-26九年级上·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 2．（2025九年级·陕西·专题练习）的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 3．（24-25八年级上·北京平谷·期中）当分别取2024，2023，2022，…，2，1，0，1，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（        ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求分式的值，数字的变化规律，通过计算发现当时与当时所得的代数式的值和为是解题的关键． 根据当时，，当时，，可得，求和即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时所求的代数式的值为， 这些分式的值的和等于， 故选：D． 4．（2025·山东济宁·三模）有一组数据：．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，，计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的运算．解题的关键在于探究分式的规律． 5．（24-25八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了200千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可. 本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键. 【详解】由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为 则， ∵， ∴， ∴ 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B B 提高训练 6．（2026·湖北鄂州·模拟预测）化简分式的结果是___________． 【答案】 【详解】解： ． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）已知，其中，，，为常数，则______． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 8．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）已知被除式和商求除式已知被除式和商求除式中的某一项 若，则m的值为________． 【答案】 【分析】利用分式的除法计算法则求解即可，考虑到． 【详解】解：由题意可知，，，故且 ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式除法的运算，熟练掌握是解决本题的关键． 9．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）试卷上一个正确的式子，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为_______． 【答案】 【分析】代数式★为，计算即可． 本题考查了分式的除法，乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 10．（2025·河北保定·三模）图1中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形）．图2中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长方形），，设，则k的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、因式分解的应用等知识点，根据题意得到是解答本题的关键．根据题意可得，，从而得到，再根据，可得，从而得到的取值范围即取值范围． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：． C 培优训练 11．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答的关键． （1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）按照分式乘除运算法则，结合因式分解进行计算即可； （3）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （4）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 12．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 解得：， ． 13．（25-26八年级下·广东中山·月考）先化简，再求值： 再从、、1、2四个数中选一个适当的数作为x的值代入求值． 【答案】，取时，原式 【分析】先对括号内分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分进行化简，最后选取使原式有意义的x值代入求值． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， 取时，原式． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）小丽和小明在做一道练习题：已知，试比较与的大小． 小丽说：“当，时，有，；因为，所以”． 小明说：“小丽的做法不正确，因为，只是一个特例，不具有一般性．可以……”，请你将小明的做法补充完整． 【答案】见解析 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握分式加减计算的方法是本题的关键．计算，若差值大于0，说明；若差值等于0，说明；若差值小于0，说明． 【详解】解： ∵， ∴，， ∴． 故． 15．（24-25八年级上·福建莆田·期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 【答案】(1) (2)机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务配送效率更高；理由见解析 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，熟练掌握分式加减运算法则． （1）根据速度、路程、时间关系，分别求出机器狗上行所用时间和下行所用时间，然后相加即可； （2）先求出机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间，然后与解析（1）中求出的时间进行比较即可． 【详解】（1）解：机器狗从西侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从西侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ； （2）解：机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，配送效率更高；理由如下： 机器狗从东侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从东侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ， ∵， ， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 即， ∴机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间较少，配送效率更高． 学科网（北京）股份有限公司 $