专项1 计算题-【红卷】2025-2026学年七年级下册数学期末复习方案（北师大版·新教材）

专顶强化练。 拍昭一键批攻 红卷 专项一 计算题 用心做好卷 错题归类可刊印 1.计算： (1)20022。 (2)2024×2026-20252。 (3)(a-1)(a+2)-(4a3+8a2)÷(2a)2。 (4)(2x+y+2)(2x+y-2)-(x+2y)2。 2.(1)先化简，再求值：(a-b)2-2a(a+3b)+(a+2b)(a-2b),其中 1a-11+(b+3)2=0。 (2)已知y2-5y+3=0,求2(y-1)(2y-1)-2(y+1)2+7的值。 (3)已知a-b=3,a2-b2=15,求a+b的值。 (4)已知a+b=8,ab=4,求a2+b2的值。 3.(2025春·管城区月考)若a"=a"(a>0且a≠1，m、n是正整数)， 则m=n。利用上面结论解决下面的问题： (1)如果8=2，求x的值。 (2)如果2+2+21=24，求x的值。 (3)若x=5m-3,y=4-25m,用含x的代数式表示y。 4.(2025春·金水区月考)将幂的运算逆向思维可得am-"=a"÷a”, am"=(am)”,a”b”=(ab)”,在解题过程中，根据算式的结构特征，逆 向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解。 (1)若a”=2,a”=3,求a3m-2m的值。 (2)若2×4×8=221，求x的值。 5.在计算(ax+1)(2x+b)时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+ 6x+4;小张同学看错了a的值，计算结果为4x2+12x+5。 (1)求a,b的值。 R (2)计算(ax+1)(2x+b)的正确结果 6.规定两数a,b之间的一种运算，记作【a,b】,如果a=b,那么【a,b】 =c,例如：因为23=8，所以[2,8】=3。 (1)根据上述规定，填空：【4,16】= ,【7,1】= 【 ,81】=4。 (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【3”，4”】=【3,4】，小明给 出了如下的证明： 设【3”，4”】=x,则(3”)=4”，即(3*)”=4”，所以3=4，即【3,4】 =x,所以【3”，4”】=【3,4】。请你尝试运用这种方法解决下列问 题：证明：【6,45】-【6,9】=【6,5】。 王心童®《红卷》·数学BS版·七年级下册 7.如图，某新建高铁站广场前有一块长为(3a+b)米，宽为(a+3b)米 的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷 泉四周留有宽度均为b米的人行通道。 (1)请用代数式表示长方形空地的面积并化简。 (2)请用代数式表示喷泉的面积并化简。 (3)喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客通行，若每块地 砖的面积是1。平方米，则刚好铺满不留缝隙，求需要这样的地 砖多少块。 8.(1)填空： (a-b)(a+b)= (a-b)(a2+ab+b2)= (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)= (2)计算： 2+26+25+24+23+2+2+1。 专项强化练/13 9.我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向 11.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正 运用。对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法 整数为“完美数”。 则的逆向运用表现为am+"=a”·a,am"=(a"）”=(a”）m,a"bm= 例如：12=42-22,20=62-42,28=82-62：则12、20、28这三个数都 (ab)"(m,n为正整数)。 是完美数。 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)按照上述规律，将完美数2036表示成两个连续偶数的平方差 (1)已知a=25,b=34,c=43,请把a,b,c用“<”连接起来： 形式（直接写出）。 (2)说明：任意一个完美数都能够被4整除。 (2)若x”=2,x°=3，求x3a+26的值。 (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数…按此 (3)计算：2x8×(日)。 规律拼叠到正方形ABCD,其边长为32，求阴影部分的总面积。 D 2468… R 10.设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)。例如：当 a=4时，a5表示的两位数是45。 红卷 (1)尝试： ①当a=1时，152=225=1×2×100+25； ②当a=2时，252=625=2×3×100+25； ③当a=3时，352=1225=3×4×100+25； ④当a=4时，452=2025= (2)归纳：a52与100a(a+1)+25有怎样的大小关系？试说明 理由。 (3)运用：若a52与100a的和为6325，求a的值。 14 、专项强化练 王心童®《红卷》·数学BS版·七年级下册 12.【知识生成】我们已知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些 代数恒等式。如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形(a>b),把剩余的部分沿虚线剪开拼成图2的一个长 方形。图1中的阴影部分面积可表示为a2-b2,图2中阴影部分 的面积可表示为(a+b)(a-b)。因为两个图中的阴影部分面积是 相同的，所以可得到的等式为a2-b2=(a+b)(a-b)。 【类比运用】图3是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚线 用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正 方形。 (1)用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ,方法2： (2)由(1)可得到的一个等量关系式是 (3)若m+n=5,m2+n2=20,求(m-n)2的值。 【知识迁移】 (4)如图5，小明在自家长方形土地（即长方形ABCD)旁边，以 AB,AD为边分别向外用篱笆围出正方形ABEF、正方形ADGH 两块空地（不包含长方形ABCD的边长），并在两块正方形空 地上种植不同品种的农作物。已知篱笆一共长210dm,其种 植面积和为2500dm2,求长方形土地ABCD的面积。 a b 图1 图2 图3 B a D 图4 图520.解：(1)①时间t线段BN的长度或这组队员奔跑 .y=4-25m=4-(52)m 时与AB边的距离y (4分) =4-(5m)2=4-(x+3)2, ②10 (6分) .y=-x2-6x-5。 ③5 (8分) 4解：(1)逆用幂的乘方法则、逆用同底数幂的除法法则 (2)①14 (10分) 可得： ②S=14y(0≤y≤30) (12分) (3)学生在跑动过程中，注意摆臂幅度一定要减小，固 am-=(a)÷(a)2=232=8 定步幅的频率等。（答案不唯一，合理即可）(13分) (2)2×4×8=21+5x,2×4*×8=221, 专项强化练 2*5=21, 即1+5x=21, 专项一计算题 解得x=4。 5.解：(1)（ax+1)(2x+b) 1.解：(1)原式=(2000+2)2 2ax2+abx+2x+b, =20002+2×2000×2+22 .2a=2,b=5, =4000000+8000+4 解得a=1,b=5。 =4008004. (2)由(1)题结果可得， (2)原式=(2025-1)×(2025+1)-20252 (ax+1)(2x+b) =20252-1-20252 =(x+1)(2x+5) =-1。 =2x2+5x+2x+5 (3)原式=a2+2a-a-2-(4a3+8a2)÷4a2 =2x2+7x+5。 =a2+a-2-a-2 6.解：(1)20±3 =a2-4。 (2)证明：设【6,9】=x,【6,5】=y,则6=9,6=5， (4)原式=(2x+y)2-22-(x2+4xy+4y2) .5×9=45=6·6=6+y, =4x2+4xy+y2-4-x2-4xy-4y2 .【6,45】=x+y, =3x2-3y2-4。 .【6,45】-【6,9】=【6,5】。 2.解：(1)原式=a2-2ab+b2-2a2-6ab+a2-4b 7.解：(1)长方形空地的面积为： =-8ab-3b2。 (3a+b)(a+3b)=3a2+9ab+ab+3b2=3a2+10ab+3b2。 1a-11+(b+3)2=0, (2)由图可得，喷泉面积为： .∴.a-1=0,b+3=0 (3a+b-2b)(a+3b-2b)=(3a-b)(a+b)=3a2+2ab-b2。 ∴a=1,b=-3。 .原式=-8×1×(-3)-3×(-3)2=24-27=-3。 (3)[(3a2+10ab+36)-(3a2+2ab-b)]÷10 (2)原式=2(2y2-y-2y+1)-2(y2+2y+1)+7 =4y2-2y-4y+2-2y2-4y-2+7 3a2+10ab+362-3m2-2ab+6)b =2y2-10y+7. y2-5y+3=0, =(ab46)品 y2-5y=-3。 =(80a+40b)(块)。 ∴.原式=2(y2-5y)+7=2×(-3)+7=-6+7=1。 答：需要这样的地砖(80a+40b)块。 (3).a2-b2=(a+b)(a-b)=3×(a+b)=15, 8.解：(1)a2-b2a3-b3a4-b .a+b=5。 (2)2+2+25+24+2+22+2+1 (4).a+b=8, =(2-1)(2+26+2+24+23+22+2+1) .(a+b)2=a2+2ab+b2=64。 =(2-1)(27+26×1+25×12+24×13+23×14+22×15+2×16 .a2+b2=64-2ab=64-8=56。 +1) 3.解：(1)8=(23)=23=25， =28-18 .3x=5, =255。 得月 9.解：(1)a<c<b (2)x3a+2b (2)2+2+2+1=24, =xn·x2弘 .2(22+2)=24, =(x)3.()2, 2=4, x0=2,x=3, ∴.x=2。 ∴.原式=2×32 (3)x=5m-3, =8×9 .5m=x+3, =72。 6 (3)2x8ox(1)2 专项二图形与几何题 =20x[(2)3]10×[( 1)2]20 1.解：(1)如图，直线PD即为所求。 (2)如图，直线PE即为所求。 1 =2×2×(2) 1 =2403×( 2×2x2)” (3)PE>PD. s2×(2x,)0 理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， =8×1400 垂线段最短。 =8×1 2.解：(1) =8。 10.解：(1)4×5×100+25 (2)a52=100a(a+1)+25。 理由：a52=(10a+5)(10a+5) 画法1 画法2 =100a2+100a+25 (答案不唯一) =100a(a+1)+25。 (2)如图，点P即为求。 (3)由题知，a52+100a=6325, 即100a2+100a+25+100a=6325 解得a=7或-9（舍去）， ∴.a的值为7。 11.解：(1)2036=5102-5082。 (2)证明：设两个连续的偶数为2n、2(n+1),n为正 整数，则完美数为[2(n+1)]2-(2n)2, :[2(n+1)]2-(2n)2 =[2(n+1)-2n][2(n+1)+2n] (3)如图，点0即为所求。 =4(2n+1), 已知2n+1为奇数 ·.4(2n+1)能被4整除 即任意一个完美数都能够被4整除。 (3)根据题意，得42-22+82-62+…322-30 =(4-2)(4+2)+(8-6)(8+6)+…+(32-30)(32+30) =2(4+2)+2(8+6)+…+2(32+30) =2(2+4+6+8+.+30+32) 理由如下： =2×16(2+32) 根据垂直平分线的性质可知，点O到A,B两点的距 2 离相等，并且到C,D两点的距离也相等。 =544。 12.解：(1)(a-b)2(a+b)2-4ab 3.解：(1)如图，△AB,C1即为所求。 (2)(a+b)2-4ab=(a-b)2 (2)4 (3)由(2)，可得(m-n)2=(m+n)2-4mn。 (3)如图，点Q即为所求 m+n=5,m2+n2=20, ∴.（m+n)2=m2+2mn+n2=25。 r- .2mn=5。 .∴.4mn=10. ∴(m-n)2=25-10=15。 B (4)设AB=xdm,AD=ydm,则3(x+y)=210, .x+y=70。 .x2+y2=2500, .2xy=(x+y)2-(x2+y2)=702-2500=2400。 .xy=1200。 4.解：(1)如图，△A'BC即为所求。 故长方形土地ABCD的面积为1200dm2。 (2)存在.如图，直线m即为所求。