专项4 拓展题-【红卷】2025-2026学年七年级下册数学期末复习方案（北师大版·新教材）

9.解：(1)305784(2)y=27x+3 (3)由题意，可得此时彩带总长度为(30-3)×20=27× 20=540(cm)。 答：彩带环的周长是540cm。 10.解：(1)①P②M③W (2)240 (3)甲的速度：240÷6=40（千米/时），则乙的速度： 240÷2-40=80(千米/时)。 (4号 专项四拓展题 162删 3.24m 4.52°或116°或38°或64或142° 【解析】如图1，当DE∥AB时，DE⊥CG。:∠DGC= ∠C=26°，.∠ADG=∠DGC+∠C=52°。 B --22…C G 图1 如图2，当DG∥AB时，∠ADG=180°-∠A=180°-64°= 116°。 图2 如图3，当EG∥AB时，∠A=∠CFE=64°，∠B= ∠CEG=90°。由折叠可知，∠DEG=∠DEC=45°， .∴.∠EDF=∠C+∠DEC=26°+45°=71°。.∴.∠ADG= ∠EDG-∠EDF=∠CDE-∠EDF=109°-71°=38°。 G D B4 ----C 图3 如图4，当DG∥AB时，∠ADG=∠A=64°。 D C E 图4 如图5，当EG∥AB时，∠GEB=∠B=90°，∠CEG= 90°。由折叠可知，∠DBC=∠DEG=360°-90° 2 135°。∠C=26°，.∠GDE=∠CDE=180°-135°- 26°=19°。.∠ADG=180°-19°-19°=142°。 图5 综上所述，∠ADG的度数为52°或116或38°或64° 或142°。 5.①3④ 6.证明：(1).∠1=∠2=∠3， ∴.∠1+∠DAC=∠2+∠DAC .∠BAC=∠DAE。 .·∠ADC=∠B+∠1， ∴.∠ADE+∠3=∠B+∠1， .∴.∠B=∠ADE。 在△ABC和△ADE中， I∠B=∠ADE, ∠BAC=∠DAE, AC=AE, .∴.△ABC≌△ADE(AAS)。 (2).·△ABC≌△ADE, .AB=AD, ∴.∠B=∠ADB,且∠B=∠ADE, .∠ADE=∠ADB, .AD平分∠BDE。 7.证明：(1).AD∥BC, ∴.∠ADE=∠FCE。 E是CD的中点， ∴.DE=CE。 在△ADE和△FCE中 ∠ADE=∠FCE, DE=CE, ∠AED=∠FEC, .△ADE≌△FCE(ASA), .FC=AD (2)由(1)知：△ADE≌△FCE, .AE=FE 又，BE⊥AE ∴.∠AEB=∠FEB=90°。 在△AEB和△FEB中， (BE=BE, ∠AEB=∠FEB, AE=FE、 ∴.△AEB≌△FEB(SAS), ..AB=BF, ∴.AB=BF=BC+CF。 .AD=FC, .∴.BC=AB-AD 8.(1)证明：·△ABC和△CDE都是等边三角形， .AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， .∴.∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠ACD=∠BCE。 在△ACD和△BCE中， (AC=BC. ∠ACD=∠BCE CD=CE .∴.△ACD≌△BCE(SAS), .AD=BE。 (2)解：：△ACD≌△BCE, ∴.∠DAC=∠EBC。 ·∠AFG=∠BFC,∠AGB=180°-∠AFG-∠DAC, ∠ACB=180°-∠EBC-∠BFC, .∴.∠AGB=∠ACB=60°。 7 9.证明：(1)：△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴.∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC,AD=AE, .∠BAD=∠CAE。 在△BAD和△CAE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE AD=AE. .△ABD≌△ACE(SAS). (2)如图，∠ADB=90°，∠ADE=60°，过点C作CG∥ BD交DF的延长线于点G。 .∠BDF=30°， .∴.∠G=∠BDF=30° 由(1)可知，BD=CE,∠CEA =∠BDA, .·AD⊥BD .∠BDA=90°， ,∠CEA=90°。 ∠AED=60°， .∠CED=30°=∠G, ∴.CE=CG .BD=CG. 在△BDF和△CGF中， I∠BDF=∠G, ∠BFD=∠CFG BD=CG, .△BDF≌△CGF(AAS), BF=FC,即F为BC的中点 10.证明：【举例】AD是中线， .BD=CD 在△ADC和△EDB中 CD=BD. ∠ADC=∠EDB DA=DE, .'△ADC≌△EDB(SAS)。 【应用】如图2，AB=AE,AD=AC,M为BC中点，延长 AM到N,使MN=AM,连接BN, .CM=BM 在△AMC和△NMB中， (AM=NM, ∠AMC=∠NMB, CM=BM .'△AMC≌△NMB(SAS), ∴.AC=NB,∠C=∠NBM, M .AD=NB。 AB⊥AE,AD⊥AC, 图2 ·.∠EAB=∠DAC=90° ∴.∠EAD+∠BAC=180° 又：∠ABN+∠BAC=∠ABC+∠NBM+∠BAC=∠ABC +∠C+∠BAC=180°， ∴.∠EAD=∠ABN。 在△ADE和△NAB中， (AE=AB. ∠EAD=∠ABN, AD=BN, ∴.△ADE≌△NAB(SAS), .∴.DE=AN。 ·.·AN=2AM .·.DE=2AM 11.(1)证明：如图1，在CD上截取CF=AE,连接EF。 △ABC是等边三角形 ∴.∠ABC=60°，AB=BC。 ∴.BF=BE,△BEF为等边三角形。 ∴.∠EBD=∠EFC=120°。 又ED=EC, .∠D=∠ECF ∴.△EDB≌△ECF(AAS), .CF=BD ∴.AE=BD CD=BC+BD,BC=AC, .·.AE+AC=CD (2)AC-AE=CD 证明：如图2，在BC的延长线上截取CF=AE,连接EF。 同(1)的证明过程可得AE=BD。 CD=BC-BD,BC=AC, ∴.AC-AE=CD (3)AE-AC=CD. 【解析】[如图3，在BC的延长线上截取CF=AE,连 接EF。证明过程类似(2)] D 图1 图2 图3 12.解：(1)AM⊥AN,AB平分∠MAN, .∠BAC=45°。 BC⊥BA, .∠ABC=90°， .∠ACB=45° (2)作BF⊥AM,BG⊥AC,则BF=BG, 少 S△A6DS△5Ec=2:3, .AD:CE=2:3。 当E点在C点左侧时， AD=t,CE=6-2t, 3t=2(6-2t), 解得=号 当E点在C点右侧时，CE=2t-6, .3t=2(2t-6),解得t=12s。 (3)当D点在A点上方时， AB=BC,∠BAM=∠BCA=45°， 当AD=CE时，△ADB≌△BEC(SAS), 即6-2t=t,或2t-6=t, 解得t=2s或6s(舍去)； 当D点在A点下方时， ·.·∠BAD=135° .AD=CE,E点在C点的右侧， .t=2t-6, .'t=6 so 答：t=2s或6s时，△ADB≌△BEC。 13.证明：(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG。 在△ABG和△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠D=90°， BG=DF, .∴.△ABG≌△ADF。 .∴.AG=AF,∠1=∠2 GB E .∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD 2 .∠GAE=∠EAF。 在△AEG和△AEF中 (AE=AE. ∠GAE=∠EAF」 (AG=AF, ,.△AEG≌△AEF。 ∴.EG=EF。 .·EG=BE+BG .EF=BE+FD (2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立。 (3)结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-FD。 证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG。 :∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180° .∠B=∠ADF 在△ABG和△ADF中 (AB=AD. D ∠ABG=∠ADF, BG=DF, .△ABG≌△ADF。 .∠BAG=∠DAF,AG=AF .∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=。∠BAD ∴.∠GAE=∠EAF。 在△AEG和△AEF中， (AE=AE, ∠GAE=∠EAF, AG=FF ·.△AEG≌△AEF。 ∴.EG=EF。 EG=BE-BG EF=BE-FD。 14.解：(1)△AEC BD=CE (2)BD=CE,BD⊥CE。理由如下： .·∠BAC=∠DAE ∴.∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB,即∠DAB=∠EAC (AB=AC. 在△ADB和△AEC中，{∠DAB=∠EAC, AD=AE. ·.△ADB≌△AEC(SAS)。 .BD=CE,∠ABD=∠ACE。 ∴.∠ABC+∠ACB=∠PBC+∠PCB=90°。 .BD⊥CE。 13 (3):△ABD和△ACE是等边三角形， ∴.AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°。 ∴.∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE。 (AD=AB, 在△ADC和△ABE中，{∠DAC=∠BAE, AC=AE, .△ADC≌△ABE(SAS)。 ∴.CD=BE,∠ADC=∠ABE。 :∠PBC+∠PCB=∠BPD=∠180°-∠PBD-∠PDB =180°-(60°+∠ABE)-(60°-∠ADC)=60°， ∴.∠PBC+∠PCB=60°。 15.(1)证明：：BD⊥直线1，CE⊥直线l, ∴.∠BDA=∠AEC=90°， ∴.∠DAB+∠DBA=90°， ∠BAC=90°， .∠DAB+∠EAC=90°， .∠DBA=∠EAC。 在△ABD和△CAE中， (∠BDA=∠AEC=90°， ∠DBA=∠EAC, (AB=AC, △ABD≌△CAE(AAS). (2)DE=BD+CE。 证明：·∠EAB是△ABD的外角， .∠EAB=∠ADB+∠DBA, .∠EAC+∠BAC=∠ADB+∠DBA. '∠ADB=∠BAC, .∠EAC=∠DBAe 在△EAC和△DBA中 I∠EAC=∠DBA, ∠CEA=∠ADB, AB=AC, .△EAC≌△DBA(AAS), .CE=AD,AE=BD, .DE=AE+AD=BD+CE。 (3)S1=S20 理由：过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过 点E作EN⊥AH于点N,如图所示： AG⊥BC, .∠AGB=∠M=90°， .∠ABG+∠BAG=90° ∠BAD=90°， ∴.∠BAG+∠DAM=90°， .∠ABG=∠DAM. G C 在△ABG和△DAM中， ∠AGB=∠M=90°， ∠ABG=∠DAM, AB=AD. .△ABG≌△DAM(AAS), .DM=AG 同理可证明：△AGC≌△ENA, .EN=AG, .DM=EN s=M.DM,S号1H·EN 2 .S1=S2专顶强化练© 拍昭一键批 红卷 专项四 拓展题 用心做好卷 猫题归类可刊印/ 1.定义：我们将等腰三角形的顶角和一个底角的度数的比值叫作这 顶角的度数 个等腰三角形的“特征值”，记作a=一个底角的度数若a=2则 该等腰三角形的顶角的度数为 2计第：导-gw)- 3.如图，AP,为△ABC的中线，AP2为 △AP1C的中线，AP3为△AP2C的中线 …按此规律，APn为△APn-1C的中 线。若△ABC的面积为16，则△APC PP,P 的面积为 4.如图，△ABC中，∠A=64°，∠B=90°，∠C=26°，点D是AC边上的 定点，点E在BC边上运动，沿DE折叠三角形CDE,点C落在点G 处。当△DEG的一边与AB平行时，∠ADG= 9 2=C 图1 图2 第4题图 第5题图 5.如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→ M方向运动至点M处停止。设点R运动的路程为x,△MWR的面 积为y。如果y关于x的图象如图2所示，那么下列说法正确的是 (填序号)。 ①当x=6时，y=10:②当y=5时，x=2;③y的最大值是10；④长方 形MWPQ的周长是18。 6.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE。 求证： (1)△ABC≌△ADE。 (2)AD平分∠BDE。 A 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为CD的中点，连接AE并延长 交BC的延长线于点F,连接BE,且BE⊥AF。 求证： (1)FC=AD。 (2)BC=AB-AD。 8.如图，点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角 形，连接AD、BE,BE分别交AC、AD于点F、G。 (1)求证：AD=BE。 R (2)求∠AGB的度数 9.已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD、CE。 (1)求证：△ABD≌△ACE。 (2)延长ED与BC交于点F,若AD⊥BD,求证：F是BC的中点。 王心童⑧《红卷》·数学BS版·七年级下册 10.在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长 中线法。 【举例】如图1，在△ABC中，AB>AC,AD是中线，延长AD至点E, 使DE=DA,可得△ADC≌△EDB,请你说明理由。 【应用】如图2，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M为BC中点， 求证：DE=2AM。 M 图1 图2 11.已知△ABC为等边三角形，E为射线BA上一点，D为直线BC上 一点，ED=EC。 (1)当点E在AB上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE +AC=CD。 (2)当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），猜想AE、 AC和CD的数量关系，并证明你的猜想。 (3)当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如 图3)，请直接写出AE、AC和CD的数量关系。 D B B D 图1 图2 图3 专项强化练/19 12.如图，直线AM⊥AW,AB平分∠MAN,过点B作BC⊥BA交AN于 点C:动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿 射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿直线AM运动：已知 AC=6cm,设动点D,E的运动时间为t。 (1)试求∠ACB的度数。 (2)若S&ARD:S△Bc=2:3,试求动点D,E的运动时间t的值。 (3)试问当动点D,E在运动过程中，是否存在某个时间t,使得 △ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存 在，请说出理由。 C N 备用图 13.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F 分别是边BC,CD上的点，且∠EAP-号∠BAD。求证： EF= BE+FD。 B E B E 图1 图2 图3 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分 别是边BC,W上的点，且∠EM-方∠BD,(I)中的结论是 20 、专项强化练 否仍然成立？ (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F 分别是边BC,CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD,()中 的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它 们之间的数量关系，并证明。 14.学科素养模型观念 (1)如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE,连接BD,CE,则△ADB兰 ,此时线段BD和 线段CE的数量关系是 (2)如图2，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE= 90°，连接BD,CE,两线交于点P,请判断线段BD和线段CE 的关系，并说明理由。 (3)如图3，分别以△ABC的两边AB,AC为边向△ABC外作等边 △ABD和等边△ACE,连接BE,CD,两线交于点P。请求出线 段BE和线段CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数。 图1 图2 图3 王心童®《红卷》·数学BS版·七年级下册 15.【基础回顾】 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,分 别从点B,C向直线1作垂线，垂足分别为D,E。求证：△ABD ≌△CAE。 D H A B 图1 图2 图3 【变式探究】 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,直线I经过点A,点D,E分别在 直线l上，如果∠CEA=∠ADB=∠BAC,猜想DE,BD,CE有何 数量关系，并给予证明。 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如 图3所示，以△ABC的边AB,AC为一边向外作△BAD和 △CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AG是边 BC上的高。延长GA交DE于点H,设△ADH的面积为S, △AEH的面积为S2,猜想S1,S2的大小关系，并说明理由。