精品解析：新疆乌鲁木齐经开区2025-2026学年第二学期九年级适应性测试数学（问卷）

2025-2026学年第二学期九年级适应性测试 数学（问卷） 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）每题选项中只有一项符合题目要求． 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的定义， 根据“从左面看几何体，所看到的视图是左视图”即可求解．画轮廓线时，看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键． 【详解】解：由题意得，此领奖台的左视图是： 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方、完全平方公式逐一判断选项. 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并， ∴A错误； ∵根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，得， ∴B错误； ∵根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，得，等式成立， ∴C正确； ∵根据完全平方公式，得， ∴D错误. 4. 一组数据：3，5，，7，9的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平均数的计算公式求出的值，再将数据从小到大排序，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据，，，，的平均数是，则，解得， 将这组数据从小到大排序为，，，，， 数据个数为奇数，中位数是排序后最中间的数，即第个数， 中位数为． 5. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2）， 可得方程180°（n﹣2）=1080°， 解得：n=8． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据题意列出一元一次方程． 6. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 7. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设客人为人，银两为两，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设客人为人，银两为两， 根据题意得， 故选：． 8. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 9. 如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉函数的图像和性质是解题关键． 利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①；令即可判断②；利用时函数值最大，即可判断③；令即可判断④． 【详解】①由图象可知：， ，故①正确； ②当时，，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故②正确； ③当时，y的值最大，此时，， 而当时，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④当时，，对称轴为直线 ∴当时，， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：  ． 11. 在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率是0.4，据此求出黄球的数量，进而求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4， ∴摸到黄球的概率是0.4， ∴黄球的个数为（个）， ∴口袋中大约有红球（个）， 故答案为：12． 12. “主频”是指CPU的时钟频率，它的高低在很大程度上反映了CPU速度的快慢．某款CPU的主频是GHz，意味着它执行一个基本操作的时间大约是秒．将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：将用科学记数法表示为． 13. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积等于扇形的面积计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴圆锥的侧面积等于扇形的面积． 故答案为：． 14. 如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点坐标为，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，由等腰三角形的性质得，由直角三角形的性质得，由勾股定理得，即得，再代入双曲线解析式解答即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴． 15. 如图，是等边的高，，E，F分别是线段上动点，且，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作，且，并在的同侧，连接，交于点G，当F与点G重合时，取得最小值，勾股定理计算． 【详解】解：如图，过点C作，且，并在的同侧，连接，交于点G，连接， ∵为等边的高， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当点三点共线，即F与点G重合时，取得最小值， ， 的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算及化简： （1）； （2）化简：． 【答案】（1）2 （2）2 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解答题． （1）不等式组的解集； （2）某文创店推出A，B两款主题纪念钥匙扣．已知A款钥匙扣的单价是B款钥匙扣单价的倍，且用105元购买A款钥匙扣的数量，比用120元购买B款钥匙扣的数量少3个．求这两款钥匙扣的单价． 【答案】（1） （2）A款钥匙扣的单价为15元，B款钥匙扣的单价为12元 【解析】 【分析】（1）分别求出不等式组两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可； （2）设B款钥匙扣的单价为x元，则A款钥匙扣的单价为元，根据用105元购买A款钥匙扣的数量，比用120元购买B款钥匙扣的数量少3个建立方程求解即可． 【小问1详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：设B款钥匙扣的单价为x元，则A款钥匙扣的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A款钥匙扣的单价为15元，B款钥匙扣的单价为12元． 18. 如图，在中，平分，交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）四边形是菱形， 理由如下： 平分， ， 的垂直平分线是， ，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图： （1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图； （2）先由角平分线的定义得到，再由线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对角推出，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 我县某中学举行“宪法学习”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）参加竞赛的学生人数有______； （2）在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角度数为__________，图中的值为__________； （3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中间选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出刚好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20 （2），40 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用以及概率的计算，解题的关键是通过两种统计图获取相关数据并进行分析计算． （1）根据条形统计图中等级人数及扇形统计图中等级所占比例可求出总人数； （2）先求出等级人数占总人数的比例，进而求出其扇形圆心角度数，再求出C等级人数占比得到m的值； （3）先确定A等级中男女生人数，然后通过列表或画树状图法求出概率． 【小问1详解】 解：由条形统计图知A等级有3人，由扇形统计图知A等级占，所以参加竞赛的学生人数为（人）； 故答案为：20； 【小问2详解】 解：由条形统计图知B等级有（人）， 则B等级人数占总人数的比例为， 所以B等级的扇形的圆心角度数为， C等级有8人，C等级人数占总人数的比例为， 所以， 故答案为：，40； 【小问3详解】 A等级有3人，其中1名女生，2名男生，设2名男生为男1，男2，女生为女．列表如下： 所有可能出现的结果如下表： 男1 男2 女 男1 （男1，男2） （男1，女） 男2 （男2，男1） （男2，女） 女 （女，男1） （女，男2） 共有6种可能出现的结果，其中刚好选中一名男生和一名女生的可能有4种， ∴． 20. 如图1是某门禁自动识别系统，主要由可旋转摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其示意图，已知摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与的连接杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．（参考数据：，，，结果精确到） （1）求的长； （2）求镜头到地面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）连接，过点作，交的延长线于点，根据已知可求出，从而可证四边形是矩形，进而可得，，然后求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： ，与水平地面所成的角的度数为， 显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为． 过点作交点所在铅垂线的垂线，垂足为，则． ， ， 【小问2详解】 解：如图，连接，作垂直反向延长线于点， ，为的中点， ． ，， ． ，， 四边形为矩形，． ， ． ． ， 镜头到地面的距离为． 21. 为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【答案】（1） （2）这根材料的长度够用 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意，可知：， ∴关于轴对称， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， 故这根材料的长度够用． 22. 如图，为直径，、为上不同于、的两点，，连接．过点作交延长线于点，分别延长与交于点． （1）求证：为的切线； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵为的半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出，由已知，得到，则，再由，得到，根据切线的判定即可证明为的切线； （2）连接， 而，，，可得，解得：，证明， ，而，， 可得， 从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接． 而，，， ∴， 解得：， ∵是直径， ∴， ，而， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的判定和性质，解直角三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 23. 【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究． 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”． （1）【初步探究】如图，在“璧合四边形”中，若，则________，的值为________． （2）【问题解决】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． （3）【拓展应用】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，作出图形并求线段的长． 【答案】（1），； （2） （3） 解：如图，过点作于点， 由（）知，， ， ， ∴， ∴， ， 同理（）可得，， ， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， 如图，连接，当点的对应点在的上方时，则，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴； 如图，当点的对应点在的下方时， 同理可得：，； 综上所述，的长为或． 【解析】 【分析】（）根据“璧合四边形”和正切的定义解答即可求解； （）证明，可得，进而即可求解； （）过点作于点，可得，四边形为正方形，再分点的对应点在的上方和下方两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵“璧合四边形”中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级适应性测试 数学（问卷） 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）每题选项中只有一项符合题目要求． 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据：3，5，，7，9的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 5. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（ ） A. B. C. D. 7. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 9. 如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 因式分解：______． 11. 在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个． 12. “主频”是指CPU的时钟频率，它的高低在很大程度上反映了CPU速度的快慢．某款CPU的主频是GHz，意味着它执行一个基本操作的时间大约是秒．将用科学记数法表示为______． 13. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是______． 14. 如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点坐标为，若，则的值为______． 15. 如图，是等边的高，，E，F分别是线段上动点，且，则的最小值为____． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算及化简： （1）； （2）化简：． 17. 解答题． （1）不等式组的解集； （2）某文创店推出A，B两款主题纪念钥匙扣．已知A款钥匙扣的单价是B款钥匙扣单价的倍，且用105元购买A款钥匙扣的数量，比用120元购买B款钥匙扣的数量少3个．求这两款钥匙扣的单价． 18. 如图，在中，平分，交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）判断四边形的形状，并说明理由． 19. 我县某中学举行“宪法学习”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）参加竞赛的学生人数有______； （2）在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角度数为__________，图中的值为__________； （3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中间选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出刚好选中一名男生和一名女生的概率． 20. 如图1是某门禁自动识别系统，主要由可旋转摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其示意图，已知摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与的连接杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．（参考数据：，，，结果精确到） （1）求的长； （2）求镜头到地面的距离． 21. 为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 22. 如图，为直径，、为上不同于、的两点，，连接．过点作交延长线于点，分别延长与交于点． （1）求证：为的切线； （2）当，时，求的长． 23. 【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究． 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”． （1）【初步探究】如图，在“璧合四边形”中，若，则________，的值为________． （2）【问题解决】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． （3）【拓展应用】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，作出图形并求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $