精品解析：2024年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区新疆生产建设兵团第一中学 九年级中考二模考试数学试卷

2024届新疆生产建设兵团第一中学第二次模拟考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 下图是一个三通水管，如图放置，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B. 天气预报“明天降水概率”，是指明天有一半的时间会下雨 C. 甲、乙两人在相同的条件下各跳远8次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定 D. 了解一批冰箱的使用寿命，采用普查的方式 5. 下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知中，，过点作一条直线，使其将分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 为保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图1所示的水压表和深度表．图2是深度表的工作原理简化电路图，其中的阻值会随下潜深度的变化而变化．其变化关系图象如图3所示．深度表由电压表改装．已知电压表示数与电阻的关系式是．则下列说法不正确的是（ ） A. 随着潜水深度的增大，的阻值不断减小 B. 随着潜水深度的增大，电压表数值不断减小 C. 当下潜的深度为时，的阻值为 D. 当下潜的深度为时，电压表的示数为 8. 如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，若，则（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请按答题卡中的要求作答） 10. 预计到2025年我国高铁运营里程将达到385000千米，将数据用科学记数法表示为_____________________． 11. 不透明的口袋中装有黄球和白球共20个，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中黄球大约有___________个． 12. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是___________． 13. 如图，在中，，，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为点，则的度数是_______． 14. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线是抛物线的顶点，则下列说法正确的是___________（填序号）． ①；②；③当时，随的增大而减小；④；⑤若，则． 15. 如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式组并写出它的整数解． 17. （1）先化简，再求值：，其中． （2）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问长比宽多多少步？ 18. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长度． 19. 每年的6月6日是全国爱眼日，科学防控近视，关注孩子用眼健康．某校在爱眼日这天，从全校学生中随机抽取50名学生进行视力检测，检测结果分成，，，，五组，整理数据信息如下：信息一：视力频数分布表： 组别 A B C D E 视力 频数（人数） 5 8 16 3 信息二：C组的数据分别为，，，，，，，，，，，，，，，． 信息三：视力情况频数分布直方图如图所示． 请根据图表信息回答下列问题： （1）在频数分布表中，___________，本次调查视力情况的中位数为___________； （2）请将视力情况频数分布直方图补充完整； （3）请估计该校1800名学生中视力正常（大于等于）的有多少人？ （4）请对该校学生的视力情况做出评价，并提出一条合理化建议． 20. 某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）． 21. 距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 22. 如图，为的直径，为上一点，连接，为延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，的面积为，为上一点，连接交线段于点，若，求的长． 23. 综合与实践 【提出问题】在一次数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，正方形中，点E是射线上的一个动点，过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：． 小明的证明思路如下： 如图，在上截取，连接． 则易得，，____________． ∴．∴． （1）补全小明的证明思路，横线处应填____________． 【深入探究】如图2，在上述题目的基础上，过点F作的平行线交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形． （2）求证：； （3）试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（4）已知，当长为2时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届新疆生产建设兵团第一中学第二次模拟考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 下图是一个三通水管，如图放置，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三视图的知识，熟练掌握简单组合图形的三视图的画法是解题的关键； 首先根据左视图是从左往右看得到的视图，三通从左往右看得到上面的圆柱看到的视图是一个矩形； 然后下半部分看到的则是一个圆，由此可得到它的左视图． 【详解】它的左视图是下面一个圆，上面一个不完整矩形， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式进行计算，作出判断即可． 【详解】解：A．，故选项正确，符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B. 天气预报“明天降水概率”，是指明天有一半的时间会下雨 C. 甲、乙两人在相同的条件下各跳远8次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定 D. 了解一批冰箱的使用寿命，采用普查的方式 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查必然事件与随机事件、方差、抽样调查与普查等知识，掌握相关知识是解题关键．根据必然事件的概念、可能性的意义、方差的定义、抽样调查与普查的意义逐一解答． 【详解】解：A中，“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故A错误，不符合题意； B中，天气预报“明天降水概率”，是指明天下雨的可能性是，故B错误，不符合题意； C中，甲、乙两人在相同条件下各跳远8次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定，故C正确，符合题意； D中，了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式，故D错误，不符合题意， 故选：C． 5. 下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了假命题的定义以及无理数的定义，错误的命题即为假命题，无限不循环小数即为无理数，再把每个选项的数值进行运算，即可作答． 【详解】解：A、，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； B、，说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是正确的； C、不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； D、不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； 故选：B 6. 已知中，，过点作一条直线，使其将分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法即可一一判断； 【详解】解：A、由作图可知：，可以推出，故与相似，故本选项不符合题意； B、由作图可知：，，，故，故本选项不符合题意； C、无法判断，故本选项符合题意； D、由作图可知：，，，故，故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 为保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图1所示的水压表和深度表．图2是深度表的工作原理简化电路图，其中的阻值会随下潜深度的变化而变化．其变化关系图象如图3所示．深度表由电压表改装．已知电压表示数与电阻的关系式是．则下列说法不正确的是（ ） A. 随着潜水深度的增大，的阻值不断减小 B. 随着潜水深度的增大，电压表数值不断减小 C. 当下潜的深度为时，的阻值为 D. 当下潜的深度为时，电压表的示数为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，解题关键是准确识别图象，正确进行计算．根据图象所给信息，逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，随着潜水深度的增大，的阻值不断减小，A正确，不符合题意； 由于随着潜水深度增大，的阻值不断减小，所以逐渐减小，不断增大，B不正确，符合题意； 由图象可知，当下潜的深度为时，的阻值为，C正确，不符合题意； 当下潜的深度为时，，，D 正确，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换、正方形的性质，解题的关键是掌握位似变换的性质． 根据相似比求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接，， ∵正方形∽正方形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴．   故选：D ． 9. 在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，若，则（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，完全平方公式，方程改写为，即，则可求得当方程为时，，，再利用即可求解． 【详解】解：∵关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为， 方程可以写成， 即：， ∵， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请按答题卡中的要求作答） 10. 预计到2025年我国高铁运营里程将达到385000千米，将数据用科学记数法表示为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 不透明的口袋中装有黄球和白球共20个，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中黄球大约有___________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．根据概率公式列出算式即可得出答案． 【详解】解：摸到黄球的频率稳定在附近， ∴摸到黄球的概率大约为， 口袋中黄球大约有（个）， 故答案为：12． 12. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是___________． 【答案】  【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出等量关系列出分式方程是解题的关键． 设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是，由题意列出分式方程． 【详解】解：设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是， 根据题意，得， ， 解得： ， 经检验： 是原方程的解且符合题意． 故答案为： ． 13. 如图，在中，，，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为点，则的度数是_______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质、折叠的性质，由平行四边形的性质得出，由等边对等角得出，由折叠的性质可得：，由三角形外角的定义与性质得出，即可得解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ，， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 故答案为：． 14. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线是抛物线的顶点，则下列说法正确的是___________（填序号）． ①；②；③当时，随的增大而减小；④；⑤若，则． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 依据题意，根据抛物线的位置判断即可判断①；利用对称轴公式可判断②；依据题意，可得当时，随的增大而减小，即可判断③；依据题意，图象与轴交于点，从而，即可判断④；依据题意，设抛物线的解析式为，过点作轴于点，对称轴交轴于点，利用相似三角形的性质，即可判断⑤． 【详解】解：由题意知：，， ∴， ∵抛物线交轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴，故②错误； ③观察图象可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，随增大而减小，故③正确； ④∵图象与轴交于点， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵图象与轴交于点， ∴另一个交点为， ∴可设抛物线的解析式为， ∴，， 过点作轴于点，对称轴交轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴； 综上，正确的选项有①③⑤． 故答案为：①③⑤ 15. 如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，得出是等边三角形，根据得出，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，∵为等边三角形， 将绕点顺时针旋转得到，则 ∴， ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∴， 过点作于点 ∵ ∴ ∵， ∴ 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式组并写出它的整数解． 【答案】（1）原式 （2）不等式组的解集为：，整数解为：，， 【解析】 【分析】本题考查了整数指数幂、特殊的三角函数值、二次根式的计算、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据一元一次不等式组的解法计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） 由①得：； 由②得：， ， ， ； ∴不等式组的解集为：， ∴它的整数解为：，，． 17. （1）先化简，再求值：，其中． （2）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问长比宽多多少步？ 【答案】（1）原式，当时，原式 （2）长比宽多12步 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及整式的混合运算—化简求值，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）先根据整式的运算公式和法则进行计算，再合并同类项，然后代入计算即可； （2）设长为步，则宽为步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值，即可解决问题． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2）设长为步，则宽为步， 依题意得：， 整理得：， ， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：长比宽多12步． 18. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， ， ∴， 在中，， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等；熟练掌握以上知识是解题的关键． 19. 每年的6月6日是全国爱眼日，科学防控近视，关注孩子用眼健康．某校在爱眼日这天，从全校学生中随机抽取50名学生进行视力检测，检测结果分成，，，，五组，整理数据信息如下：信息一：视力频数分布表： 组别 A B C D E 视力 频数（人数） 5 8 16 3 信息二：C组的数据分别为，，，，，，，，，，，，，，，． 信息三：视力情况频数分布直方图如图所示． 请根据图表信息回答下列问题： （1）在频数分布表中，___________，本次调查视力情况的中位数为___________； （2）请将视力情况频数分布直方图补充完整； （3）请估计该校1800名学生中视力正常（大于等于）的有多少人？ （4）请对该校学生的视力情况做出评价，并提出一条合理化建议． 【答案】（1）18； （2） 解：补全统计图如下： （3）人 （4）解：从统计图可知，该校学生视力正常的人数所占比例较低，所以该校要进一步采取措施科学防控近视，关注孩子用眼健康（不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图和频数分布表的知识，中位数，样本估计总体，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键． （1）根据样本容量是50求出a，根据中位数的定义求解即可； （2）根据所求a的值即可补全频数分布直方图； （3）总人数乘以样本中视力正常（大于等于）的人数即可解答； （4）根据视力正常（大于等于）的人数占被调查人数的百分比提出建议即可． 【小问1详解】 解：， 将C组数据重新排列为，，，，，，，，，，，，，，，， 中间的两个数据为，， 则这组数据的中位数为， 故答案为：18；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：估计该校1800名学生中视力正常（大于等于）的有（人）； 【小问4详解】 略 20. 某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点G，作于点F，解求，再由，求出，然后根据等腰求出，最后由计算即可． 【详解】解：过点A作于点G，作于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 答：阴影的长为． 21. 距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 【答案】（1） （2）当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为144万元 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与二次函数的综合应用，反比例函数与一次函数的综合应用，理解题意，运用分类思想以及数形结合思想确定出函数解析式是解题的关键． （1）依据待定系数法，分情况即可求出（万件）与（元件）之间的函数关系式； （2）分、两种情况，分别求出的最大值，进而求解． 【小问1详解】 解：当时，设， 将代入得， 与之间的函数关系式为； 当时，设， 将，代入得， 解得， 与之间的函数关系式为， 综上所述，； 【小问2详解】 解：当时， ， ， 随的增大而增大， 故当时，取得最大值为80； 当时， ， ，故函数有最大值， 当时，， ， 当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为114万元． 22. 如图，为的直径，为上一点，连接，为延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，的面积为，为上一点，连接交线段于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，可得，再根据等边对等角得，可知，进而得出答案； 对于（2），作、，连接，先根据的面积为，得，再说明，可得，然后设，则，再根据勾股定理，得，可根据，求出，进而求出，可得答案. 【小问1详解】 连接． ∵是的直径， ∴， ∴. ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 又为半径， ∴是切线； 【小问2详解】 分别过点作、，垂足分别为，连接． ∵的半径为， ∴． 又的面积为，故． 由题意，知，又， ∴． ∵， ∴，则．设，则． 根据勾股定理，得． 由， ∴， ∴， 即， 则， 解得（舍去）， ∴， 故， ∴． 故． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，正切的应用，勾股定理等，构造辅助线是解题的关键． 23. 综合与实践 【提出问题】在一次数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，正方形中，点E是射线上的一个动点，过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：． 小明的证明思路如下： 如图，在上截取，连接． 则易得，，____________． ∴．∴． （1）补全小明的证明思路，横线处应填____________． 【深入探究】如图2，在上述题目的基础上，过点F作的平行线交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形． （2）求证：； （3）试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（4）已知，当长为2时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）线段的长为3或7． 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等求得； （2）在上截取，连接，同理，即可求解； （3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质即可求解； （4）分当E在线段上和当E在延长线上时两种情况讨论，同上的方法即可求解． 【详解】解：（1）在上截取，连接． 则，，． ∴．∴． ∴横线处应填：； （2）在上截取，连接． 则， ∵是等腰直角三角形， ∴，则，，， ∴， ∴； （3）；理由如下， ∵，则是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）当E在线段上时， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当E在延长线上时，延长，使，连接， 则是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上，线段的长为3或7． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $