精品解析：重庆市第八中学校2026届高三考前适应检测数学试题

重庆八中高2026届5月适应性月考（七） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．试卷由"整理排版．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由不等式 ，得且，解得， 则，而， 所以． 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 故． 3. 已知且则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 又，得， 所以． 4. 小明在一张半径为5dm的圆形竹编中，剪出一个半径为5dm的扇形用以制作圆锥状灯罩，如图若灯罩的高（顶点到底面的距离）为3dm，则需要用到的材料面积至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】即求圆锥形灯罩的侧面积，该圆锥的高为，则底面半径为. 则侧面积为. 5. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（ ） A. 0.16 B. 0.36 C. 0.48 D. 0.52 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率求解. 【详解】只进行两局比赛结束的概率为， 则两人进行第三局比赛的概率为． 6. 已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相切性质可计算出圆的半径的最小值，则可求出点坐标，即可得其标准方程. 【详解】设圆C的半径为，则，即， 则当圆的半径最小时，， 如图1，圆心在过点且与直线垂直的线段上， 即在上，设， 则，解得， 则，又，故其标准方程为. 7. 已知函数若，且不是的极值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，由题意 且为导函数（二次函数）的唯一零点 所以，联立解得，则 . 8. 已知数列的前项和为，且，则对，（ ） A. B. C. 存在常数，使得 D. 存在常数，使得 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法得到，判断AB；根据与的关系得到， 进而得到，即可判断CD. 【详解】由题意，，当时，，则，由于与大小不确定，故AB错误. 由，得 ，即，也即， 则当时， ， 所以，无上限，故C错误. 当时，，故D正确． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则（ ） A. 当时， B. 存在，使 C. 当时， 在方向上的投影向量为 D. 当与的夹角为锐角时， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据投影向量的计算公式求解判断C，根据数量积的坐标运算判断D. 【详解】对A，，则，解得，A正确； 对B，，若，则， 即，故不存在，使，B错误； 对C，当时，，， 在方向上的投影向量为，C错误； 对D，当与夹角为锐角时，且不共线， 即且，解得，D正确． 10. 已知函数则（ ） A. ∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B. ∃a∈R，使得f（x）存在零点 C. ∀a∈R，f（x）为增函数 D. ∃a∈R，使得f（x）的最小值为0 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A，若为偶函数，则 ，即，则时，为偶函数，A正确； 对B，当时， ， 当时，单调递增， 单调递减，因此在上单调递增， 又 ，由零点存在定理，在时必然存在零点，B正确； 对C时，，故不是单调递增函数，C错误； 对D，设 ，则，在坐标系中作出和的图象，则的图象是向上和向右分别移动个单位形成． 如图2所示，当与的图象在第二象限相切时，的最小值为零．D正确. 11. 已知抛物线的焦点为F，直线l1交C于A，B两点，交y轴于点E，直线l2与C相切于点D，且l1∥l2，O为坐标原点，若A，F，D三点共线，则（ ） A. B. △AEF为等腰三角形 C. 与x轴垂直 D. △ABD面积的最小值为16 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算判断A；分别计算，即可判断B；计算，由横坐标为定值判断C；表示出三角形面积求最小值即可判断D. 【详解】对A，如图所示， ，设直线，， 联立直线与抛物线，得， 故， ， 因此 ，A错误； 对B，由于，所以直线的斜率为，则， 令，得，即，则， 由抛物线定义，，故，所以为等腰三角形，B正确； 对C，由上述假设，可知，与抛物线联立，可得：， 所以，，因此， 即 ，所以与轴垂直，C正确； 对D，，由，可求得中点， 所以 ，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：,这组数据的第30百分位数为___________． 【答案】 【解析】 【详解】,将数据从小到大排列后,这组数据的第30百分位数为第3个与第4个数的平均数：． 13. 函数 的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式及基本不等式求解. 【详解】 ， 当且仅当，即时取等号． 14. 在空间直角坐标系中，正四面体的顶点分别在轴和轴上滑动，若的最大值为，则该四面体的棱长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】把正四面体补成棱长为的正方体，由、分别在、轴滑动，知原点在以为直径的球面上，最大值为球心到的距离加半径，得到，解出后再由正四面体棱长为，化简求得棱长为. 【详解】如图将正四面体补齐为正方体，设正方体的边长为. 则原点即在以为大圆直径的球上． 如图所示，当为射线与球的外侧交点时，取得最大值1，此时. 正四面体的边长为 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中， （1）求边的长； （2）若，于点D，的中点为E，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合同角三角函数关系，利用正弦定理求解即可； （2）利用余弦定理及面积公式求解. 【小问1详解】 因为，所以． 由正弦定理：， 所以． 【小问2详解】 由余弦定理：， 所以． 因为的面积为， 所以． 由勾股定理：， 所以． 16. 如图，在多面体中，，且平面，平面平面． （1）求点D到平面的距离； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）2 （2）． 【解析】 【分析】（1）证明平面，点D到平面的距离转化为点B到平面的距离即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 由，所以， 因为平面平面，是交线，平面， 所以平面．又平面， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 则点D到平面的距离等于点B到平面的距离，即的长， 故点D到平面的距离为2． 【小问2详解】 取的中点，连接， 又，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 取平面的法向量． 设平面的法向量， 由，得，令，则， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值． 17. 某工厂生产一种零件，其标准尺寸参数，计划生产每种尺寸零件的概率相等，实际生产过程中有10%的概率发生工艺缺陷，无缺陷时，生产出来的零件为标准尺寸，若发生工艺缺陷，则生产出来的零件尺寸会缩减为标准尺寸的一半，且每次生产过程独立进行． （1）连续生产10个该种零件，记有X个零件有工艺缺陷，求X最有可能的取值； （2）求实际生产一个零件的尺寸的分布列和期望． 【答案】（1）最有可能为1． （2） Y 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 P ． 【解析】 【分析】（1）根据题意随机变量服从二项分布，据此计算得解； （2）求出随机变量的可能取值，计算对应的概率，列出分布列，求期望即可. 【小问1详解】 由题意，， 故， 令其大于1，得，解得， 所以最有可能为1． 【小问2详解】 设生产一个零件的尺寸为，则的可能取值有 其分布列为： Y 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 P 所以期望． 18. 已知椭圆的离心率为，焦距为4． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在上且位于x轴上方．射线AP，BP分别交于点R，S，直线PF交于另一点Q． （i）求直线AR与BQ的斜率之比 （ii）若△PAB与△PRS的面积相等，求直线AS的斜率． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据离心率及焦距求解即可； （2）（i）设直线的方程为，联立椭圆方程，根据韦达定理及斜率公式化简即可得解；（ii）由三角形面积相等可得，设直线方程为 ，与椭圆方程联立，根据韦达定理求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 （i），设直线的方程为， 与联立得：． 设，则， 于是 又，故． （ii）由与的面积相等，得与的面积相等， 故有． 延长交于点，因为， 由椭圆的对称性知，四边形ATBR为平行四边形，故． 设直线方程为 ， 与椭圆方程联立得： ， 设， 则， 故， 得 ， 得 ， 得 ， 解得． 19. 已知函数 （1）若在内单调递增，求a取值范围； （2）记 （i）设，对任意实数和正整数，，求； （ii）若，且互不相等，集合集合M，N为A的子集，它们各有n个元素，且．设且证明： 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性得出即可得解； （2）（i）利用导数求函数的最小值，结合可得，即可得解； （ii）结合函数的单调性及集合的性质，根据新定义化简证明. 【小问1详解】 函数，则， 由于在内单调递增，有． 故取值范围为． 【小问2详解】 （i），为上的增函数，且， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增． 的最小值为.又， 设，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， ，又，，当且仅当时取等号， 所以，且，， 所以． （ii）由（i）可得在上单调递减，在上单调递增． 且的最小值为， 而时，，时，， 由零点存在定理存在两个不同的零点，且两个零点异号， 设这两个零点为，且，下证：. 证明：设，， 则， 故在上为增函数，故， 故，故，所以， 由在上单调递减可得即. 因，由单调性可得相异， 故诸零点相异，故中恰有个不同的元素， 其中正数有个，负数有个， 又，为的子集，它们各有个元素，且， 设包含个负数，个正数，则包含个负数，个正数， ，，，. ，， 从而． 由 ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中高2026届5月适应性月考（七） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．试卷由"整理排版．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 则 =（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知 且则（ ） A. B. C. D. 5 4. 小明在一张半径为5dm的圆形竹编中，剪出一个半径为5dm的扇形用以制作圆锥状灯罩，如图若灯罩的高（顶点到底面的距离）为3dm，则需要用到的材料面积至少为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（ ） A. 0.16 B. 0.36 C. 0.48 D. 0.52 6. 已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数若，且不是的极值，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，且，则对，（ ） A. B. C. 存在常数，使得 D. 存在常数，使得 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则（ ） A. 当时， B. 存在，使 C. 当时， 在方向上的投影向量为 D. 当与的夹角为锐角时， 10. 已知函数则（ ） A. ∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B. ∃a∈R，使得f（x）存在零点 C. ∀a∈R，f（x）为增函数 D. ∃a∈R，使得f（x）的最小值为0 11. 已知抛物线的焦点为F，直线l1交C于A，B两点，交y轴于点E，直线l2与C相切于点D，且l1∥l2，O为坐标原点，若A，F，D三点共线，则（ ） A. B. △AEF为等腰三角形 C. 与x轴垂直 D. △ABD面积的最小值为16 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：,这组数据的第30百分位数为___________． 13. 函数 的最大值为______． 14. 在空间直角坐标系中，正四面体的顶点分别在轴和轴上滑动，若的最大值为，则该四面体的棱长为___________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中， （1）求边的长； （2）若，于点D，的中点为E，求线段的长． 16. 如图，在多面体中， ，且平面，平面平面． （1）求点D到平面的距离； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 某工厂生产一种零件，其标准尺寸参数，计划生产每种尺寸零件的概率相等，实际生产过程中有10%的概率发生工艺缺陷，无缺陷时，生产出来的零件为标准尺寸，若发生工艺缺陷，则生产出来的零件尺寸会缩减为标准尺寸的一半，且每次生产过程独立进行． （1）连续生产10个该种零件，记有X个零件有工艺缺陷，求X最有可能的取值； （2）求实际生产一个零件的尺寸的分布列和期望． 18. 已知椭圆的离心率为，焦距为4． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在上且位于x轴上方．射线AP，BP分别交于点R，S，直线PF交于另一点Q． （i）求直线AR与BQ的斜率之比 （ii）若△PAB与△PRS的面积相等，求直线AS的斜率． 19. 已知函数 （1）若在内单调递增，求a取值范围； （2）记 （i）设，对任意实数和正整数，，求； （ii）若，且互不相等，集合集合M，N为A的子集，它们各有n个元素，且．设且证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $