2026年中考数学一轮复习分层训练-分式方程

**基本信息** 分式方程专项训练以“概念理解-解法掌握-综合应用”为逻辑主线，融合运算能力与模型意识，系统覆盖中考高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础题|9题|定义运算转化、去分母验根、实际问题建模|从分式方程概念到基本解法，强化增根与非负数解易错点| |能力题|10题|参数取值范围分析、不等式组与分式方程综合|结合函数思想，提升运算推理与问题解决能力| |拓展题|2题|倒数法、参数法、行程问题多情境应用|通过跨学科情境，发展数学抽象与模型观念|

分式方程 一、基础题 1． 对于实数 定义运算 “※” 如下： ，如 . 若 ※ ，则 的值为 (　　) A．-4 B．-11 C．11 D．无法确定 2． 某社区组织居民种树共 60 棵，由于大家积极参加，实际参加植树活动的人数是原计划的2倍，结果每人比原计划少种了3棵树，设原计划有x人参加这次植树活动，则根据题意可列出方程（　　） A． B． C． D． 3．已知关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 4．如果关于的方程有增根，则的值为（　　） A．-10 B．-8 C．-6 D．-4 5．分式方程的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝2025 D．x＝﹣2025 6．若关于x的方程无实数解，则m的值为　 　. 7． （1）计算：； （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第 ▲ 步开始错误； ②错误的原因是 ▲ ． 8．解下列方程（组）： （1）； （2）. 9．王老师准备购买 A、B 两种型号的圆珠笔. 已知 A 型圆珠笔单价是 B 型圆珠笔单价的 1.5 倍. 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支. （1） 求 A、B 两种型号的圆珠笔单价各是多少； （2） 王老师想购买 A、B 两种型号的圆珠笔共计 15 支，要求 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元. 求 A 型圆珠笔最多可购买多少支？ 二、能力题 10．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 11．若分式 有意义，则m的取值应满足(　　) A．m≠0 B． C． D．且m≠0 12．若关于的方程有增根，则　 　． 13．若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的整数的值为　 　． 14．若关于x的分式方程的根是正数，则m的取值范围是　 　． 15．若关于x的方程 =0有增根，则m的值是　 　． 16． 解方程： 17．解分式方程： （1）； （2）． 18． 某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 19．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？ 20．为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，祁东县某中学每年冬季都会举办全体师生冬季长跑活动．为激励学生积极参与，学校用元购买，两种体育器材共件作为奖品．已知一件种器材价格是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材的费用相同． （1）求购买一件 种器材和一件种器材各需多少元 （2）若学校还需购买， 两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，问至少要花多少元? 三、拓展题 21．导航显示从坪山文化聚落驾车到罗湖口岸，通常有如下两条路线： 信息一 路线 路线①：坪盐通道-惠深沿海高速 路线②：南坪快速-龙岗大道 信息一 距离 39千米 42千米 信息二 大巴车走路线①的平均速度总是路线②平均速度的倍，早、晚高峰 时段(7：30-9：30和18：00-20：00)，大巴车的平均速度将下降为原来的 80% 信息三 非高峰时段，导航显示走路线①比路线②快8分钟. ⑴任务一 求非高峰时段两个路线的平均速度分别是多少千米/时. ⑵任务二 某旅游公司要在早上7：55前将游客用大巴车从坪山文化聚落送到罗 湖口岸，但是路线①由于修路暂时封闭，只能选择路线②，那么大巴 车的出发时间不能晚于什么时间? 22．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：，即 ，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，， 根据材料回答问题： （1）已知，则______． （2）已知，求的值． （3）解关于，的方程组． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ※ ， ∴， 解得m=-11， 经检验知m=-11为方程的根. 故答案为：B. 【分析】根据新定义的运算规则得到，进而解分式方程即可求解。 2．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意原计划有x人参加活动，则实际参加活动的人数为2x人，计划每人种树为，实际每人种树为，由此得. 故答案为：A . 【分析】结合题意知实际参加活动人数为2x，分别表示每人种植的棵数，即可列出分式方程. 3．【答案】D 【解析】【解答】解： 去分母可得：a-x+2=0 整理得：x=a+2 ∵方程的解为非负数 ∴a+2≥0，且 解得：且 故答案为：D 【分析】去分母转换为整式方程，再解方程可得x=a+2，再根据方程的解为非负数，建立不等式，解不等式即可求出答案. 4．【答案】B 【解析】【解答】 解： 方程两边同乘(x−2)，得：4x − (x−2)= -k， 化简：4x-x+2=-k， 解得：x=， ∵方程有增根， ∴x=2， ∴=2， 解得：k=-8， 故答案为：B. 【分析】 增根的产生是由于分式方程化为整式方程后，解使得原分母为零 ；因此先去分母解分式方程得x=，再把增根x=-2代入即可求得k的值；解答即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：将分式方程＝0的两边都乘以x＋3， 得：x−2025＝0， 解得：x＝2025， 经检验，x＝2025是原方程的解， 故答案为：C． 【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可. 6．【答案】6 【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程无实数解 ， ∴即 将原方程变形得： ， 方程两边两边都乘以 得： 解得： ∴ ∴ 故答案为：6. 【分析】根据关于x的方程无实数解得，解方程得，最后得，解出便可. 7．【答案】（1）解：原式​​​​​​​ （2）①一；②方程右边的-2这一项漏乘了 【解析】【解答】（2） 解：第一步：去分母，方程两边都乘，得； 第二步：去括号，得； 第三步：移项，得； 第四步：合并同类项，得； 第五步：检验，将代入原分式方程，发现原方程的分母为0，因此x=3是原分式方程的增根。 因此，在上述解方程过程中，从第 一 步开始错误；错误的原因是 方程右边的-2这一项漏乘了． 故答案为：（2）①一；②方程右边的-2这一项漏乘了。 【分析】本题主要考查零次幂运算、绝对值的非负性、三角函数值以及解分式方程的步骤等知识。 （1）分别计算出零次幂、去掉绝对值和余弦值，然后进行计算即可； （2）解分式方程，要严格按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”进行解方程，求出的结果要进行检验，以免产生增根。 8．【答案】（1）解： ①-②，得7y=-21， 解得y=-3， 把y=-3代入②，得x=-， 所以方程组的解是. （2）解： 原方程去分母得：2x+4-4x=0， 解得：x=2， 经检验x=2是分式方程的增根，舍去， 故原分式方程无解. 【解析】【分析】 （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）将原方程去分母化为整式方程，解得x的值后进行检验即可. 9．【答案】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支 根据题意可得： 解得： 经检验：x=4是原方程的解. （2）解：设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支 根据题意可得： 解得： 答：A 型圆珠笔最多可购买10 支. 【解析】【分析】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支，根据 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支。可得出方程：，解方程，并进行检验，即可得出答案； （2）设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支，然后根据 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元 ，即可得出：，解不等式可得出：，取最大整数解即可得出答案。 10．【答案】C 【解析】【解答】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，由题意，得； 故选C． 【分析】设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，建立方程即可求出答案. 11．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ 分式 有意义， ∴3m+2≠0， ∴m≠ 故答案为：C . 【分析】根据分式有意义的条件可得出3m+2≠0，进而得出m≠。 12．【答案】-5 【解析】【解答】解：分式方程去分母得：x＝3x−15−m， 由分式方程有增根，得到x−5＝0，即x＝5， 把x＝5代入整式方程得：m＝−5， 故答案为：−5． 【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x−5＝0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值． 13．【答案】，0，2 【解析】【解答】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得： ∴不等式组的解集为； ∵不等式有且只有四个整数解， ∴，解得，； 解分式方程得：； ∵方程的解为非负数，且 ∴；即且； 综上可知，且， ∵a是整数， ∴． 故答案为：-1，0，2． 【分析】先将a作为参数解不等式组，用含a的式子表示出不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围；再将a作为参数解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解为非负数列出关于字母a的不等式组，求出a的取值范围，综上确定符合题意的整数a的值即可． 14．【答案】且 【解析】【解答】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， ∵分式方程的根是正数， ∴， 解得：， ，即， ∴， 解得：， ∴且． 故答案为：且． 【分析】去分母转换为整式方程，解方程可得，再根据分式方程的根是正数，建立不等式，解不等式，结合方式有意义的条件即可求出答案. 15．【答案】2 【解析】【解答】解：去分母得，m-1-x=0. ∵方程有增根， ∴x=1， ∴m-1-1=0， ∴m=2. 16．【答案】解：去分母得 x-2x+6=-3 -x=-3-6 -x=-9 x=9 经检验x=9为方程的解. 【解析】【分析】先去分母后转化为整式方程，求解整式方程再检验即可得结果. 17．【答案】（1）解：两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解． ​​​​ （2）解：两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解． ​​​​​ 【解析】【分析】（1）先去分母，再根据解分式方程的步骤解方程求解即可； （2）先去分母，再根据解分式方程的步骤解方程求解即可. （1）解：； 两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解． （2）解：． 两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解． 18．【答案】解：设模型A每小时处理x GB数据，则模型B每小时处理(x + 10) GB数据， 交叉相乘得： 300x = 200(x+ 10) 展开并整理： 300x = 200x + 2000 100x = 2000 解得：x=20 经检验：x=20是原方程的解， 答：模型A每小时能处理数据. 【解析】【分析】设模型A每小时处理x GB数据，则模型B每小时处理(x + 10) GB数据，根据题意：模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同，列式计算即可解答. 19．【答案】解：设特快列车的平均速度为，则动车的速度为， 由题意，得：， 解得：， 经检验得：是这个分式方程的解． ∴． 答：特快列车的平均速度为，动车的速度为． 【解析】【分析】根据时间=路程÷速度，列分式方程，解分式方程即可得x的值，根据分式有意义的条件，分母不为0进行验证可得x的值，进而可得动车的速度. 20．【答案】（1）解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元； （2）解：设学校还需购买件种器材，则还需购买件， 根据题意得：， 解得：． 设学校再次购买两种器材共花费元，则， 即， ， 随的增大而减小， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，最小值． 答：至少要花元钱． 【解析】【分析】（1）设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，利用数量总价单价，结合学校用元购买了、两种体育器材共件，可列出关于的分式方程，解方程即可求出答案. （2）设学校还需购买件种器材，则还需购买件，根据再次购买的种器材的数量不多于种器材数量的倍，可列出关于的一元一次不等式，解不等式可得出的取值范围，设学校再次购买两种器材共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案. （1）解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元； （2）设学校还需购买件种器材，则还需购买件， 根据题意得：， 解得：． 设学校再次购买两种器材共花费元，则， 即， ， 随的增大而减小， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，最小值． 答：至少要花元钱． 21．【答案】解：（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时 由题意可得：，解得：v=45 ∴=48.75 ∴ 非高峰时段路线②的平均速度为45千米/时，则路线①的平均速度为48.75千米/时 （2）晚高峰时段路线②的平均速度为45×80%=36千米/时 路线②的行驶时间为(小时)=70分钟 ∴出发时间需满足7：55-70分钟，即为6：45 ∴大巴车的出发时间不能晚于6：45 【解析】 【分析】（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （2）求出晚高峰时段路线②的平均速度，再求出所需要的时间，即可求出答案. 22．【答案】（1）6 （2）解：设知， 则，，， ； （3）解：， 由可得：， 整理得：， 由可得：， 整理得：， 可得：， 得：， ， 把代入得：， 解得：， ， 方程组的解为． 【解析】【解答】（1）解：， ， ， 移项得：， 故答案为：； 【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题． 参考材料一中的思路，取得倒数，可得：，所以有，计算得出； 参考材料二，引入参数k，设，将a，b，c用k表达：，，，代入代数式，原式； 分别取方程组中的两个方程的倒数，可得：，解方程组分别求出和，所以 方程组的解为 ． （1）解：， ， ， 移项得：， 故答案为：； （2）解：设知， 则，，， ； （3）解：， 由可得：， 整理得：， 由可得：， 整理得：， 可得：， 得：， ， 把代入得：， 解得：， ， 方程组的解为． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $