专项2 图形与几何题-【红卷】2025-2026学年七年级下册数学期末复习方案（北师大版·新教材）

专页强化练© 拍一批 红卷 专项二 图形与几何题 用心做好卷 猫题归奕可打印 1.如图，P是∠ABC内一点，按要求完成下列各题： (1)过点P作AB的垂线，垂足为点D。 (2)过点P作BC的平行线，交AB于点E。 (3)比较线段PD和PE的大小，并说明理由。 ●P B 2.作图： (1)如图1，把大小为4×4的正方形方格分割成了两个全等图形。 请在图2中，沿着虚线画出两种不同的分法，把4×4的正方形 方格分割成两个全等图形。 (2)如图3，∠AOB内部有两点M和N,请找出一点P,使得PM=PN, 且点P到∠AOB两边的距离相等。（保留作图痕迹，不用证明) (3)如图4，A,B是两个村庄，CD是一条暗河露出地面的部分。两 村村民想要建一个蓄水池，使它到A,B两个村庄的距离相等， 并且到暗河两端C,D的距离也相等。请帮助他们找到符合这 个要求的位置，并说明理由。 M 画法1 画法2 0 D 图1 图2 图3 图4 3.如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格 中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)。 (1)在图中作出△ABC关于直线1对称的△A,B,C,。(要求：A与 A,,B与B,,C与C,相对应)》 (2)若有一格点P到点A,B的距离相等(PA=PB),则网格中满足 条件的点P共有个 (3)在直线1上找一点Q,使QB+QC的值最小。 4.如图，在下列正方形网格中，小正方形的顶点为格点，△ABC和 △DEF的顶点都在格点上。 (1)请在图中画出△ABC关于直线I对称的△A'B'C'。 (2)判断是否存在直线m使得△A'B'C和△DEF关于直线m对 称。若存在，请画出直线m;若不存在，请说明理由。 (3)连接AA',CC',求四边形AA'C'C的面积。 5.请把下面的证明过程补充完整。 如图，已知AD⊥BC于点D,点E在BA的延长 线上，EGLBC于点G,交AC于点F,∠E=∠1。 求证：AD平分∠BAC。 2 证明：'AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G(已知)， ∴.∠ADC= =90°( G .AD∥EG( .∴.∠1= =∠3( .∠E=1(已知)， ∴.∠2=∠3。 .AD平分∠BAC( )。 6.如图，已知AM∥BN,∠A=60°，P是射线AM上一动点（与点A不 重合)，BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,交射线AM于点C,D。 (1)求∠ABN和∠CBD的度数。 (2)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发 生变化？若不变，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变 化，请写出变化规律。 (3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数。 C P D M 王心童®《红卷》·数学BS版·七年级下册 7.【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的 平行线进行转化。 例如：如图1，MN∥PQ,点C,B分别在直线MW,PQ上，点A在直 线MN,PQ之间。 -----D 人 B Q C D 图1 图2 图3 ☒4 求证：∠CAB=∠MCA+∠PBA。 证明：如图1，过点A作AD∥MN。 .MN∥PQ,AD∥MN, .AD∥MN∥PQ。 ∴.∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB。 ∴.∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+∠PBA, 即∠CAB=∠MCA+∠PBA。 【类比应用】已知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA,PD。 (1)如图2，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数。 (2)如图3，设∠PAB=,∠CDP=B,猜想a,B,∠P之间的数量关 系为 【联系拓展】 (3)如图4，直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA,PD,AP⊥PD, DN平分∠PDC。若∠PMN+2∠PAB=LP,请运用(2)中的结 论，求出∠N的度数。 8.如图，AD,AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线。 (1)若∠BED=60°，∠BAD=40°，求∠BAF的度数。 (2)若AB=8,AC=6,求中线AD长的取值范围。 专项强化练/15 9.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,E是线段BD上的一个动点，过 点E作EF⊥BD交CA的延长线于点F。 (1)若∠C=30°，∠BAC=100°，求∠F的度数 (2)判断∠C与∠F、∠BAC的数量关系，并说明理由。 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长AC至点E,过点E作EF ⊥AC,交线段AC的延长线于点E,使EF=BC,连接BF交CE于 点D。 (1)求证：CD=ED。 (2)若G是AC上一点，满足AG=2CD,连接FG,请你判断∠FGE 和∠ABC的关系，并证明你的结论。 11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BA=BC,CD⊥AD,CE⊥AB交 AB的延长线于点E,连接AC。 (1)试说明：CE=CD。 (2)连接DE,试说明：AC垂直平分DE。 161专项强化练 12.如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的平分线，F 为AE上一点，连接BF,∠BFE=45°。 (1)求证：BF平分∠ABE。 (2)连接CF,交AD于点G,若S AARF=SACBF,求证：∠AFC=90。 (3)在(2)的条件下，当BE=3,AG=4.5时，求线段AB的长。 红 13.如图，在△ABC中，AB=AC=12,BC=9,D为AB边的中点。点P在 线段BC上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时， 点Q在线段CA上由点C向点A运动，设它们的运动时间为ts。 (1)若点P与点Q的速度相等，第1s时，△BPD与△CQP是否 全等？请说明理由。 (2)若点P与点Q的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够 使△BPD与△CQP全等？ 王心童®《红卷》·数学BS版·七年级下册 14.如图，△ABC是等腰三角形，∠A=90°，D为BC的中点，过点D作 DE⊥DF,分别交直线AB,AC于点E,F。 【发现】 (1)若点E,F在线段AB,AC上，研究线段AE,AF,AC之间的数量 关系，小丽是这样想的：连接AD,通过探究△ADF≌△BDE, 得到AF=BE,进而得到线段AE,AF,AC之间的数量关系为 【探究】 (2)若点E在线段AB的延长线上，点F在线段CA的延长线上， 【发现】中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立， 请写出线段AE,AF,AC之间的数量关系，并说明理由。 D 备用图(3)210×8101×( 1)200 =210×[(2)3]101×[( -）27200 =200×2303× )0 2 1 =203×( =2x2x2) 1 1 =2*x(2x2)0 =8×1400 =8×1 =8。 10.解：(1)4×5×100+25 (2)a52=100a(a+1)+25。 理由：a52=(10a+5)(10a+5) =100a2+100a+25 =100a(a+1)+25。 (3)由题知，a52+100a=6325 即100a2+100a+25+100a=6325 解得a=7或-9（舍去）， ∴.a的值为7。 11.解：(1)2036=5102-5082。 (2)证明：设两个连续的偶数为2n、2(n+1),n为 整数，则完美数为[2(n+1)]2-(2n)2, .[2(n+1)]2-(2n)2 =[2(n+1)-2n][2(n+1)+2n =4(2n+1), 已知2n+1为奇数， ∴.4(2n+1)能被4整除 即任意一个完美数都能够被4整除。 (3)根据题意，得42-22+82-62+…322-302 =(4-2)(4+2)+(8-6)(8+6)+…+(32-30)(32+3 =2(4+2)+2(8+6)+…+2(32+30) =2(2+4+6+8+…+30+32) =2x16(2+32) 2 =544。 12.解：(1)(a-b)2(a+b)2-4ab (2)(a+b)2-4ab=(a-b)2 (3)由(2)，可得(m-n)2=(m+n)2-4mn。 ,m+n=5,m2+n2=20, ∴.(m+n)2=m2+2mn+n2=25。 .∴.2mn=5。 ..4mn=10. ∴.(m-n)2=25-10=15。 (4)设AB=xdm,AD=ydm,则3(x+y)=210, ∴.x+y=70。 .x2+y2=2500, .2xy=(x+y)2-(x2+y2)=702-2500=2400。 .xy=1200。 故长方形土地ABCD的面积为1200dm2。 专项二 图形与几何题 1.解：(1)如图，直线PD即为所求。 (2)如图，直线PE即为所求。 (3)PE>PD。 理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短。 2.解：(1) 画法1 画法2 (答案不唯一) (2)如图，点P即为所求。 正 (3)如图，点O即为所求。 0) 理由如下： 根据垂直平分线的性质可知，点O到A,B两点的距 离相等，并且到C,D两点的距离也相等。 3.解：(1)如图，△AB,C,即为所求。 (2)4 (3)如图，点Q即为所求。 4.解：(1)如图，△A'B'C即为所求。 (2)存在.如图，直线m即为所求。 7 (3)由上图可得AA'=4,CC'=2 ·四边形A4'CC是梯形，其高为2， 26 .S四边形cC=(4+2)×2× 5.∠EGC垂直的定义同位角相等，两直线平行 ∠2两直线平行，内错角相等∠E两直线平不 同位角相等角平分线的定义 6.解：(1)，AM∥BN, .∠A+∠ABW=180°。 .·∠A=60°， .∠ABN=120°。 :BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN ∴.∠ABP=2∠CBP,∠PBN=2∠DBP .2∠CBP+2∠DBP=120°。 .∠CBD=∠CBP+∠DBP=60° (2)∠APB与∠ADB之间的数量关系不变，∠APB 2∠ADB。理由如下： AM∥BN, ∴.∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN: ·BD平分∠PBN, ∴.∠PBN=2∠DBN。 .∠APB=2∠ADB。 (3)AM∥BN, ∴.∠ACB=∠CBN。 ,·∠ACB=∠ABD, ∴.∠CBN=∠ABD 即∠CBD+∠DBN=∠ABC+∠CBD。 .∴.∠ABC=∠DBN。 .BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN, 六∠AC=Lv=0 7.解：(1)如图，过点P作PE∥AB。 ·AB∥CD,PE∥AB, ∴.AB∥PE∥CD。 E-- ∴.∠APE=∠A=50°， ∠DPE+∠D=180°。 .∠DPE=180°-150°=30°。 ∴.∠APD=∠APE+∠DPE=50°+30°=80°。 (2)a+B-∠P=180° (3)如图，设PD交AN于点O。 AP⊥PD, .∠P=90°。 ∠PAN+2∠PAB=∠P ∠PAN+)∠PAB=90 ·∠POA+∠PAN=90°， ∠POA=∠PHB. 2 ∠POA=∠NOD, 1 六∠NOD=2∠PAB。 :DN平分∠PDC, 1 LODN=2LPDC. .∠N=180°-∠N0D-∠ODN=180°- （∠PAB+ ∠PDC)。 由(2)知，∠CDP+∠PAB-∠P=180°， .∴.∠CDP+∠PAB=180°+∠P。 ·∠N=180°2（∠PAB+∠PDC)=180°-1 2(180°+ 2P)=180°)180°+90)=450 8.解：(1)·∠BED=∠ABE+∠BAE,∠BED=60°， ∠BAD=40°， .,∠ABE=60°-40°=20°。 :BE平分∠ABC, .∠ABC=2∠ABE=40°。 AF是△ABC的高， .∠AFB=90°。 ∴.∠BAF=90°-∠ABF=90°-40°=50°。 (2)如图，延长AD至K,使AD=DK,连接CK。 AD是△ABC的中线， .BD=CD。 (AD=KD. 在△ADB和△KDC中，{∠ADB=∠KDC, BD=CD, B .△ADB≌△KDC(SAS)。 AB=KC=8。 AC=6, 2<AK<14。 ..1<AD<7。 9.解：(1)：∠C=30°，∠BAC=100°， ∴.∠ABC=180°-100°-30°=50°。 BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD=25°。 B .∴.∠FDB=180°-∠ABD-∠BAC=180°-25°-100°=55°。 EF⊥BD, 8 .∠FED=90°。 .∠F=90°-∠FDB=90°-55°=35°。 (2)∠BAC=∠C+2∠F。理由如下： ·:BD平分∠ABC, .∠ABC=2∠ABD。 .∠BAC=180°-∠C-2∠ABD=180°-∠C-2(180°- ∠BAC-∠ADB)=2∠BAC+2∠ADB-∠C-180°。 ∴.∠BAC=180°+∠C-2∠ADB。 .∠ADB=180°-∠FED-∠F=180°-90°-∠F=90°-∠F, .∴.∠BAC=180°+∠C-2(90°-∠F)=∠C+2∠F。 10.(1)证明：EF⊥AC, ∴.∠E=90°。 .·∠ACB=90° ∴.∠DCB=180°-∠ACB=90° ∠E=∠DCB。 I∠E=∠DCB 在△DEF和△DCB中，{∠EDF=∠CDB, EF=BC, ∴.△DEF≌△DCB(AAS)。 ∴.CD=ED。 (2)解：∠FGE+∠ABC=90°。证明如下： 由(1)知，CD=DE, .CE=2DC。 .AG=2DC .AG=CE。 ∴.AG+CG=CE+CG. AC=EG。 (EF=BC, 在△FEG和△BCA中， ∠E=∠ACB EG=AC, .△FEG≌△BCA(SAS)。 ∠FGE=∠A。 :∠ACB=90°， .∠A+∠ABC=90°。 ∴.∠FGE+∠ABC=90° 11.证明：(1).BA=BC, ∴.∠BAC=∠BCA。 :AD∥BC, ∴.∠BCA=∠CAD。 ∴.∠BAC=∠CAD。 ∴.AC是∠EAD的平分线。 .·CE⊥AB,CD⊥AD, .CE=CD (2)如图，设AC与DE的交点为点F。 CD⊥AD,CE⊥AB, .∠AEC=∠ADC。 由(1)可知，∠EAC=∠DAC。 在△ACE和△ACD中， ∠AEC=∠ADC. ∠EAC=∠DAC, AC=AC, ·.△ACE≌△ACD(AAS)。 .AE=AD。 由(1)知，AC是∠EAD的平分线， ∴.AF⊥ED,EF=DF。 ∴.AC垂直平分DE。 12.(1)证明：AE是∠BAD的平分线， .∠BAD=2∠BAF。 ·∠BFE=45°， ∴.∠FBA+∠BAF=45° ∴.2∠FBA+2∠BAF=90° :AD为BC边上的高， ∴.∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°。 .2∠FBA=∠EBF+∠FBA。 ∴.∠EBF=∠FBAG .BF平分∠ABE (2)证明：如图，过点F作FM⊥BC于点M,FN⊥AB 于点N。 由(1)知，BF平分∠ABE。 FM⊥BC,FN⊥AB, ∴.FM=FN。 :SAABF=S△cBF, 即AB·FN=BC·FM, .AB=BC (BA=BC. 在△ABF和△CBF中，{∠ABF=∠CBF, BF=BF, ∴.△ABF≌△CBF(SAS)。 ,∠AFB=∠CFB ∵∠BFE=45, .∠CFB=∠AFB=135°。 ∴.∠CFE=∠CFB-∠BFE=135°-45°=90°。 ∴.∠AFC=90°。 (3)解：由(2)知，△ABF≌△CBF,∠AFC=90°， .AF=FC,AB=BC,∠CFE=90°。 :∠AFC=∠ADC=90°，∠AGF=∠CGD, ∴.∠FAG=∠FCE。 I∠AFG=∠CFE, 在△AFG和△CFE中，{AF=CF, (∠FAG=∠FCE, .△AFG≌△CFE(ASA)。 ∴.AG=EC=4.5。 BE=3, ∴.BC=BE+EC=7.5。 ∴.AB=BC=7.5。 13.解：(1)△BPD与△CQP全等。理由如下： 当t=1时，BP=CQ=3。 :AB=12,D为AB边的中点， .BD=6。 PC=BC-BP=9-3=6, ∴.PC=BD。 .·AB=AC ∴.∠B=∠C。 (BP=CQ, 在△BPD与△CQP中，{∠B=∠C, BD=PC, .△BPD≌△CQP(SAS)。 9 (2),点P与点Q的速度不相等， ∴.BP≠CQ。 ·.·∠B=∠C .要使△BPD≌△CPQ,只能使BP=CP=4.5。 .△BPD≌△CPQ, .∴.CQ=BD=6。 点P的运动时间=，三1.5(5) .6÷1.5=4,即点Q的速度为每秒4个单位长度。 .当点Q的运动速度为每秒4个单位长度时，能够 使△BPD与△CQP全等。 14.解：(1)AC=AE+AF (2)【发现】中的结论不成立。AE=AF+AC。理由 如下： 如图，连接AD。 ,AB=AC,D为BC的中点， ∴.AD⊥BC,即∠ADC=90°，∠BAD= ∠DAC=BAC=45。 .:∠ADC=∠EDF=90° ∴.∠ADC+∠ADF=∠EDF+∠ADF,即∠CDF =∠ADE .∠C=90°-∠DAC=45° .∴.∠BAD=∠C .∠C=∠DAC=45° ..CD=AD。 ∠C=∠EAD 在△CDF和△ADE中， CD=AD. ∠CDF=∠ADE .△CDF≌△ADE(ASA)。 .CF=AE。 .CF=AF+AC .AE=AF+AC。 专项三 实际应用题 1.解：(1)口袋中装有8个白球和12个红球，共有20 个球， “从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是23 205° (2)由题意可知，口袋中有(8+x)个白球和(12-x)个 红球，共有20个球， 一从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是8+：=4 2051 解得x=8。 2解：(0号 (2)·抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的 概率分别为}日。 、环保卫士徽章所在扇形圆心角的度数为360×4=90， 节能台灯所在扇形圆心角的度数为360°× 8 =45°， 3 环保购物袋所在扇形圆心角的度数为360°×二=135°， .谢谢参与所在扇形圆心角的度数为360°-90°-45° 135°=90°. .设计方案如图②： 环保卫 士徽章入 谢谢 参与 90 909 135/6 45 节能 环保 台灯 购物 图② 3.解：（1)0.251 (2)0.25 (3)设口袋中白球有x个。 根据题意，得0.25(3+x)=3, 解得x=9。 答：估计口袋中有9个白球。 4解：(1)49 、10 (2)选择打开区域A中的小方格。 理由：P(打开区域A中的小方格)= 21 84 P(打开区域A外的小方格)= 10-2_1 49-951 11 425 .打开区域A中的小方格获得奖品的概率更大，故选 择打开区域A中的小方格。 5.解：(1)0.380.3750.375 (2)3 (3),蓝色区域频率稳定在0.25， .∴蓝色区域的扇形个数为8×0.25=2（个）。 ·红色区域的扇形个数是绿色区域扇形个数的2倍， ∴.红色区域的扇形个数是2个，绿色区域扇形个数是1个 ∴.将1个黄色区域改为绿色区域，能使指针指向每种 颜色区域的可能性相同。 6.解：(1)624 (2)根据(1)中得到的数据变化规律可知Q与t的关 系式为Q=-78t+936。 7.解：(1)当t=14时，s=10;当s的值最大时，t=7。 (2)当s的值最小时，t=21:情绪的变化周期是28天。 (答案不唯一) (3):情绪的变化周期为28天，5105÷28=182..9， 当t=9时，s>10, .今天小嘉属于情绪高潮期，心情愉快。 8.解：(1)刹车时车速v刹车距离s (2)15 (3)s=0.25(v≥0) (4)当s=32时，32=0.25， .∴.v=128。 ·.·120<128 事故发生时，汽车是超速行驶。 答：推测刹车时车速是128km/h,汽车是超速行驶。 0