第3单元长方体和正方体应用题（专项训练）-2025-2026学年数学五年级下册人教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体表面积与体积的实际应用，以生活场景为载体，系统提炼公式变式与解题技巧，强化空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |表面积计算|8题（如无盖鱼缸、带重叠纸袋）|无盖/有盖/通风管表面积公式；重叠部分补偿法|从完整表面积公式（6面）到实际场景变式（5面、4面），构建“基础公式-场景调整”逻辑链| |体积计算|10题（如排水法求铁块体积、组合积木体积）|排水法（水面变化量）；组合体体积（整体-部分）；体积与质量转换|从直接体积公式到间接计算（排水法），再到跨学科应用（体积-质量），形成“公式应用-转化思想”递进| |综合应用|3题（如快递箱设计、储物柜选型）|空间优化（尺寸匹配）；极值问题（最大容积）|整合表面积与体积知识，解决实际决策问题，体现“数学眼光-思维-语言”的核心素养融合|

第3单元长方体和正方体应用专练-2025-2026学年数学五年级下册人教版 1．小刚给爸爸设计了一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长10分米，宽3分米，高6分米。制作这个玻璃鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 2．海昏侯墓是南昌汉代考古的重大发现，为西汉海昏侯刘贺之墓，出土了马蹄金、孔子屏风、竹简等万余件文物，揭示了汉代贵族生活与文化。为保护这批珍贵文物，考古队定制了长方体木箱用于运输。这种木箱长1.2米，宽0.9米，高0.6米，请计算出该木箱的表面积（含箱盖，箱壁厚度不计）。 3．为积极推动治理塑料污染，国家倡导商场、超市等场所推广使用环保布袋、纸袋等可降解、可循环、易回收的环保购物袋。某商场要制作一种如下图所示的纸袋（单位：cm），制作一个这种纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（重叠部分约需要400cm2的纸） 4．学校要开设游泳课程，修建一个长25米、宽8米、高2.5米的游泳池。 (1)要在游泳池四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ (2)用一台每分钟注水2立方米的水泵向水池内注水，多长时间后水深可以达到1.5米？ 5．小红为奶奶选了一份生日礼物（如图）。盒子的长是5分米，宽是4分米，高是3分米。 (1)礼品盒的体积是多少立方分米？ (2)如果用彩纸包装，至少需要多少平方分米彩纸？ 6．新安县磁涧镇张叔叔将樱桃通过网络平台销售，他发快递时使用了一种可以密封的长方体泡沫箱。从外面量，长是34厘米，宽是22厘米，高是18厘米，这种泡沫箱的体积是多少立方厘米？外表面积是多少平方厘米？ 7．刘大爷挖一个长6米、宽5米、深2米的蓄水池。 (1)这个蓄水池的占地面积是多少平方米？ (2)在这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ (3)往这个水池注入15立方米水，水深是多少米？ 8．向阳小学建一个长60米、宽25米、深2米的长方体游泳池。请你算一算。 (1)在游泳池的底面和内壁抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ (2)在游泳池内壁四周1.5米高处用红漆画一条水位线，水位线的全长是多少米？ 9．在“喜迎国庆75周年，说给祖国的心里话”活动中，某市的小学生用棱长5分米的正方体塑料拼插积木在城市广场中央搭起了一面长15米、宽10米、高2米的“中国梦”心愿墙。搭这面心愿墙一共用了多少块积木？ 10．抽烟会使密闭的室内（细颗粒物）含量急剧升高。如果在一间长6m、宽6m、高3m的密闭房间里抽烟，会导致室内每立方米的空间内含有10微克（一种质量单位）的细颗粒物。这个房间的细颗粒物一共有多少微克？ 11．一个体积是140cm3的长方体，前面和右面的面积分别是35cm2和20cm2，它的底面积是多少平方厘米？ 12．一块正方体的豆腐，棱长是7cm。如果每立方厘米豆腐的质量是1.1g，那么这块豆腐的质量是多少克？若每100g豆腐中含蛋白质10g，则这块豆腐可以为人体提供多少克蛋白质？ 13．如下图所示的是由8个棱长为1cm的小正方体组成的立体图形。 （1）若要在此基础上把它补成1个大正方体，则至少还需要多少个小正方体？ （2）新组成的大正方体的体积为多少立方厘米？ 14．1个宽和高相等的长方体蛋糕沿同一个方向正好可以切成6个同样大小的小正方体蛋糕，切成的6个小正方体蛋糕的总表面积比原来长方体蛋糕的表面积多250cm2。求原来长方体蛋糕的表面积。 15．一个通风管的横截面是边长为0.5米的正方形，长3.5米，学校劳动基地要做10个这样的通风管至少需要多少平方米的铁皮？ 16．一个长方体的容器，长30厘米，宽20厘米，高15厘米，容器内装满水后，将铁块完全没入水中，水溢出，然后将铁块取出，这时容器中的水面降低了9厘米。铁块的体积是多少立方分米？ 17．一个棱长2分米的正方体玻璃容器中有5升水，把一块石头浸没在水中（水没有溢出），这时量得容器里的水深14厘米，石头的体积是多少立方分米？ 18．一个完全封闭的盛有水的长方体容器，从里面量长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（如下面左图）。如果把这个容器竖起来放，打开盖子（水无渗漏），放入一个体积为0.16立方分米的西红柿（完全浸没），此时水面的高度是多少？ 19．阳光小学为响应环保号召，计划修建一个长方体蓄水池收集雨水，用于校园绿化灌溉和师生日常用水。蓄水池长15米、宽8米、深2米。施工队需计算容积以确定水泵型号，同时在池内壁和底面铺瓷砖防渗水。学校共有师生800人，日均绿化用水量约200立方米，蓄水池需满足至少一天用水需求。 （1）这个蓄水池的容积是多少立方米？ （2）若在蓄水池内壁和底面贴瓷砖，需要贴瓷砖的面积是多少平方米？ 20．快递小哥乐乐遇上的事。 我要把这两双鞋子寄给我的双胞胎孙子。 （1）乐乐想把两个快件都装进下面的这个快递箱里，能否装下？写出你的判断理由。 （2）如果请你设计一个快递箱，使它能正好装下这两个快件（纸板厚度忽略不计），它的长、宽、高分别是（    ）厘米、（    ）厘米、（    ）厘米，容积是（    ）立方厘米。（可以在下面画一画，写一写，算一算。） 21．赵阿姨想在网上买一个木制储物柜，放在阳台上紧靠窗户那面墙的位置（如图所示）。柜子不要遮挡窗户，宽度不要超过50厘米，并且储物空间尽可能大。她在购物网站上查询到几个储物柜的尺寸，如下表。 储物柜 长（cm） 宽（cm） 高（cm） A 100 50 120 B 120 50 40 C 140 40 100 D 120 50 80 （1）按照赵阿姨的要求，储物柜最长是（    ）厘米，最宽是（    ）厘米，最高是（    ）厘米，体积最大是（    ）立方米。 （2）如果赵阿姨从四个储物柜中选择一个购买，你建议她买哪个？请说明理由。（木板的厚度忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3单元长方体和正方体应用专练-2025-2026学年数学五年级下册人教版》参考答案 1． 186平方分米 【分析】根据“无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”代入数值计算即可。 【详解】10×3＋10×6×2＋3×6×2 ＝30＋120＋36 ＝186（平方分米） 答：制作这个玻璃鱼缸至少需要186平方分米的玻璃。 2．4.68平方米 【分析】已知这种长方体木箱长1.2米，宽0.9米，高0.6米，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出该长方体木箱的表面积。 【详解】（1.2×0.9＋1.2×0.6＋0.9×0.6）×2 ＝（1.08＋0.72＋0.54）×2 ＝（1.8＋0.54）×2 ＝2.34×2 ＝4.68（平方米） 答：该木箱的表面积是4.68平方米。 3．4080平方厘米 【分析】纸袋的面积是长方体5个面的面积加重叠部分面积，纸袋面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2＋重叠部分面积，据此代入数据计算即可。 【详解】纸袋的面积： （平方厘米） 答：制作一个这种纸袋至少需要4080平方厘米的纸。 4．(1)365平方米 (2)150分钟 【分析】（1）已知游泳池长25米、宽8米、高2.5米，在游泳池四周和底面贴上瓷砖，可知游泳池是一个无盖的长方体，根据长方体无盖表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入长宽高的数值，即可求出贴瓷砖的面积。 （2）水的形状是一个长25米、宽8米、高1.5米的长方体，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数值，求出水的体积。再根据水泵每分钟注水2立方米的速度，用水的总体积除以每分钟的注水量，即可求出注水所需的时间。 【详解】（1）25×8＋（25×2.5＋8×2.5）×2 ＝200＋（62.5＋20）×2 ＝200＋82.5×2 ＝200＋165 ＝365（平方米） 答：贴瓷砖的面积是365平方米。 （2）25×8×1.5÷2 ＝200×1.5÷2 ＝300÷2 ＝150（分钟） 答：150分钟后水深可以达到1.5米。 5．(1)60立方分米 (2)94平方分米 【分析】（1）长方体的体积＝长×宽×高。 （2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】（1） （立方分米） 答：礼品盒的体积是60立方分米。 （2） （平方分米） 答：如果用彩纸包装，至少需要94平方分米彩纸。 6．13464立方厘米；3512平方厘米 【分析】长方体体积＝长×宽×高，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】34×22×18＝13464（立方厘米） （34×22＋34×18＋22×18）×2 ＝（748＋612＋396）×2 ＝1756×2 ＝3512（平方厘米） 答：这种泡沫箱的体积是13464立方厘米，外表面积是3512平方厘米。 7．(1)30平方米 (2)74平方米 (3)0.5米 【分析】（1）长方形面积＝长×宽，据此代入数字即可计算出这个蓄水池的占地面积是多少平方米。 （2）在这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，底部是一个长6米宽5米的长方形，四周是2个长6米宽2米和2个长5米宽2米的长方形，据此计算出每个面的面积后相加，即可求出抹水泥部分的面积是多少平方米。 （3）长方形体积＝底面积×高，用水的体积除以底面积，即可求出水深是多少米。 【详解】（1）6×5＝30（平方米） 答：这个蓄水池的占地面积是30平方米。 （2）6×5＋（6×2＋5×2）×2 ＝6×5＋（12＋10）×2 ＝6×5＋22×2 ＝30＋44 ＝74（平方米） 答：抹水泥部分的面积是74平方米。 （3）15÷（6×5） ＝15÷30 ＝0.5（米） 答：水深是0.5米。 8．(1)1840平方米 (2)170米 【分析】游泳池是一个无盖的长方体，抹水泥的部分包括1个底面和4个侧面。根据长方体表面积的计算方法，求出底面积与侧面积之和即可。 水位线是沿游泳池内壁四周画的一条闭合线，其长度等于游泳池底面的周长，与水位线距离底部的高度无关。 【详解】（1）60×25＋（60×2＋25×2）×2 ＝1500＋（120＋50）×2 ＝1500＋170×2 ＝1500＋340 ＝1840（平方米） 答：抹水泥的面积是1840平方米。 （2）（60＋25）×2 ＝85×2 ＝170（米） 答：水位线的全长是170米。 9．2400块 【分析】先进行单位换算，根据1米＝10分米，将积木棱长5分米转换为0.5米。根据长方体体积＝长×宽×高，计算心愿墙的体积。根据正方体体积公式V＝棱长×棱长×棱长，计算一个积木的体积。用心愿墙的体积除以一个积木的体积，即可求出积木的数量。 【详解】15×10×2÷（0.5×0.5×0.5） ＝15×10×2÷（0.25×0.5） ＝15×10×2÷0.125 ＝150×2÷0.125 ＝300÷0.125 ＝2400（块） 答：搭这面心愿墙一共用了2400块积木。 10．1080微克 【分析】根据长方体的体积=长×宽×高，把数据代入公式求出这间密闭房间的空间，然后再乘每立方米空间内含有颗粒的质量即可。 【详解】（立方米） （微克） 答：这个房间的细颗粒物一共有1080微克。 11．28平方厘米 【分析】根据长方体的体积÷前面的面积＝长方体的宽、长方体的体积÷右面的面积＝长方体的长，求出长方体的长和宽；再用长×宽，求出长方体的底面积，据此解答。 【详解】长方体的宽：（厘米）    长方体的长：（厘米） 长方体的底面积：（平方厘米） 答：长方体的底面积是28平方厘米。 12．377.3克；37.73克 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出豆腐的体积，再乘以每立方厘米豆腐的质量，算出豆腐的总质量，最后用总质量除以100再乘10，即可算出这块豆腐可以为人体提供蛋白质的质量，据此解答。 【详解】（立方厘米） （克） （克） 答：这块豆腐的质量是377.3克，这块豆腐可以为人体提供37.73克蛋白质。 13．（1）19个 （2）27立方厘米 【分析】（1）要把它补成一个大正方体，即每条棱上的正方体数量都相等，由图可知现在最长棱上有3个小正方体，求至少需要多少个小正方体，则每条棱都要有3个小正方体，用即可求出摆成的大正方体时一共需要的小正方体的个数，再减去已经摆了小正方体个数即为所求。 （2）求新组成的大正方体的体积，即用大正方体的棱长×棱长×棱长，棱长为3个小正方体的一条棱长之和，即3个1厘米，据此即可解答。 【详解】（1） （个） 答：至少还需要19个小正方体。 （2）（厘米） （立方厘米） 答：新组成的大正方体的体积为27立方厘米。 14．650平方厘米 【分析】先确定切割次数及增加的面数，再求出每个新增面的面积，接着计算6个小正方体的总表面积最后用总表面积减去增加的面积得到原来长方体的表面积。每切一次会增加2个面，切成6个小正方体，需要切（次），共增加（个）面，每个小正方形的面积就是（厘米），原来长方体的表面积就是6个小正方体的表面积之和减去多出的250平方厘米，即（平方厘米）。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） 答：原来长方体蛋糕的表面积是650平方厘米。 【点睛】根据一刀多两面的知识点，结合长方体的表面积得出答案。 15． 70平方米 【分析】由题可知，要求的是通风管的侧面积，通风管的宽和高均为0.5米，所以长方体四个侧面都是长为3.5米，宽为0.5米的长方形，根据“长方形的面积＝长×宽”用3.5乘0.5计算出一个长方形的面积，再用一个长方形的面积乘4计算出一个长方体需要的铁皮，最后用一个长方体需要的铁皮乘10即可。 【详解】0.5×3.5×4×10 ＝1.75×4×10 ＝7×10 ＝70（平方米） 答：做10个这样的通风管至少需要70平方米的铁皮。 16．5.4立方分米 【分析】铁块的体积就等于下降部分水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算出铁块的体积是多少立方厘米，再根据1立方分米＝1000立方厘米，把立方厘米化为立方分米。 【详解】30×20×9 ＝600×9 ＝5400（立方厘米） 5400立方厘米＝5.4立方分米 答：铁块的体积是5.4立方分米。 17． 0.6立方分米 【分析】将14厘米转换为1.4分米，计算放入石头后水和石头的总体积，再减去原有水的体积，得到石头的体积。 【详解】14厘米＝1.4分米，5升＝5立方分米 正方体容器的底面积：2×2＝4（平方分米） 放入石头后的总体积：4×1.4＝5.6（立方分米） 石头的体积：5.6－5＝0.6（立方分米） 答：石头的体积是0.6立方分米。 18．15厘米 【分析】已知长方体容器平放时，从里面量的长是20厘米，宽是16厘米，水深7厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出水的体积； 如果把这个容器竖起来放，再完全浸没一个西红柿，此时水的体积加上西红柿的体积等于一个底面积为“10×16”的长方体的体积，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时水面的高度。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【详解】20×16×7 ＝320×7 ＝2240（立方厘米） 0.16立方分米＝160立方厘米 （160＋2240）÷（10×16） ＝2400÷160 ＝15（厘米） 答：此时水面的高度是15厘米。 19．（1）240立方米； （2）212平方米 【分析】（1）蓄水池的容积等于蓄水池的体积，用水池的长宽深相乘即可； （2）贴瓷砖的面积是蓄水池的底面面积加上四个侧面内壁的面积，据此解答。 【详解】（1）15×8×2 ＝120×2 ＝240（立方米） 答：这个蓄水池的容积是240立方米。 （2）15×8＋2×（15×2＋8×2） ＝120＋2×46 ＝120＋92 ＝212（平方米） 答：需要贴瓷砖的面积是212平方米。 20．（1）不能；理由见详解 （2）66；20；12；15840 【分析】（1）要判断能否装下，需比较两个鞋盒组合后的长、宽、高与快递箱长、宽、高的大小。鞋盒的长是33厘米，如两个鞋盒并排放置，长度为33×2＝66厘米，快递箱的长是60厘米，66＞60。如两个鞋盒叠加放，鞋盒宽为20厘米，快递箱的宽为18厘米，20＞18。如把两个鞋盒的高组合成宽放，此时组合体的宽为12×2＝24厘米，24＞18。因为两个鞋盒组合后的长度大于快递箱的长，宽度也大于快递箱的宽，所以不能装下。 （2）要正好装下两个鞋盒，可将两个鞋盒沿长的方向并排摆放，此时快递箱的长为33×2＝66厘米，宽为20厘米，高为12厘米。根据长方体容积公式V＝a×b×c（a为长，b为宽，c为高），可得容积为：66×20×12＝15840（立方厘米）。 【详解】（1）两个鞋盒并排：33×2＝66（厘米） 66＞60 两个鞋盒叠加：20＞18 两个鞋盒的高组合成宽：12×2＝24（厘米） 24＞18 答：不能装下，因为两个鞋盒组合后的长度大于快递箱的长，宽度也大于快递箱的宽，所以不能装下。 （2）将两个鞋盒沿长的方向并排摆放。 长：33×2＝66（厘米） 宽：20厘米 高：12厘米 66×20×12＝15840（立方厘米） 所以，长、宽、高分别是66厘米、20厘米、12厘米，容积是15840立方厘米。（答案不唯一） 21．（1）120；50；100；0.6 （2）D；理由见详解 【分析】（1）已知柜子不能遮挡窗户，宽度不能超过50厘米，并且储物空间尽可能大，根据图示可知，储物柜最长是120厘米，最宽是50厘米，最高是100厘米，根据“长方体体积＝长×宽×高”即可求出储物柜的体积，最后将立方厘米换算为立方米（1立方米＝1000000立方厘米）； （2）储物柜A长100厘米，宽50厘米，高120厘米，长和宽符合最大长度要求，高120厘米超过了最大高度100厘米，因此该储物柜不合适； 储物柜B长120厘米，宽50厘米，高40厘米，长、宽、高均符合最大长度要求，但不符合储物空间尽可能大的要求，因此该储物柜不合适； 储物柜C长140厘米，宽40厘米，高100厘米，宽和高符合最大长度要求，长140厘米超过了最大长度120厘米，因此该储物柜不合适； 储物柜D长120厘米，宽50厘米，高80厘米，长、宽、高均符合最大长度要求，且是4个储物柜中储物空间最大的，因此该储物柜合适。 【详解】（1）120×50×100 ＝6000×100 ＝600000（立方厘米） 600000立方厘米＝0.6立方米 按照赵阿姨的要求，储物柜最长是120厘米，最宽是50厘米，最高是100厘米，体积最大是0.6立方米。 （2）如果赵阿姨从四个储物柜中选择一个购买，建议她买D，因为D的长、宽、高长度均在赵阿姨的要求内且储物空间最大。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $