第1-4单元应用题（专项训练）-2025-2026学年数学六年级下册北师大版

**基本信息** 聚焦圆柱圆锥、比例应用及图形变换，以问题解决为载体，系统整合公式推导、等积变形与比例建模，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆柱圆锥应用|14题（如第4、7、13题）|侧面积/体积公式应用、等积变形、浸没体积计算|从圆柱侧面积到圆锥体积，通过“实际物体—图形抽象—公式应用”构建空间关系| |比例与比例尺|8题（如第16、18、21题）|正反比例判定、比例尺换算、比例方程求解|以“比例意义—性质应用—实际问题建模”串联数量关系，培养模型意识| |图形变换|2题（第20题）|旋转方向/角度判断、平移格数确定|结合操作体验，理解图形运动的几何要素，发展空间观念|

第1-4单元应用专练-2025-2026学年数学六年级下册北师大版 1．学校门口有4根直立圆柱，每根圆柱的底面半径是0.3米，高4米。现要给这些柱子侧面贴上墙砖，如果每平方米墙砖45元，共需多少钱？ 2．某路口的交警指挥台共有2层，每层的高度是20厘米，直径分别是120厘米，100厘米。请算一算：这个交警指挥台露在外面的表面积是多少平方米？ 3．花花想用硬纸板自制一个底面直径是8厘米，高是12厘米的圆柱形的笔筒，自制这个笔筒至少需要多少平方厘米的硬纸板？（接缝处忽略不计） 4．一个装有水的圆柱形玻璃容器，从里面量底面直径是10厘米，水深8厘米，这个圆柱形玻璃容器中完全浸没着一个底面半径是4厘米的实心圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了16%，这个圆锥形铅锤的高是多少厘米？ 5．我国在新型材料研发领域取得进展，制造出一种特殊合金材料。工程师将这种合金材料先加工成一个底面半径是2分米，高是0.6分米的实心圆柱体。在后续工艺处理时，圆柱体合金被重新铸造成一个高为0.8分米的实心圆锥体，这个圆锥体的底面积是多少平方分米？ 6．《西游记》中的孙悟空有一件神奇的兵器叫如意金箍棒，可以任意缩小或放大。如果孙悟空把如意金箍棒变化成底面周长是6.28分米、长是100分米的圆柱形铁棒，那么此时它的表面积是多少平方分米？ 7．甲、乙两个圆柱形容器的底面积之比是5∶3，甲容器中水深20厘米，乙容器中水深10厘米。再往两个容器中注入同样多的水，使得两个容器内的水深相等，这时容器中的水深是多少厘米？ 8．某小学校门口安装了全自动不锈钢防撞升降柱，它的地面以上部分的形状和大小如下图所示（单位：厘米）。为了保障夜间行车安全，升降柱上面装有两道反光条，每道反光条的宽度是8厘米。一个升降柱上的反光条的面积是多少平方厘米？ 9．一个正方体容器，从里面量棱长10厘米，里面装的水深5.5厘米，如果把一个底面半径为2厘米，高为4.5厘米的圆锥形铁件浸没水中，水面将上升多少厘米？ 10．一个用竹子和塑料薄膜搭建的蔬菜大棚（如图），长20米，横截面是一个直径是4米的半圆形。 (1)这个大棚的占地面积大约是多少平方米？ (2)搭建这个大棚至少用塑料薄膜多少平方米？ 11．如下图是一个直角三角形，两条直角边的长分别是10厘米和6厘米，请回答下列问题。 (1)绕10厘米长的直角边旋转一周，得到的立体图形是( )体，10厘米是立体图形的( )，6厘米是立体图形的( )。 (2)计算旋转后得到的这个立体图形的体积。 12．把一个长、宽、高的比是的长方体削成一个体积最大的圆柱体，削去的体积是243立方分米，削成的圆柱的体积是多少立方分米？（π取3） 13．如图，一个水瓶高30厘米，底面直径为10厘米，瓶里水的高度是15厘米，把瓶口塞紧后，使其瓶口向下倒立（水没有洒出），这时水的高度是20厘米。这个水瓶的容积是多少毫升？（提示：瓶内水的体积没有变） 14．如图，有一个容器，下面是圆柱，上面是圆锥，里面盛有一些水，将这个容器倒过来，水平放置后，水面如图所示，（单位：厘米，容器壁厚度忽略不计） (1)高为6厘米的圆锥的容积等于高为( )厘米的等底圆柱的容积。将这个容器倒过来，水平放置后，水面会( )（填“上升”或“下降”）。 (2)将这个容器倒过来，水平放置后，从圆锥的顶点到水面的距离是多少厘米？ 15．人体上半身和下半身的黄金比约为0.618∶1，妈妈的身长情况如图所示。她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是购买了一双5cm的高跟鞋。依据黄金比，请你判断这双高跟鞋的高度是否合适。 16．小雁塔又称为“荐福寺塔”，塔高43.4米，如果按1∶70的比例生产一批小雁塔的纪念模型，那么模型中小雁塔的高度应是多少米？（用比例解答） 17．下图是两个相互咬合的齿轮，已知大齿轮半径∶小齿轮半径＝小齿轮转动周数∶大齿轮转动周数。大齿轮的半径是3分米，小齿轮的半径是1分米，如果大齿轮转动10周，小齿轮要转动多少周？（列比例方程解答） 18．在一幅比例尺是的地图上，量得某条公路的图上距离是4.8厘米。甲、乙两辆车分别从这条公路两端同时出发相对开出，经过1.5小时相遇，已知甲车和乙车的速度比是，乙车的行驶速度是多少千米/时？ 19．在比例尺是1∶60000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是2.5厘米。有一架飞机用时1.5小时从甲地飞往乙地。这架飞机平均每小时飞行多少千米？ 20．按要求填一填，画一画。 （1）图①绕点O按（    ）时针方向旋转90°，再向右平移（    ）格得到图②。 （2）画出图③绕点M按顺时针方向旋转90°后的图形。 21．李叔叔从甲地到乙地送货，去时每小时行驶45千米，用了180分，回来时比去时每小时多走15千米。回来时用了多长时间？（用比例解） 22．素素在家做油水分离实验，她在装有一些水的圆柱形玻璃容器内缓慢倒入一些食用油，充分搅拌后静置一段时间，油和水分层。已知水的体积是240立方厘米，你能计算出油的体积吗？（用比例解答） 23．某工程队铺设一条煤气管道。计划每天铺设120米，用12天完成任务。由于居民着急使用，上级要求每天铺144米，这样多少天可以完成铺设任务？（用比例解） 24．趵突泉被誉为“天下第一泉”，是泉城济南的象征与标志，每天吸引着许多游客。下面是趵突泉某段时间内的喷涌天数和喷水量的统计表。 喷涌天数/天 0 1 2 3 4 5 6 … 喷水量/万立方米 0 15 30 45 60 75 90 … （1）趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中趵突泉的喷水量与喷涌天数所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）趵突泉15天的喷水量是（    ）万立方米，192万立方米的水够趵突泉喷涌（    ）天。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1-4单元应用专练-2025-2026学年数学六年级下册北师大版》参考答案 1．1356.48元 【分析】给柱子侧面贴墙砖，只需计算圆柱的侧面积，根据圆柱侧面积公式“底面周长×高”，先求出一根柱子的侧面积，再乘柱子的根数得到贴砖总面积，最后用总面积乘每平方米墙砖的单价即可求出总费用。 【详解】一根立柱侧面积： 2×3.14×0.3×4 ＝6.28×0.3×4 ＝1.884×4 ＝7.536（平方米） 总价： 7.536×4×45 ＝30.144×45 ＝1356.48（元） 答：共需1356.48元。 2．2.512平方米 【分析】观察可知，露在外面的表面积＝两层圆柱的侧面积之和＋最底层圆柱的底面积（虽然有两层，但上层顶面加上下层露出的环形部分，拼起来正好等于最底层的底面积）。侧面积＝底面周长×高，即S＝πdh，底面积S＝πr2。据此代入计算并求和，注意单位的统一，1米＝100厘米。 【详解】120厘米＝1.2米 100厘米＝1米 20厘米＝0.2米 3.14×1.2×0.2＋3.14×1×0.2＋3.14×（1.2÷2）2 ＝3.14×1.2×0.2＋3.14×1×0.2＋3.14×0.62 ＝3.14×1.2×0.2＋3.14×1×0.2＋3.14×0.36 ＝3.14×（1.2×0.2＋1×0.2＋0.36） ＝3.14×（0.24＋0.2＋0.36） ＝3.14×0.8 ＝2.512（平方米） 答：这个交警指挥台露在外面的表面积是2.512平方米。 3．351.68平方厘米 【分析】笔筒是无盖的圆柱形容器，先用直径除以2求出底面半径，再根据无盖圆柱表面积公式：表面积＝πr2＋πdh（π取3.14），代入数值即可解答。 【详解】3.14×（8÷2） 2＋3.14×8×12 ＝3.14×42＋3.14×8×12 ＝3.14×16＋301.44 ＝50.24＋301.44 ＝351.68（平方厘米） 答：自制这个笔筒至少需要351.68平方厘米的硬纸板。 4． 6厘米 【分析】根据水深和下降的百分比求出水面下降的高度；然后利用圆柱的体积公式求出水面下降部分的体积，即圆锥的体积；最后根据圆锥的体积公式逆推求出圆锥的高。 【详解】圆柱形玻璃容器的底面半径： 10÷2＝5（厘米） 水面下降的高度： 8×16%＝1.28（厘米） 圆锥形铅锤的体积： 3.14×5²×1.28 ＝3.14×25×1.28 ＝78.5×1.28 ＝100.48（立方厘米） 圆锥形铅锤的底面积： 3.14×4² ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 圆锥形铅锤的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（厘米） 答：这个圆锥形铅锤的高是6厘米。 5．28.26平方分米 【分析】合金材料重新铸造，形状改变但体积不变，即圆柱的体积等于圆锥的体积。首先根据圆柱体积公式计算出圆柱的体积，然后根据圆锥体积公式的逆运算，利用体积和高求出圆锥的底面积。 【详解】3.14×22×0.6 ＝3.14×4×0.6 ＝12.56×0.6 ＝7.536（立方分米） 7.536×3÷0.8 ＝22.608÷0.8 ＝28.26（平方分米） 答：圆锥体的底面积是28.26平方分米。 6．634.28平方分米 【分析】根据圆的周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，据此求出圆柱形铁棒的底面半径；再根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，据此解答。 【详解】6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 3.14×12×2＋3.14×1×2×100 ＝3.14×1×2＋3.14×2×100 ＝6.28＋628 ＝634.28（平方分米） 答：此时它的表面积是634.28平方分米。 7． 35厘米 【分析】抓住“注入同样多的水”这一不变量，根据圆柱体积公式（体积＝底面积×高），当注入水的体积相等时，水面上升的高度与底面积成反比。已知甲、乙容器的底面积之比，可设最终水深为未知数，分别表示出甲、乙容器水面上升的高度，利用注入水的体积相等建立等量关系列方程求解。 【详解】解：设这时容器中的水深是厘米。 甲容器水面上升的高度为厘米。 乙容器水面上升的高度为厘米。 因为甲、乙两个圆柱形容器的底面积之比是，在计算体积关系时，可将甲容器底面积看作5份，乙容器底面积看作3份。 根据注入水的体积相等，列方程得： （厘米） 答：这时容器中的水深是35厘米。 8． 904.32平方厘米 【分析】升降柱是圆柱体，反光条贴在圆柱侧面，反光条的面积就是圆柱侧面积的对应部分，根据圆柱的侧面积＝圆柱的底面周长×高就可求出反光条的面积。 【详解】3.14×18×（8×2） ＝3.14×18×16 ＝56.52×16 ＝904.32（平方厘米） 答：一个升降柱上的反光条的面积是904.32平方厘米。 9．0.1884厘米 【分析】根据题意，圆锥形铁件浸没在水中，水面上升部分的体积等于圆锥形铁件的体积。根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥形铁件的体积，也是水面上升部分的体积； 根据h＝V÷S，用水面上升部分的体积除以容器的底面积，求出水面上升的高度。 【详解】圆锥形铁件的体积： ×3.14×22×4.5 ＝×3.14×4×4.5 ＝18.84（立方厘米） 水面上升的高度： 18.84÷（10×10） ＝18.84÷100 ＝0.1884（厘米） 答：水面将上升0.1884厘米。 10．(1)80平方米 (2)138.16平方米 【分析】（1）占地面积是大棚底面的长方形面积，长为20米，宽为横截面的直径4米，用长方形面积公式计算即可； （2）塑料薄膜的面积包括两部分：大棚两端的半圆面积，合起来是一个完整圆的面积；大棚曲面的面积，即圆柱侧面积的一半。将两部分面积相加即可。 【详解】（1）大棚占地面积：20×4＝80（平方米） （2）大棚两端的半圆半径为2米，总面积（合为一个完整圆）： ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 大棚曲面的面积： ＝ ＝ ＝125.6（平方米） 总面积：12.56＋125.6＝138.16（平方米） 答：搭建这个大棚至少用塑料薄膜138.16平方米 11．(1) 圆锥 高 底面半径 (2)376.8立方厘米 【分析】直角三角形绕一条直角边旋转一周，会形成一个圆锥，作为旋转轴的直角边，就是圆锥的高； 另一条直角边，就是圆锥的底面半径；圆锥体积公式为。 【详解】（1）当直角三角形绕10厘米的直角边旋转时，旋转一周，得到的立体图形是圆锥体，10厘米是圆锥的高，6厘米是圆锥的底面半径。 （2）圆锥底面半径是6厘米，高是10厘米，圆锥体积： ＝ ＝ ＝ ＝376.8（立方厘米） 12．729立方分米 【分析】根据长、宽、高的比，可以将长、宽、高分别看作4份、3份、3份。要削成一个体积最大的圆柱体，需比较不同放置方式下的圆柱体积。当圆柱的底面直径等于长方体的宽（3份），高等于长方体的长（4份）时，体积最大，长方体的体积＝长×宽×高。分别计算出长方体和圆柱体体积所占的份数，求出削去部分体积对应的份数。已知削去的体积是243立方分米，可求出每一份代表的体积，进而求出圆柱的体积。 【详解】长方体的长、宽、高分别为4份、3份、3份。 长方体的体积份数：4×3×3 ＝12×3 ＝36 圆柱的底面半径份数： 3÷2＝1.5 圆柱的体积份数：3×1.52×4 ＝3×2.25×4 ＝6.75×4 ＝27 削去的体积份数：36－27＝9 削成的圆柱的体积：243÷9×27 ＝27×27 ＝729（立方分米 ） 答：削成的圆柱的体积是 729 立方分米。 13．1962.5毫升 【分析】由图形可知“水瓶的容积＝水的体积＋空白部分的体积”，根据圆柱的体积公式分别从正放时求出水的体积，从倒放时求出空白部分的体积，再把两部分体积相加，最后再将体积单位换算成容积单位即可。 【详解】10÷2＝5（厘米） 水的体积（正放时）： （立方厘米） 空白部分的体积（倒放时）： （立方厘米） 1177.5＋785＝1962.5（立方厘米） 1962.5立方厘米＝1962.5毫升 答：这个水瓶的容积是1962.5毫升。 14．(1) 2 上升 (2) 11厘米 【分析】（1）如图所示，容器中圆柱和圆锥的底面积相等，根据圆锥体积和圆柱体积可知圆锥的体积等于跟它等底等高的圆柱体积的，如果圆柱和圆锥的底面积相等，体积相等，则圆锥的高度是圆柱高度的3倍，把容器倒过来水平放置后，水面会上升； （2）原来容器中的水是高度为7厘米的圆柱体，把容器倒过来后，有一部分水变为圆锥形，这部分水在圆锥中的高度为6厘米，对应的是圆柱中的高度为6÷3＝2（厘米）的水的体积，上面在圆柱中水的高度和倒置之前是相同的，为7－2＝5（厘米），则现在水的高度为圆锥高度加上有水的圆柱高度，为6＋5＝11（厘米） 【详解】（1）6÷3＝2（厘米）；6＞2，容器倒置时水面上升 （2）6÷3＝2（厘米），7－2＝5（厘米），6＋5＝11（厘米） 答：将这个容器倒过来，水平放置后，从圆锥的顶点到水面的距离是11厘米。 15．合适 【分析】计算穿上5厘米高跟鞋后，新的上半身与下半身的比值，是否接近黄金比0.618∶1，判断高跟鞋高度是否合适。 【详解】穿高跟鞋后的下半身长度：102＋5＝107（厘米）； 新比值：≈0.598； 与黄金比差值：0.618－0.598＝0.02 答：这个比值已经非常接近黄金比，这双5厘米的高跟鞋高度是合适的。 16．0.62米 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，在本题中模型高度相当于图上距离，实际高度相当于实际距离。设模型高度为x米，根据模型中小雁塔的高度∶塔高＝1∶70，列出比例为x∶43.4＝1∶70。再利用比例的基本性质，解比例求出x的值。 【详解】解：设模型中小雁塔的高度应是x米。 x∶43.4＝1∶70 70x＝43.4×1 70x÷70＝43.4÷70 x＝0.62 答：模型中小雁塔的高度应是0.62米。 17．30周 【分析】根据题目给出的比例关系式：大齿轮半径∶小齿轮半径＝小齿轮转动周数∶大齿轮转动周数，设小齿轮转动了x周，利用比例的基本性质（内项之积等于外项之积）求解。 【详解】解：设小齿轮转动了x周。 3∶1＝x∶10 1×x＝3×10 x＝30 答：小齿轮要转动30周。 18．96千米/小时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离，注意换算成千米为单位。因为甲车和乙车的速度比是2∶3，可以设甲车的速度为2x，乙车的速度为3x，根据两车速度和×时间＝路程列方程计算。 【详解】1∶5000000＝ 4.8÷ ＝4.8×5000000 ＝24000000（厘米） 24000000厘米＝240千米 解：设甲车的速度为2x千米/小时，乙车的速度为3x千米/小时。 （3x＋2x）×1.5＝240 5x×1.5＝240 7.5x＝240 x＝240÷7.5 x＝32 乙车速度：32×3＝96（千米/小时） 答：乙车速度为96千米/小时。 19．1000千米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出甲、乙两地的实际距离，再根据速度＝路程÷时间，据此解答，注意单位换算。 【详解】2.5÷ ＝2.5×60000000 ＝150000000（厘米） 150000000厘米＝1500千米 1500÷1.5＝1000（千米） 答：这架飞机平均每小时飞行1000千米。 20．（1）逆；3 （2）见详解 【分析】（1）钟面指针转动的方向是顺时针方向，反之是逆时针方向，决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。 （2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 【详解】（1）图①绕点O按逆时针方向旋转90°，再向右平移3格得到图②。 （2） 21．2.25小时 【分析】李叔叔从甲地到乙地再返回，路程是不变的。根据“路程＝速度×时间”，当路程一定时，速度和时间成反比例关系。先根据“去时的速度＋返回比去时多的速度＝返回时的速度”求出返回时的速度，去时的速度乘去时的时间等于回来时的速度乘回来的时间，据此列出方程求解，题中时间单位不统一，先将180分除以进率60转化为小时再进行解答。 【详解】180分＝180÷60＝3小时 解：设回来时用了小时。 45×3＝（45＋15）× 135＝ ＝135÷60 ＝2.25 答：回来时用了2.25小时。 22．144立方厘米 【分析】圆柱体积公式为（S为底面积，h为高），容器是同一个圆柱，底面积S固定不变，因此体积与高成正比例关系，设油体积为x，根据图片信息列比例式求解。 【详解】解：设油体积为x立方厘米 （立方厘米） 答：油的体积为144立方厘米。 23．10天 【分析】工作总量＝工作效率×工作时间，当工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例关系。在这道题中，煤气管道的总长度是固定不变的，也就是工作总量一定，所以计划的工作效率与计划工作时间的乘积和实际工作效率与实际工作时间的乘积相等，据此列比例式求解。 【详解】解：设天完成铺设任务。 答：这样10天可以完成铺设任务。 24．（1）成正比例关系；理由见详解 （2）见详解 （3）225；12.8 【分析】（1）正比例关系的定义：两种相关联的量，若相对应的比值（商）一定，则成正比例关系。 计算喷水量与喷涌天数的比值：15÷1＝15万立方米/天，30÷2＝15万立方米/天，45÷3＝15万立方米/天，60÷4＝15万立方米/天，75÷5＝15万立方米/天，90÷6＝15万立方米/天。由此可知，喷水量÷喷涌天数＝15（定值），满足正比例关系的条件。因此，趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系，因为二者比值一定。 （2）根据表格数据，对应坐标点为：（0，0）、（1，15）、（2，30）、（3，45）、（4，60）、（5，75）、（6，90）。在方格纸上，找到对应的位置描点，再用直尺顺次连接这些点，会得到一条从原点出发的直线（因成正比例关系，图像是过原点的直线）。 （3）已知喷水量与喷涌天数成正比例，关系为：喷水量＝15×喷涌天数。计算15天的喷水量，用15乘15即可。计算192万立方米水可喷涌的天数，用192除以15即可。 【详解】（1）15÷1＝15（万立方米/天） 30÷2＝15（万立方米/天） 45÷3＝15（万立方米/天） 60÷4＝15（万立方米/天） 75÷5＝15（万立方米/天） 90÷6＝15（万立方米/天） 喷水量÷喷涌天数＝15（定值），满足正比例关系的条件。 答：趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系，因为喷水量与喷涌天数比值一定。 （2）如图： （3）15×15＝225（万立方米） 192÷15＝12.8（天） 趵突泉15天的喷水量是225万立方米，192万立方米的水够趵突泉喷涌12.8天。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $