知识清单-【红卷】2025-2026学年七年级下册数学期末复习方案（北师大版·新教材）

第一章 整式的乘除 1 同底数幂的乘法 法则：am·a”=a+"(m,n都是正整数)。同底数幂相乘，底数回 ,指数2 逆用：am+n=am·a(m,n都是正整数)。 2幂的乘方与积的乘方 1.幂的乘方 法则：(am)"=am(m,n都是正整数)。幂的乘方，底数3 ,指数④ 逆用：am"=(am)"(m,n都是正整数) 2.积的乘方 法则：(ab)"=a"b"(n是正整数)。积的乘方等于⑤ 逆用：a”b”=(ab)"(n是正整数) 3 同底数幂的除法 1.同底数幂的除法 法则：am÷a”=am-"(a≠0，m,n都是正整数，且m>n)。同底数幂相除，底数6 ,指数7 0 逆用：am-"=am÷a(a≠0，m,n都是正整数，且m>n) 2.零指数幂和负整数指数幂 (1)零指数幂的意义：任何⑧ 都等于1，即a°=1(a≠0)。 (2)负整数指数幂的意义：任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数)等于这个数的p次幂的倒 数，即aP=（a≠0，p是正整数)。 (3)用科学记数法表示绝对值小于1的非零小数：一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10” 的形式，其中⑨ ,n是负整数。 4 整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的0 相同字 母的幂分别相乘，其余字母连同它的口 不变， 作为积的因式 整式的 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项 乘法 式的每一项，再把所得的2 用字母表示为 p(a+b+c)=pa+pb+pc(,a,b,c都是单项式) 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一 个多项式的每一项，再把所得的积相加用字母表示为 (a+b)p+q)=ap+ag+bp+bq(a,b,P,q都是单项式) 5平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2两数和与这两数差的积，等于它们的3 公式 0 做题方法：①找两项，即找相同项和相反项；②用相同项平方-相反项平方 王心童《红卷》 数学BS版七年级下册 ①位置变化：(b+a)(-b+a)=a2-b2;②符号变化：(-a-b)(a-b)=b2-a2; 常见变形 ③指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=a4-b;④增项变化：(a+b+c)(a-b-c)=a2-(b+c)2 a a 阴影部分 a2-b3 面积相等 (a+b)(a-b) 几何解释 6完全平方公式 公式 (a+b)2=a2+2ab+b2,（a-b)2=a2-2ab+b2简记：首平方，尾平方，首尾积的2倍放中央，符号看前方 ①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab:②(a+b)2=(a-b)2+4ab; 常见变形 ®(a-6r-(a+6yr-4b,0ab(a+6jr-(d46]-2）°-2）月 几何解释 a b h (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b 7整式的除法 单项式除以 单项式相除，把系数、4 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则 单项式 连同它的指数一起作为商的一个因式 多项式除以 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以固 再把所得的商相加 单项式 答案回不变2相加③不变④相乘⑤各个因数乘方的积 ⑥不变 ⑦相减⑧不等 于0的数的0次幂⑨1≤a<10 0系数血指数2积相加3平方差4同底数幂固单项式 第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系 1.两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系有四 两种。 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 在同一平面内，2 的两条直线叫作平行线。 2.对顶角 概念 有公共顶点且两边互为3 ,具有这种位置关系的两个角叫作对顶角 性质 对顶角④ 【注意】对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角 王心童《红卷》 2 数学BS版七年级下册 3.补角和余角 名称 定义 性质 补角 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角 同角或等角的补角相等 余角 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角 同角或等角的余角相等 4.垂线 (1)两条直线相交成四个角，如果有一个角是⑤ 那么称这两条直线⑥ 如 图所示。 符号语言： AB⊥CD 个 D ∠A0D=90° (2)性质：①同一平面内，过一点⑦ 条直线与已知直线垂直。 ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，⑧ (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的⑨ 叫作点到直线的距离。 【注意】“垂线段”指具体一条线段，“点到直线的距离”指垂线段的长度。 2 探索直线平行的条件 1.同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 3V4 65 /8 如图，∠1与∠5是同位角，∠3与∠7是同位角；∠3与∠5是内错角，∠4与∠6是内错角；∠3 与∠6是同旁内角，∠4与∠5是同旁内角。 2.平行公理及其推论 (1)平行公理：过0 有且只有一条直线与这条直线平行。 (2)平行公理的推论：平行于回 的两条直线平行。 3.平行线的画法 四“画” 4.平行线的判定 判定方法1：回 两直线平行。 判定方法2：内错角相等，两直线平行。 判定方法3：3 两直线平行。 王心童《红卷》· 3 数学BS版七年级下册 3平行线的性质 1.平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，④ 性质3：两直线平行，同旁内角固 2.平行线中的“拐点”问题 解决平行线中的“拐点”问题时，通常过折线的“拐点”作平行线，构造出同位角、内错角、同旁内 角，为应用平行线的性质创造条件。常见类型如下（已知条件：AB∥CD): 图例 角之间的数量关系 ∠APC+∠A+∠C=360° ∠APC=∠A+∠C ∠APC=∠C-∠A B 图例 —B G----E H---->E -D D ∠B+∠BEF+∠EFD+ ∠B+∠EFG+∠D= 角之间的数量关系 ∠A=∠APC+∠C ∠D=540° ∠BEF+∠FGD 4用尺规作角 1.尺规作图 在几何作图中，尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。 2.如下图，已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN,使MN经过点P,且MN//AB。 P 做法与示范： 作法 示范 P/ 1.在直线AB上任取一点O,过点0，P作直线CD。 0 A B 2.以点P为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作∠DPN D =∠DOB。 M PN边所在的直线MN就是要作的直线。 答案回相交和平行2不相交 3反向延长线④相等 ⑤直角 ⑥互相垂直7有且只 有⑧垂线段最短⑨垂线段的长度四直线外一点回同一条直线四同位角相等3同旁内 角互补4内错角相等固互补 王心童”《红卷》 数学BS版七年级下册 第三章概率初步 1 感受可能性 必然事件、不可能事件与随机事件： 发生的可 事件类型 定义 常见谚语 能性大小 必然 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件 水滴石穿，一 事件 回 ,这样的事件称为必然事件 口吃不成胖子 确定性 事件 不可能 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件 水中捞月，太 0 事件 ② ,这样的事件称为不可能事件 阳打西边出来 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件可 守株待兔，天 随机事件 能发生也可能不发生，这样的事件称为随机 0-1 有不测风云 事件 2 频率的稳定性 1.频率及其稳定性 (1)频率：在几次重复试验中，事件A发生了m次，则比值”称为事件A发生的频率。 (2)频率的稳定性：在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在3 ,这个性质 称为频率的④ 2.用频率估计概率 (1)概率：我们把刻画一个事件发生的5⑤ 称为这个事件发生的概率。 (2)概率的取值范围：必然事件发生的概率是1；不可能事件发生的概率是0；不确定事件发生的 概率是0与1之间的一个常数。 (3)用频率估计概率：一般地，在大量重复的试验中，我们可以用随机事件A发生的频率来估计 随机事件A发生的概率。 3等可能事件的概率 1.等可能事件 设一个试验的所有可能的结果有种，每次试验有且只有其中的一种结果出现。如果每种结果 出现的6 那么我们就称这个试验的结果是等可能的。 2.概率公式 般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的 概率为P(A)=m。 n 答案回一定会发生 2一定不会发生3某一个常数附近摆动④稳定性⑤固可能性大小 的数值⑥可能性相同 王心童《红卷》 数学BS版七年级下册 第四章三角形 1 认识三角形 1.三角形的概念 三角形的定义：由工 的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 2.三角形的内角和 三角形的内角和：三角形三个内角的和等于180° 3.三角形分类 (1)按角分类 [锐角三角形（三个内角都是锐角） 三角形直角三角形（有一个内角是直角）》 钝角三角形（有一个内角是钝角） (2)按边分类 [三边各不相等的三角形 三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 4.直角三角形的表示方法及其性质 (1)表示方法：通常，我们用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”,直角所对的边称为直角三 角形的斜边，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边。 (2)性质：直角三角形的两个锐角2 5.三角形的三边关系 三角形的任意两边之和3 第三边，三角形的任意两边之差④ 第三边。 6.三角形的高、中线、角平分线 (1)三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称 概念 三角形的高 交点 锐角三角形的三条高交于三角形内部；直角三角形的三条高交于直角顶点；钝角三角形的三条高所 位置 在的直线交于三角形外部 (2)三角形的中线 概念 在三角形中，连接一个顶点与它⑤ 的线段，叫作三角形的中线 交点位置 三角形的三条中线交于一点。这个点称为三角形的重心 王心童《红卷》 6 数学BS版七年级下册 (3)三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的 概念 角平分线 交点位置 三角形三条角平分线的交点在三角形内部 常见 若BE,CF分别是∠ABC, 若BP,CP分别是若BP,CP分别是若BP,CP分别是∠ABO 模型 ∠ACB的平分线，则 ∠ABC,∠ACD的平分 ∠EBC,∠FCB的平分 ∠DC0的平分线，则∠P LBc=+号A 线，则∠P=A 线，则∠P=90°- < 2(A4D) 2 图形的全等 1.全等图形 （1)定义：能够⑥ 的两个图形称为全等图形。 (2)判定依据：形状相同：大小相等。 2.全等三角形 (1)定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。 (2)性质：①全等三角形的⑦ ;②全等三角形的周长相等；③全等三 角形的面积相等；④全等三角形对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。 3探索三角形全等的条件 1.判定方法 判定方法有边边边(SSS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、边角边(SAS)。 【易错提示】①两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等；②三角形 具有稳定性，四边形不具有稳定性 2.判定三角形全等的一般思路 找夹角→用SAS 已知两边 找第三边→用SSS 找夹边→用ASA 已知两角 找其中一角的对边→用AAS 边为角的对边→找任一角→用AAS 已知一边和一角 找边的对角→用AAS 边为角的邻边 找边的另一邻角→用ASA 找角的另一邻边→用SAS 王心童《红卷》 数学BS版七年级下册 3.构造全等三角形的几种常用方法 (1)利用“倍长中线法”构造全等三角形 条件及图形 辅助线作法及图形 结论 AD是△ABC的中线 延长AD至点E,使AD=ED,连接BE △ACD≌△EBD (2)利用“截长补短法”构造全等三角形 条件及图形 截长法 补短法 结论 AC∥BD,AE,BE分别平 在线段AB上取点F,使AF 延长AC至点F,使AF= 分∠CAB和∠DBA,点E =AC,连接EF AB,连接EF 在CD上 AB=AC+BD (3)利用“一线三等角”构造全等三角形 条件及图形 结论 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BD 一线三垂直（特殊）》 ⊥直线m,垂足为点D,CE⊥直线m, DE=BD+CE 垂足为点E m 在△ABC中，AB=AC,A,D,E三点都 线三等角（一般） 在直线m上，且∠BDA=∠AEC DE=BD+CE =∠BAC D m 4 用尺规作三角形 1.已知三角形的两边及其夹角作三角形 如图，已知Lu和线段a,c,求作△ABC,使∠B=∠a,BC=a,BA=c。 a 作法 图示 ①作∠MBN=∠ax ②在射线BM,BN上分别截取BC=a,BA=c ③连接AC,则△ABC即为所求作的三角形 M 王心童《红卷》 8 数学BS版七年级下册 2.已知三角形的两角及其夹边作三角形 如图，已知∠a,∠B和线段a,求作△ABC,使∠ABC=∠a,∠ACB=∠B,BC=a。 e 作法 图示 ①作线段BC=a ②在BC的同侧，作∠DBC=La,∠ECB= ∠B,BD与CE相交于点A,则△ABC即为所 求作的三角形 3.已知三角形的三条边作三角形 如图，已知线段a,b,c,求作△ABC,使AB=c,BC=a,AC=b。 a b 作法 图示 ①作线段BC=a R ②以点C为圆心，以b为半径画弧，再以点B 为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点A ③连接AB,AC,则△ABC即为所求作的三角形 答案四不在同一直线上 2互余3大于④小于 ⑤对边中点⑥完全重合⑦对应边 相等、对应角相等 第五章 图形的轴对称 1轴对称现象 1.轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分工四 ,那么这个图形叫作轴 对称图形，这条直线叫作对称轴。 2.两个图形成轴对称 (1)定义：如果2 沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称， 这条直线叫作这两个图形的对称轴。 (2)轴对称与轴对称图形的区别与联系： 名称 轴对称 轴对称图形 对象 两个图形 一个图形 区别 只有一条对称轴，在 对称轴一定经过这个图 对称轴位置及数量 两个图形之间 形，对称轴可能不止一条 如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形：如果把一个轴对 联系 称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 王心童《红卷》 9 数学BS版七年级下册 3.轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴3 对应线段相 等，对应角相等。 4.画对称轴及与已知图形成轴对称的图形 (1)画对称轴的方法： ①找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；②连接这对对应点，得到一条线 段；③过这条线段中点作垂线，该垂线即为对称轴。 (2)画与已知图形成轴对称的图形的步骤： ①找—在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点等）；②作—作各个特殊点关于 已知直线的对称点；③连— 按原图对应连接各对称点。 2简单的轴对称图形 1.等腰三角形的性质 等腰三角形是轴对称图形 等腰三角 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底 形的性质 边上的高重合（也称“4 ”),它们 所在的直线是等腰三角形的对称轴 等腰三角形的两个底角相等 2.线段的轴对称性及垂直平分线 (1)线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。 (2)线段垂直平分线的定义和性质： 概念：垂直于一条线段，并且⑤ 条线段的直 线段垂直 线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线 平分线 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段6 的距离相等 (3)用尺规作线段的垂直平分线： 已知：线段AB。 求作：线段AB的垂直平分线。 作法 图示 ①分别以点A和点B为圆心，以大于2B的长 米 为半径作弧，两弧相交于点C和点D ②作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平 分线 3.角的轴对称性及角平分线 (1)角的轴对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。 王心童《红卷》 数学BS版七年级下册 (2)角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的☑ (3)用尺规作角平分线： 已知：∠AOB。 求作：射线OC,使∠AOC=∠B0C。 作法 图示 ①在OA和OB上分别截取OD,OE,使0D=OE ②分别以点D,E为圆心，以大于？DE的长为 半径作弧，两弧在LAOB内交于点C ③作射线OC。射线OC就是∠AOB的平分线 4.最短路径问题 最短路径问题的依据：①两点之间线段最短，常见问题有“将军饮马”；②垂线段最短。 “将军饮马”问题常见类型如下表： 问题 作法 最小值 A B PA+PB的最小 类型1 在直线1上找一点P,使PA+ 作点A关于直线I的对称点A',连接A'B, 值为A'B的长 PB的值最小 与直线的交点即为点P P △PMW周长的 类型2 最小值为P'P" 在直线l1,2上分别找点M,N, 分别作点P关于直线t,的对称点P', 的长 使△PMN的周长最小 P”,连接P'P”,与两直线的交点即为点 M,N 0 四边形PMNQ 的周长的最小值 类型3 在直线L,2上分别找点M,N, 作点P关于直线l1的对称点P',作点Q关 为P'Q'+PQ 使四边形PMNO的周长最小 于直线l2的对称点Q',连接P'Q',与两直 的长 线的交点即为点M,N 【方法指导】求几条线段的和的最小值时，一般利用轴对称变换将这几条线段转化到一条 线段上，再用“两点之间线段最短”选用最佳方案。 答案，①能够互相重合②两个平面图形 3垂直平分④三线合一5平分 ⑥两个端点 ⑦距离相等 王心童《红卷》 数学BS版七年级下册 第六章 变量之间的关系 1用表格表示变量之间的关系 1.变量与常量、自变量与因变量 概念 在一个变化过程中，数值▣ 的量称为变量 变量 自变量 在某个变化过程中有两个变量x,y,并且对 举例：在圆的周长公式 分类 于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与 C=2mR中，C,R是变 因变量 其对应，那么就说x是自变量，y是因变量 量，2，π是常量 常量 在一个变化过程中，数值2 的量称为常量 2.用表格表示变量之间的关系 表示两个变量之间关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量，从表格中可以发现 因变量随自变量变化而发生的变化存在一定规律一增加或者减少或者呈规律性增减变化，从而可 以利用变化趋势对结果进行预测。 2。用关系式表示变量之间的关系 般地，含有3 就是表示这两个变量间关系的关系式。关系式一般是用含有自变量的 代数式表示因变量的等式。等式的左边是含有因变量的代数式，右边是含有自变量的代数式。 3用图象表示变量之间的关系 1.用图象表示变量之间的关系 用图象来表示两个变量之间关系的方法叫作④ 。在用图象表示变量之间的关系时，通 常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因 变量。 2.读图象“四步法” 读“轴” 读“线” 读“点” 读“趋势” 一读“轴”：读横、纵轴表示的含义。 二读“点”：读“特殊点”的含义，包括起点、终点、交点、拐点。 三读“线”：读线的曲直。 四读“趋势”：读线的增减性，呈上升趋势或下降趋势。 答案四发生变化2始终不变③两个未知数（变量）的等式④图象法 王心童《红卷》 数学BS版七年级下册